向量值函数的定义与求导

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 参数方程、极坐标与向量值函数· 14 分钟阅读

1. 向量值函数的定义与定义域★★☆☆☆⏱ 3 min

向量值函数输入单个标量（几乎总是 $t$ ，在运动问题中通常代表时间），输出多维向量。在AP微积分BC中，你几乎只会遇到二维向量值函数，三维向量值函数遵循完全相同的法则。

📘 定义

二维向量值函数

\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j}

其中 $x (t)$ 和 $y (t)$ 是公共标量参数 $t$ 的标量函数。 $r (t)$ 的定义域是 $x (t)$ 和 $y (t)$ 定义域的交集：只有当 $t$ 对两个分量都有效时，它才属于该定义域。

例:

参数曲线就是二维向量值位置函数的图像。

📐 例题

求向量值函数 $r (t) = ⟨ \frac{1}{t - 2}, 4 - t ⟩$ 的定义域。

1
首先求x分量 $x (t) = \frac{1}{t - 2}$ 的定义域。有理函数在分母为零时无定义，因此：
$t - 2 \neq 0 \implies t \neq 2$
2
$x (t)$ 的定义域是除 $t = 2$ 外的所有实数，即 $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ 。接下来求y分量 $y (t) = 4 - t$ 的定义域。平方根内的表达式必须非负，因此：
$4 - t \geq 0 \implies t \leq 4$
3
$y (t)$ 的定义域是 $(- \infty, 4]$ 。 $r (t)$ 的定义域是两个定义域的交集，因此我们只保留对两个分量都有效的值。排除 $t = 2$ 和所有 $t > 4$ ，最终定义域为：
$(-\infty, 2) \cup (2, 4]$

Exam tip:

求向量值函数的定义域时，务必逐个检查每个分量。如果你只检查一个分量，很容易遗漏常见的隐含限制（分母、平方根、对数）。

2. 向量值函数的逐分量求导★★★☆☆⏱ 4 min

向量值函数的导数与标量函数具有相同的极限定义：

\vec{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}

由于向量运算是逐分量进行的，这个极限可以简化为一个简单法则：使用你已经掌握的所有单变量求导法则，分别对每个分量函数求导。对于 $r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩$ ，导数为：

\vec{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle

直观来看， $r^{'} (t)$ 是 $r (t)$ 描绘的曲线在参数 $t$ 处的切向量，指向 $t$ 增大时曲线的运动方向。

📐 例题

求向量值函数 $r (t) = ⟨ t^{3} + sin (2 t), e^{t^{2}} ln t ⟩$ 在 $t = 1$ 处的导数 $r^{'} (1)$ 。

1
对x分量 $x (t) = t^{3} + sin (2 t)$ 求导，正弦项使用幂法则和链式法则：
$x'(t) = 3t^2 + 2\cos(2t)$
2
对y分量 $y (t) = e^{t^{2}} ln t$ 求导，指数项使用乘积法则和链式法则：
$y'(t) = \left(2t e^{t^2}\right)\ln t + e^{t^2} \cdot \frac{1}{t} = e^{t^2} \left(2t \ln t + \frac{1}{t}\right)$
3
将 $t = 1$ 代入两个导数：
$x'(1) = 3(1)^2 + 2\cos(2(1)) = 3 + 2\cos 2 \approx 2.168 \\ y'(1) = e^{1^2} \left(2(1)\ln 1 + \frac{1}{1}\right) = e(0 + 1) = e \approx 2.718$
4
最终得到 $t = 1$ 处的导数向量为：
$\vec{r}'(1) = \langle 3 + 2\cos 2, e \rangle \approx \langle 2.168, 2.718 \rangle$

Exam tip:

务必对每个分量分别求导，不要将整个向量当作单个标量表达式处理。如果你忘记求导是逐分量进行的，在处理含有乘积或复合函数的分量时几乎肯定会出错。

3. 由位置向量求速度、加速度和速率★★★☆☆⏱ 3 min

当 $r (t)$ 是平面运动物体在时刻 $t$ 的位置向量时，它的一阶和二阶导数具有标准的物理意义，这是AP考试的高频考点：

\begin{aligned} \text{Position: } \vec{r}(t) &= \langle x(t), y(t) \rangle \\ \text{Velocity: } \vec{v}(t) &= \vec{r}'(t) = \langle x'(t), y'(t) \rangle \\ \text{Acceleration: } \vec{a}(t) &= \vec{r}''(t) = \langle x''(t), y''(t) \rangle \end{aligned}

速度是描述运动方向和运动速率的向量。速率是速度向量的标量大小（长度），计算公式为：

\text{speed} = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}

📐 例题

一个质点在平面内运动，其 $t \geq 0$ 时的位置向量为 $r (t) = ⟨ 3 cos t, 4 sin t ⟩$ 。求 $t = \frac{π}{3}$ 处的速度向量、加速度向量和速率。

1
对位置向量求导得到速度，再代入 $t = \frac{π}{3}$ 。我们知道 $sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$ ， $cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ：
$\vec{v}(t) = \langle -3\sin t, 4\cos t \rangle \implies \vec{v}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left\langle -\frac{3\sqrt{3}}{2}, 2 \right\rangle$
2
对速度求导得到加速度，再代入 $t = \frac{π}{3}$ ：
$\vec{a}(t) = \langle -3\cos t, -4\sin t \rangle \implies \vec{a}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left\langle -\frac{3}{2}, -2\sqrt{3} \right\rangle$
3
计算速度的模长得到速率：
$\text{speed} = \sqrt{\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (2)^2} = \sqrt{\frac{27}{4} + 4} = \sqrt{\frac{43}{4}} = \frac{\sqrt{43}}{2} \approx 3.279$

Exam tip:

当题目要求求速率时，记住它是标量大小，不是向量。如果你在自由作答题中给出速度向量而非其模长，会被扣分。务必检查题目措辞，区分"速度"和"速率"。

4. 复合向量值函数的链式法则★★★★☆⏱ 3 min

如果 $r$ 是 $u$ 的函数，而 $u$ 本身是 $t$ 的函数，我们就得到复合向量值函数 $r (u (t))$ 。这种复合函数的链式法则与标量函数结构相同，仍然逐分量运算：

\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{du} \cdot \frac{du}{dt}

对于 $r (u) = ⟨ x (u), y (u)⟩$ ，展开后为：

\frac{d\vec{r}}{dt} = \langle x'(u(t)) \cdot u'(t), y'(u(t)) \cdot u'(t) \rangle

该法则常用于路径参数是时间函数的运动问题，或者对曲线重新参数化的场景。

📐 例题

已知 $r (u) = ⟨ u^{2}, 3 u + 1 ⟩$ ，其中 $u (t) = e^{2 t}$ 。求 $t = 0$ 时的 $\frac{d r}{d t}$ 。

1
首先，对 $r$ 的每个分量关于 $u$ 求导得到 $\frac{d r}{d u}$ ：
$\frac{d\vec{r}}{du} = \langle 2u, 3 \rangle$
2
接下来，对 $u (t) = e^{2 t}$ 关于 $t$ 求导得到 $\frac{d u}{d t}$ ：
$\frac{du}{dt} = 2e^{2t}$
3
应用链式法则得到一般导数形式：
$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{du} \cdot \frac{du}{dt} = \langle 2u \cdot 2e^{2t}, 3 \cdot 2e^{2t} \rangle = \langle 4u e^{2t}, 6 e^{2t} \rangle$
4
代入 $t = 0$ 得到所求点的导数。注意 $u (0) = e^{0} = 1$ ：
$\frac{d\vec{r}}{dt}\bigg|_{t=0} = \langle 4(1)(1), 6(1) \rangle = \langle 4, 6 \rangle$

Exam tip:

处理复合向量值函数时，不要忘记乘以内函数的导数。你很容易因为专注于记住逐分量求导而遗漏 $\frac{d u}{d t}$ 项。

5. 概念检测★★★☆☆⏱ 1 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你对逐分量求导的理解：

下列哪个选项等于 $r (t) = ⟨ t^{2} e^{t^{3}}, ln (cos t)⟩$ 的导数？
- $⟨ 3 t^{4} e^{t^{3}}, - tan t ⟩$
- $⟨ 2 t e^{t^{3}} + 3 t^{4} e^{t^{3}}, - tan t ⟩$
- $⟨ 2 t e^{t^{3}} + 3 t^{2} e^{t^{3}}, tan t ⟩$
- $⟨ 6 t^{2} e^{t^{3}}, - \frac{1}{s i n t} ⟩$
显示答案
1 —
正确！你对x分量应用了乘积法则和链式法则，对y分量应用了链式法则，得到了正确结果。

6. 常见陷阱

错误做法:

将 $r (t) = ⟨ 1/ t, t ⟩$ 的定义域写为 $[0, \infty)$ ，忽略了x分量对 $t = 0$ 的限制。

原因:

学生只检查最后一个分量，忘记 $t$ 要属于定义域必须对所有分量都有定义。

正确做法:

总是先分别写出每个分量的定义域，再计算它们的交集得到向量值函数的定义域。

错误做法:

将 $r (t) = ⟨ t sin t, t e^{t} ⟩$ 的导数错写为 $r^{'} (t) = ⟨ cos t, e^{t} ⟩$ ，忘记对每个分量应用乘积法则。

原因:

学生认为向量求导会取代单变量法则引入新规则，或者忘记每个分量都需要完整应用单变量求导法则。

正确做法:

对每个分量，都将其看作独立的标量函数，应用所有相关的单变量求导法则（乘积、商、链式）。

错误做法:

当题目要求求速度为 $v (t) = ⟨ 2, 3 ⟩$ 的质点的速率时，回答 $⟨ 2, 3 ⟩$ 而非 $13$ 。

原因:

学生混淆了速度（向量量）和速率（速度的标量大小）。

正确做法:

务必检查题目措辞：如果题目要求求速率，在得到速度分量后计算速度向量的模长。

错误做法:

将 $r (t) = ⟨ sin (t^{2}), cos (t^{2})⟩$ 的导数错写为 $r^{'} (t) = ⟨ cos (t^{2}), - sin (t^{2})⟩$ ，忘记对内层 $t^{2}$ 项应用链式法则。

原因:

学生专注于记住求导是逐分量进行的，从而遗漏了单个分量内部的链式法则步骤。

正确做法:

在写出每个分量中外函数的导数后，务必检查函数的自变量是否不是 $t$ ，如果需要则乘上自变量的导数。

错误做法:

对于复合向量函数 $r (u (t))$ ，将导数错写为 $⟨ x^{'} (u (t)), y^{'} (u (t))⟩$ ，在两个分量中都遗漏了因子 $u^{'} (t)$ 。

原因:

学生忘记链式法则适用于整个向量，而不仅仅是单个分量，因此遗漏了公共的外层因子。

正确做法:

总是显式应用链式法则：代入数值前先写出 $\frac{d r}{d t} = \frac{d r}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$ 。

7. 速查表

类别	公式	注释
二维一般向量值函数	$r (t) = ⟨ x (t), y (t)⟩ = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j}$	输入为标量 $t$ ，输出为向量；定义域是 $x (t), y (t)$ 定义域的交集
向量值函数的导数	$r^{'} (t) = ⟨ x^{'} (t), y^{'} (t)⟩$	对每个分量分别求导； $r^{'} (t)$ 是曲线的切向量
速度向量（由位置向量得）	$v (t) = r^{'} (t) = ⟨ x^{'} (t), y^{'} (t)⟩$	描述运动方向和速率的向量
加速度向量	$a (t) = r^{''} (t) = ⟨ x^{''} (t), y^{''} (t)⟩$	位置向量的二阶导数
速率（标量）	$speed = ∣ v (t) ∣ = (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2}$	速度向量的模长；恒为非负标量
复合函数链式法则	$\frac{d r}{d t} = \frac{d r}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$	适用于 $r (u (t))$ ，对所有维度逐分量应用

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
求向量值函数的定义域
2023 · FRQ
根据位置向量计算速率

下一步

现在你已经掌握了向量值函数的定义和求导，接下来可以将这些概念推广到向量值函数的积分，积分用于由速度求位置、计算参数曲线上的位移。本主题是分析平面运动的基础，平面运动是AP微积分BC自由作答题的常见考点，将参数方程、向量函数和标量函数的导数结合在一起。理解向量值函数也能为你学习参数曲线的弧长计算和极函数微积分做好准备，这两个都是AP微积分BC课程与考试说明第9单元的其他核心主题。