参数曲线的弧长

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 参数方程、极坐标与向量值函数· 14 分钟阅读

1. 核心定义与背景★★☆☆☆⏱ 3 min

弧长是曲线两个端点之间沿曲线的总距离，与两点之间的直线距离不同。对于参数方程 $x = x (t)$ 和 $y = y (t)$ （ $a \leq t \leq b$ ）表示的参数曲线，弧长就是 $t$ 从 $a$ 变化到 $b$ 时，所描出路径的总长度。

本知识点是AP微积分BC课程与考试说明（CED）明确要求的内容，占总分的1-3%，会在选择题和自由作答题部分都出现。它常与参数运动问题结合，此时 $t$ 代表时间，弧长等于粒子在区间内运动的总路程。与直角坐标弧长不同，参数公式适用于不是 $x$ 或 $y$ 的函数的曲线，包括闭合环、摆线和抛射体轨迹。

📘 定义

光滑参数曲线

定义在 $[a, b]$ 上的参数曲线 $x (t), y (t)$ 是光滑的，当且仅当 $x^{'} (t)$ 和 $y^{'} (t)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且永远不会在同一点同时为零，这保证曲线不会出现破坏光滑性的尖点或尖锐拐角。

例:

参数方程为 $x (t) = 3 cos t, y (t) = 3 sin t$ 的圆对所有实数 $t$ 都是光滑的。

2. 推导与弧长公式★★★☆☆⏱ 4 min

我们使用与直角坐标弧长相同的黎曼和方法推导参数弧长公式，只是针对两个参数函数做了调整。

🔬 推导

目标:

推导光滑参数曲线的弧长公式

起点:

曲线上相邻点距离的黎曼和近似

1
将参数区间 $[a, b]$ 分为 $n$ 个宽度为 $Δ t = \frac{b - a}{n}$ 的子区间。
2
根据勾股定理，相邻点 $(x_{i}, y_{i})$ 和 $(x_{i + 1}, y_{i + 1})$ 之间的直线距离为：
3
$\sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2}$
4
根据微分中值定理，在 $[t_{i}, t_{i + 1}]$ 中存在一点 $t_{i}^{*}$ 满足 $Δ x_{i} = x^{'} (t_{i}^{*}) Δ t$ 和 $Δ y_{i} = y^{'} (t_{i}^{*}) Δ t$ 。将其代入距离表达式：
5
$\sqrt{(x'(t_i^*) \Delta t)^2 + (y'(t_i^*) \Delta t)^2} = \sqrt{(x'(t_i^*))^2 + (y'(t_i^*))^2} \Delta t$
6
当 $n \to \infty$ 时取极限，将黎曼和转化为定积分。

结果:

最终得到，从 $t = a$ 到 $t = b$ 的光滑参数曲线的弧长公式为： $L = \int_{a}^{b} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t$

📐 例题

求参数曲线 $x (t) = 3 cos t$ ， $y (t) = 3 sin t$ 在 $0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ 上的弧长。

1
1. 计算导数：
2
$\frac{dx}{dt} = -3\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t$
3
1. 对导数平方后相加，利用勾股恒等式：
4
$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 9\sin^2 t + 9\cos^2 t = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) = 9$
5
1. 代入弧长公式：
6
$L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 dt$
7
1. 计算定积分：
8
$3t \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3\pi}{2} - 0 = \frac{3\pi}{2}$

Exam tip:

弧长的被积函数始终非负，因此对于正确列式的积分，结果永远不可能为负。

3. 方向与弧长符号规则★★☆☆☆⏱ 3 min

方向是指 $t$ 增大时参数曲线的描点方向。弧长是总距离的度量，因此无论曲线沿哪个方向描点，它始终为非负。在推导过程中， $Δ t$ 始终为正，因此积分下限必须始终是较小的 $t$ 值，上限是较大的 $t$ 值。

如果你颠倒上下限，你会得到正确弧长的负值，因为 $\int_{b}^{a} f (t) d t = - \int_{a}^{b} f (t) d t$ ，而被积函数 $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}$ 始终非负。这在粒子运动问题中尤其重要：即使粒子沿路径折返，公式也会自动累加每一段的长度，与方向无关，因此当方向改变时你不需要调整积分限。

📐 例题

从 $(0, 0)$ 到 $(4, 3)$ 的线段用参数方程表示为 $x (t) = 4 - 4 t$ ， $y (t) = 3 - 3 t$ ， $0 \leq t \leq 1$ ，其弧长是多少？

1
1. 计算导数：
2
$\frac{dx}{dt} = -4, \quad \frac{dy}{dt} = -3$
3
1. 对导数平方后相加：
4
$(-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$
5
1. 以较小的 $t$ 作为下限建立积分：
6
$L = \int_0^1 \sqrt{25} dt = \int_0^1 5 dt$
7
1. 计算积分：
8
$5t \bigg|_0^1 = 5$

4. 非初等积分的数值积分★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

大多数参数弧长积分无法化简为具有初等原函数的形式，因此AP考试经常考察你正确列式并使用图形计算器进行数值计算的能力。对于这类问题，大部分分数都会给到正确的列式，即使你的最终小数结果略有偏差，所以优先写出正确积分是关键。除非另有说明，AP考试标准要求数值答案保留三位小数。

📐 例题

对参数曲线 $x (t) = sin (t^{2})$ ， $y (t) = cos (t^{3})$ 在 $0 \leq t \leq 1$ 上的弧长进行列式并计算，结果保留三位小数。

1
1. 使用链式法则计算导数：
2
$\frac{dx}{dt} = 2t \cos(t^2), \quad \frac{dy}{dt} = -3t^2 \sin(t^3)$
3
1. 对导数平方后相加：该表达式无法化简为初等可积函数：
4
$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 4t^2 \cos^2(t^2) + 9t^4 \sin^2(t^3)$
5
1. 建立弧长积分：
6
$L = \int_0^1 \sqrt{4t^2 \cos^2(t^2) + 9t^4 \sin^2(t^3)} dt$
7
1. 使用图形计算器的数值积分功能计算，结果保留三位小数：
8
$L \approx 1.838$

✓ 快速检测

对于参数曲线 $x (t) = ln t$ ， $y (t) = t^{2}$ 在 $1 \leq t \leq e$ 上的弧长，以下哪个积分是正确的？

- A) $\int_{1}^{e} \frac{1}{t} + 4 t^{2} d t$
- B) $\int_{1}^{e} ln^{2} t + t^{4} d t$
- C) $\int_{1}^{e} \frac{1}{t ^{2}} + 4 t^{2} d t$
- D) $\int_{1}^{e} \frac{1}{t ^{2}} + 2 t d t$
显示答案
2 —
正确。首先计算导数： $\frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$ ， $\frac{d y}{d t} = 2 t$ 。分别平方后得到 $(\frac{1}{t})^{2} = \frac{1}{t ^{2}}$ 和 $(2 t)^{2} = 4 t^{2}$ ，与选项C一致。选项A没有对 $\frac{d x}{d t}$ 平方，选项B对 $x (t)$ 和 $y (t)$ 平方而非对它们的导数平方，选项D没有正确对 $\frac{d y}{d t}$ 平方。

5. 常见陷阱

错误做法:

对非函数的参数曲线（例如整圆）使用直角坐标弧长公式 $\int 1 + (d y / d x)^{2} d x$ 。

原因:

学生混淆参数弧长和直角坐标弧长，错误尝试转换为直角坐标形式，导致自交曲线的被积函数错误。

正确做法:

无论你能否转换为直角坐标形式，参数曲线都始终使用参数弧长公式。

错误做法:

颠倒积分的上下限，最终得到负的弧长作为答案。

原因:

学生混淆方向和符号规则，忘记弧长始终为正。

正确做法:

始终让下限等于较小的 $t$ 值，上限等于较大的 $t$ 值，这样结果自动为非负。

错误做法:

忘记对根号内的两个导数都平方，或者写成 $(x^{'} + y^{'})^{2}$ 而非 $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}$ 。

原因:

学生在处理含多项导数的问题时，代数步骤过于仓促。

正确做法:

分别写出每个导数的平方，展开化简后再合并得到被积函数。

错误做法:

求总路程时，调整积分限来减去折返的路径长度。

原因:

学生混淆总路程（弧长）与净位移。

正确做法:

求总路程时，积分始终使用从开始时间到结束时间的完整区间。

错误做法:

在数值积分问题中，只写最终小数答案，不写出积分列式。

原因:

学生忘记即使计算器结果错误，AP也会给列式分数。

正确做法:

使用计算器前，始终写出带有正确被积函数和积分限的完整积分。

6. 速查表

类别	公式/规则	注释
光滑参数曲线的一般弧长	$L = \int_{a}^{b} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t$	要求 $x^{'} (t), y^{'} (t)$ 连续，在 $[a, b]$ 上不同时为零。始终满足 $a < b$ 。
参数粒子的总路程	$L = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2} d t$	等于弧长；自动处理方向改变/折返。
方向与符号	$∣ L (a \to b) ∣ = ∣ L (b \to a) ∣$	弧长始终非负。颠倒积分限会得到负的 $L$ ，因此始终用较小的 $t$ 作为下限。
弧长 vs 位移	位移大小 = $(x (b) - x (a))^{2} + (y (b) - y (a))^{2}$	弧长 = 总路径长度；位移 = 端点之间的净距离。弧长 $\geq$ 位移。
数值积分	对非初等积分用计算器计算	计算前始终写出完整积分；除非另有说明，保留三位小数。
光滑曲线检验	光滑的条件是 $x^{'} (t), y^{'} (t)$ 连续，任意点不同时为零	在两个导数同时为零的点处拆分积分，避免无定义值。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
识别正确的弧长积分
2023 · FRQ
参数粒子运动的总路程

下一步

掌握参数曲线弧长是本单元后续知识点的关键前置知识：极坐标曲线弧长，以及参数和极坐标曲线的旋转体表面积。如果不能正确应用参数弧长公式，你将无法推导或计算这些更高级的积分，而这些知识点也会在AP微积分BC考试中考察。本知识点建立在你对定积分和参数求导的知识基础上，直接关联到向量值函数：弧长公式的被积函数恰好就是运动粒子的速率（速度向量的模长）。理解参数弧长也为你在AP微积分BC之后大学阶段微积分中会遇到的多元微积分线积分打下基础。