参数方程的定义与求导

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions· 14 分钟阅读

1. 参数曲线的定义与消参★★☆☆☆⏱ 4 min

参数方程不直接在 $x y$ 平面中定义 $x$ 和 $y$ 的直接关系，而是将两个坐标都表示为第三个独立变量（称为参数，最常用 $t$ ，通常代表时间或角度）的函数。

这种表示法可以描述不满足竖线检验的曲线（如圆、椭圆、摆线），还能追踪运动物体随时间变化的位置，这是单个直角坐标函数 $y = f (x)$ 无法做到的。

📘 定义

参数曲线

$x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b$

参数 $t$ 在其定义域内增大时，所追踪得到的点的集合。 $t$ 增大时的追踪方向称为曲线的定向。两条参数曲线可以对应相同的点集，但定向不同，这在运动问题中十分重要。

消去参数可以将一对参数方程转换为单个直角坐标关系式，从而识别曲线的形状。对于非三角函数参数方程，先从一个方程解出 $t$ ，再代入另一个方程。对于三角函数参数方程，使用勾股恒等式，并且一定要限制 $x$ 和 $y$ 的定义域，使之与原参数区间匹配。

📐 例题

确定参数曲线 $x = 4 cos t$ , $y = 2 sin t$ （ $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ）的形状，求其直角坐标方程，并说明定向。

1
从参数方程中解出 $cos t$ 和 $sin t$ ：
2
$\cos t = \frac{x}{4}, \quad \sin t = \frac{y}{2}$
3
利用勾股恒等式 $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ 消去 $t$ ：
4
$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1$
5
这是中心在原点、长轴水平的完整椭圆方程。应用定义域限制：当 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 时， $cos t \geq 0$ ，因此 $x \geq 0$ ， $y$ 的范围是 $- 2$ 到 $2$ 。该曲线只是完整椭圆的右半部分。
6
通过关键点验证定向： $t = - \frac{π}{2}$ 时，点为 $(0, - 2)$ ； $t = 0$ 时，点为 $(4, 0)$ ； $t = \frac{π}{2}$ 时，点为 $(0, 2)$ 。曲线从 $(0, - 2)$ 逆时针方向追踪至 $(0, 2)$ 。

2. 参数方程的一阶导数$\frac{dy}{dx}$★★★☆☆⏱ 4 min

要求参数曲线在给定 $t$ 处切线的斜率，我们用链式法则将对 $t$ 的导数与 $y$ 对 $x$ 的导数联系起来。从 $\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}$ 出发，整理后解出 $\frac{d y}{d x}$ ：

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \frac{dx}{dt} \neq 0

特殊情况：若 $\frac{d y}{d t} = 0$ 且 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ ，切线为水平线。若 $\frac{d x}{d t} = 0$ 且 $\frac{d y}{d t} \neq = 0$ ，切线为竖直线（斜率不存在）。该公式即使在无法消参时也能使用，因此适用性非常广。

📐 例题

已知对所有实数 $t$ ，参数曲线为 $x (t) = t^{3} - 2 t$ , $y (t) = t^{2} + 3 t$ ，求 $t = 2$ 处切线的斜率，并判断切线是水平、竖直还是都不是。

1
计算 $x (t)$ 和 $y (t)$ 对 $t$ 的导数：
2
$\frac{dx}{dt} = 3t^2 - 2, \quad \frac{dy}{dt} = 2t + 3$
3
应用参数方程一阶导数公式：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2t + 3}{3t^2 - 2}$
5
代入 $t = 2$ 得到斜率：
6
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=2} = \frac{2(2) + 3}{3(2)^2 - 2} = \frac{7}{10} = 0.7$
7
在 $t = 2$ 处， $\frac{d x}{d t} = 10 \neq = 0$ 且 $\frac{d y}{d t} = 7 \neq = 0$ ，因此切线既不是水平也不是竖直的。

3. 二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$与凹凸性★★★★☆⏱ 4 min

和直角坐标曲线一样，我们通过计算二阶导数来分析参数曲线的凹凸性。学生最常见的错误是把 $\frac{d y}{d x}$ 对 $t$ 求导后直接当作二阶导数——这是错误的。二阶导数是一阶导数*对 $x$ *的导数，而不是对 $t$ 的。

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}

$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的符号遵循和直角坐标曲线相同的规则：正为凹向上，负为凹向下。

📐 例题

对于上一例题中的参数曲线 $x (t) = t^{3} - 2 t$ , $y (t) = t^{2} + 3 t$ ，求 $t = 2$ 处的凹凸性。

1
我们已经从上一例题得到一阶导数：
2
$\frac{dy}{dx} = \frac{2t + 3}{3t^2 - 2}$
3
用商的求导法则对 $t$ 求 $\frac{d y}{d x}$ 的导数：
4
$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{(2)(3t^2 - 2) - (2t + 3)(6t)}{(3t^2 - 2)^2} = \frac{-6t^2 - 18t - 4}{(3t^2 - 2)^2}$
5
应用二阶导数公式，除以 $\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} - 2$ ：
6
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-6t^2 - 18t - 4}{(3t^2 - 2)^3}$
7
代入 $t = 2$ ：
8
$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=2} = \frac{-6(4) - 18(2) - 4}{(12 - 2)^3} = -\frac{64}{1000} = -0.064$
9
二阶导数为负，因此曲线在 $t = 2$ 处凹向下。

4. AP风格概念检验★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

检验你对参数方程二阶导数的理解：

已知参数曲线由 $x (t) = cos t$ , $y (t) = sin 2 t$ 定义， $t = \frac{π}{4}$ 处的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 是多少？
- -8
- -4
- 4
- 8

5. 常见陷阱

错误做法:

对 $x = 2 t + 1$ , $y = t^{2}$ （ $0 \leq t \leq 3$ ）消参后，你将 $x$ 的定义域留为全体实数，而非 $1 \leq x \leq 7$ 。

原因:

你忘记了原参数区间将 $x$ 限制为完整直角坐标曲线的一部分。

正确做法:

消参后，将 $t$ 的端点代入 $x (t)$ 得到 $x$ 的范围，并明确写出受限定义域。

错误做法:

你将 $\frac{d y}{d x}$ 计算为 $\frac{d x / d t}{d y / d t}$ ，而非 $\frac{d y / d t}{d x / d t}$ 。

原因:

你凭记忆回忆公式时混淆了比例的顺序。

正确做法:

如果你不确定顺序，一定要用链式法则 $\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}$ 快速重新推导公式。

错误做法:

你将 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 计算为 $\frac{d ^{2} y / d t ^{2}}{d ^{2} x / d t ^{2}}$ 。

原因:

你错误地将一阶导数的比例模式套用到了二阶导数上。

正确做法:

一定要遵循两步流程：先计算 $\frac{d y}{d x}$ ，对该结果关于 $t$ 求导，再除以 $\frac{d x}{d t}$ 得到 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

错误做法:

当给定 $t$ 处 $\frac{d x}{d t} = 0$ 时，你得出切线是水平的结论。

原因:

你混淆了水平切线和竖直切线的条件。

正确做法:

记住： $\frac{d y}{d t} = 0$ , $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ → 水平切线； $\frac{d x}{d t} = 0$ , $\frac{d y}{d t} \neq = 0$ → 竖直切线。

错误做法:

你用 $\frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})$ 的符号判断凹凸性，而非 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的符号。

原因:

你忘记了 $\frac{d x}{d t}$ 可能为负，这会改变最终二阶导数的符号。

正确做法:

判断凹凸性前，一定要先算出完整的 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 再检查其符号。

错误做法:

你描述参数曲线时忽略了定向，只写出了直角坐标方程。

原因:

你假设点集相同的两条曲线是相同的，但定向在运动问题中非常重要。

正确做法:

一定要确认 $t$ 增大时曲线的追踪方向，如果题目要求，必须明确写出定向。

6. 速查表

类别	公式	说明
参数曲线定义	$x = x (t), y = y (t), a \leq t \leq b$	两个坐标都是独立参数 $t$ 的函数；定向是 $t$ 增大时曲线的追踪方向。
消参法	从 $x (t)$ 解出 $t$ ，代入 $y (t)$	三角参数方程使用勾股恒等式；一定要限制 $x / y$ 的定义域，使之与原 $t$ 区间匹配。
一阶导数（斜率）	$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$	仅当 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ 时成立； $\frac{d y}{d t} = 0, \frac{d x}{d t} \neq = 0$ → 水平切线； $\frac{d x}{d t} = 0, \frac{d y}{d t} \neq = 0$ → 竖直切线。
二阶导数（凹凸性）	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{d y}{d x} )}{\frac{d x}{d t}}$	绝对不要使用 $\frac{d ^{2} y / d t ^{2}}{d ^{2} x / d t ^{2}}$ ；凹凸性判断规则和直角坐标曲线相同。
切线方程	$y - y (t_{0}) = \frac{d y}{d x}_{t_{0}} (x - x (t_{0}))$	使用点斜式前，先在给定参数 $t_{0}$ 处计算 $\frac{d y}{d x}$ 的值。
凹凸性判断规则	正 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ = 凹向上；负 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ = 凹向下	符号规则与直角坐标曲线一致，仅计算方法不同。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
参数方程二阶导数计算
2022 · FRQ
参数曲线的切线

下一步

掌握参数方程的定义与求导是第9单元所有剩余内容的基础。接下来，你将把这些求导技巧应用到参数运动的速度和加速度计算、参数曲线弧长计算，以及向量值函数的处理中。如果不能正确计算参数方程的一阶和二阶导数，你就无法解决AP微积分BC自由问答题部分经常出现的运动问题和弧长问题。本主题直接衔接求导之后马上要学习的参数方程积分，也为本单元后续极坐标函数的求导奠定了基础。链式法则应用和导数比值这两项核心技能可以直接迁移到所有这些即将学习的主题中。