# 极坐标定义与极形式求导

> AP 微积分 BC · 第9单元：参数方程、极坐标与向量值函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-defining-polar-coordinates-and-differentiating/

本主题介绍极坐标系、极坐标与直角坐标的转换方法，以及如何通过求导计算极曲线的切线斜率。这些知识点会定期在AP考试的选择题和自由作答题中考查。

**先修:** [参数方程求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-differentiating-parametric-equations/); 乘积法则与链式求导法则; 基础三角恒等式

## 学习目标

- 在极坐标与直角坐标系之间进行转换
- 推导并应用极曲线切线斜率公式
- 确定极曲线上水平切线和垂直切线的位置

## 极坐标简介

**极坐标点** — 一个点由$r$（极点（原点）到该点的距离）和$\theta$（极轴（正$x$轴）到该点连线的角度）定义。

*记法:* $(r, \theta)$

*例:* 直角坐标点$(1,1)$在极坐标中表示为$(√2, \frac{\pi}{4})$。

与直角坐标不同，直角坐标中每个点对应唯一的$(x,y)$对，而同一个点在极坐标中可以有多种有效的表示方式。例如，$(r, \theta) = (-r, \theta + \pi)$描述的是同一个点。

要在极坐标和直角坐标之间转换，我们使用以下核心三角关系：

$$x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan \theta = \frac{y}{x}, \quad x \neq 0$$

**例题:** 将极坐标点$(4, \frac{2\pi}{3})$转换为直角坐标。

1. 使用标准转换公式$x = r\cos\theta$和$y = r\sin\theta$：
2. $$x = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \\ y = 4 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3}$$
3. $(4, \frac{2\pi}{3})$对应的直角坐标为$(-2, 2\sqrt{3})$。

## 推导极导数公式

极曲线$r = f(\theta)$可以看作参数为$\theta$的参数曲线。我们使用参数求导法则$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$来求切线的斜率。

**推导:** 推导$r = f(\theta)$的$\frac{dy}{dx}$公式

*起点:* 参数求导法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$

1. 利用转换公式写出用$\theta$表示的$x$和$y$：
2. $$x = r \cos \theta = f(\theta) \cos \theta \\ y = r \sin \theta = f(\theta) \sin \theta$$
3. 使用乘积法则求导：
4. $$\frac{dy}{d\theta} = f'(\theta) \sin \theta + f(\theta) \cos \theta \\ \frac{dx}{d\theta} = f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta$$
5. 代入参数导数公式

*结论:* 任意极曲线$r = f(\theta)$的切线斜率为：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta - r \sin \theta}$$

**例题:** 求极曲线$r = 2\cos \theta$的$\frac{dy}{dx}$。

1. 首先计算$\frac{dr}{d\theta}$：
2. $$\frac{dr}{d\theta} = -2 \sin \theta$$
3. 代入极导数公式：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{(-2 \sin \theta) \sin \theta + (2 \cos \theta) \cos \theta}{(-2 \sin \theta) \cos \theta - (2 \cos \theta) \sin \theta}$$
5. 利用二倍角公式化简：
6. $$\text{Numerator: } -2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta = 2\cos 2\theta \\ \text{Denominator: } -4 \sin \theta \cos \theta = -2 \sin 2\theta \\ \frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos 2\theta}{-2 \sin 2\theta} = -\cot 2\theta$$

## 水平切线与垂直切线

我们根据极导数的组成部分，按照以下规则确定极曲线哪里有水平切线或垂直切线：

- 水平切线出现在$\frac{dy}{d\theta} = 0$ **且** $\frac{dx}{d\theta} \neq 0$处
- 垂直切线出现在$\frac{dx}{d\theta} = 0$ **且** $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$处
- 如果两个导数都为零，斜率是不确定的，需要进一步分析

> **tip**
>
> 在得出水平或垂直切线的结论前，一定要检查另一个导数是否非零。这是出题人经常考查的易错点。

**例题:** 在$0 \leq \theta < 2\pi$范围内，找出$r = 1 + \sin\theta$所有水平切线对应的点。

1. 计算$\frac{dr}{d\theta}$和$\frac{dy}{d\theta}$：
2. $$r = 1 + \sin \theta \implies \frac{dr}{d\theta} = \cos \theta \\ \frac{dy}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta = \cos \theta \sin \theta + (1 + \sin \theta) \cos \theta$$
3. 化简并令$\frac{dy}{d\theta} = 0$：
4. $$\frac{dy}{d\theta} = 2 \sin \theta \cos \theta + \cos \theta = \cos \theta (2 \sin \theta + 1) = 0$$
5. 求解$\theta$并对每个解检查$\frac{dx}{d\theta} \neq 0$：
6. 我们得到4个满足$\frac{dx}{d\theta}$非零的有效点：$\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$, $\left(0, \frac{3\pi}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, \frac{7\pi}{6}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, \frac{11\pi}{6}\right)$

## 常见错误

- **错误做法:** 对$x = r\cos\theta$和$y = r\sin\theta$求导时忘记乘积法则，错误写成$dx/d\theta = dr/d\theta \cos\theta$
  - 原因: $r$是$\theta$的函数，因此两个导数都需要使用乘积法则
  - 正确做法: 始终使用：$\frac{dx}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta$ 和 $\frac{dy}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta$
- **错误做法:** 当$dy/d\theta = 0$且$dx/d\theta = 0$时，仍然认为存在水平切线
  - 原因: 当两个导数都为零时，$\frac{dy}{dx}$是不确定的，不是零，因此不能保证斜率为零
  - 正确做法: 在得出水平或垂直切线的结论前，始终确认另一个导数非零
- **错误做法:** 极导数公式中分子分母位置颠倒
  - 原因: 两个导数的乘积法则形式相似，很容易混淆位置
  - 正确做法: 记住$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$，因此$dy/d\theta$始终是分子，和参数求导法则一致
- **错误做法:** 转换为直角坐标前，为负的$r$调整角度
  - 原因: 很多学生认为负$r$需要先修改$\theta$，但这会带来额外工作量，容易出错
  - 正确做法: 即使$r$为负，也直接使用$x = r\cos\theta$和$y = r\sin\theta$：公式会自动给出正确的直角坐标

## 速查表

| 概念 | 公式 |
| --- | --- |
| 极坐标转直角坐标 | $x = r\cos\theta, \; y = r\sin\theta$ |
| 直角坐标转极坐标 | $r^2 = x^2 + y^2, \; \tan\theta = y/x$ |
| 极切线斜率 | $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin\theta + r \cos\theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos\theta - r \sin\theta}$ |
| 水平切线 | $\frac{dy}{d\theta} = 0, \; \frac{dx}{d\theta} \neq 0$ |
| 垂直切线 | $\frac{dx}{d\theta} = 0, \; \frac{dy}{d\theta} \neq 0$ |

## 下一步

现在你已经理解了极坐标和极曲线求导，你已经掌握了核心基础，可以解决更高级的极坐标问题，包括求极曲线的弧长和计算极曲线围成的面积，这是第9单元接下来的核心主题。这些主题直接建立在你在这里学到的技能之上：坐标转换和极曲线求导是建立和计算极函数面积、弧长积分所必需的。极切线斜率问题经常出现在AP微积分BC的选择题中，掌握这些技能将直接提高你的考试成绩。

- [极坐标区域或单条极坐标曲线围成面积的计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-finding-the-area-of-a/)
- [两条极坐标曲线围成区域的面积计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-finding-the-area-of-regions/)
- [无穷数列与级数概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u10-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u9-defining-polar-coordinates-and-differentiating/