# 已知截面求体积：三角形和半圆

> AP 微积分 BC · 第8单元：积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-volumes-with-cross-sections-triangles/

本文介绍如何为xy平面内相交曲线围成底区域、垂直于任意坐标轴的已知三角形和半圆截面的立体体积建立并计算定积分。

**先修:** [计算关于x或y的两条曲线之间的面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-area-between-curves/); 通过微积分基本定理计算定积分; 三角形和圆形的基本面积公式

## 学习目标

- 为三角形和半圆截面的立体体积建立定积分表达式
- 计算积分得到已知截面立体的总体积
- 针对垂直于x轴或y轴的截面调整计算方式
- 避开考试中面积公式设定和积分区间的常见陷阱

## 截面体积法的核心逻辑

本主题是积分的核心应用之一，用于计算不需要绕轴对称的不规则立体体积。该方法遵循所有积分应用的相同核心思想：将立体切割成无数个垂直于给定坐标轴的薄切片，每个切片的体积为截面面积乘以切片厚度，再通过积分对所有切片体积求和。该知识点经常出现在AP微积分BC考试的选择题和自由作答题中。

**已知截面体积** — xy平面内具有有界底区域的不规则立体，垂直于指定坐标轴的每个截面都具有固定、已知的形状。体积通过对底区域区间上的截面面积积分得到。

## 半圆截面（垂直于x轴）

对于垂直于x轴的半圆截面，半圆的整条直径都位于两条边界曲线之间的底区域上。位置$x$处的直径长度是上下曲线之间的垂直距离：$d(x) = y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}$。半径是直径的一半，因此$r(x) = \frac{d(x)}{2}$。

$$A(x) = \frac{1}{2} \pi r(x)^2 = \frac{\pi}{8} [d(x)]^2$$

得到$A(x)$后，在底区域的x区间上积分即可得到总体积：

$$V = \int_a^b A(x) dx$$

> **tip**
>
> 如果题目指定是整圆截面而非半圆截面，则去掉1/2因子，使用$A(x) = \frac{\pi}{4} d(x)^2$。

**例题:** 一个立体的底是第一象限内由$y = x^2$和$y = 2x$围成的区域。若所有垂直于x轴的截面都是半圆，求该立体的体积。

1. 求交点得到积分区间：令$x^2 = 2x \implies x(x-2) = 0$，因此区间为$a=0$和$b=2$。
2. 计算直径$d(x)$：上曲线为$y=2x$，下曲线为$y=x^2$，因此：
3. $$d(x) = 2x - x^2$$
4. 求截面面积：
5. $$A(x) = \frac{\pi}{8} (2x - x^2)^2 = \frac{\pi}{8}(4x^2 - 4x^3 + x^4)$$
6. 计算体积积分：
7. $$V = \int_0^2 \frac{\pi}{8}(4x^2 - 4x^3 + x^4) dx = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{4x^3}{3} - x^4 + \frac{x^5}{5} \right]_0^2$$
8. 化简得到最终体积：
9. $$V = \frac{\pi}{8} \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) = \frac{2\pi}{15}$$

> **考试提示:** 写出面积公式前，一定要先确认截面形状。

## 三角形截面（垂直于x轴）

AP考试中三角形截面常见三种考法，所有情况的面积都与落在底上的边长平方成正比。边长$s(x) = y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}$，不同考法之间的区别仅在于面积的常数系数：

- 等边三角形（边长 = $s$）：$A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$
- 等腰直角三角形（直角边 = $s$，直角边落在底上）：$A = \frac{1}{2} s^2$
- 等腰直角三角形（斜边 = $s$，斜边落在底上）：$A = \frac{1}{4} s^2$（由勾股定理推导：$a^2 + a^2 = s^2 \implies A = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{4}s^2$)

体积计算方法和半圆截面相同：$V = \int_a^b A(x) dx$。最常见的混淆点是根据哪条边落在底上选错面积公式。

**例题:** 一个立体的底是$x \in [-1, 1]$上由$y = 1 - x^2$和$y = 0$围成的区域。所有垂直于x轴的截面都是斜边落在底上的等腰直角三角形，求该立体的体积。

1. 题目给出区间为$a=-1$，$b=1$。
2. 计算斜边长度$s(x)$：
3. $$s(x) = (1 - x^2) - 0 = 1 - x^2$$
4. 使用斜边为$s$的面积公式求截面面积：
5. $$A(x) = \frac{1}{4}s^2 = \frac{1}{4}(1 - 2x^2 + x^4)$$
6. 计算定积分：
7. $$V = \int_{-1}^1 \frac{1}{4}(1 - 2x^2 + x^4) dx = \frac{1}{4} \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^1$$
8. 化简得到最终体积：
9. $$V = \frac{4}{15}$$

> **考试提示:** 如果题目没有指定直角的位置，选择面积公式前先确认三角形的哪条边落在底上。

## 垂直于y轴的截面

当截面垂直于y轴时，所有核心逻辑不变，但我们需要对$y$而非$x$积分，并且必须将所有函数改写为x关于y的表达式。此时截面边长是底区域左右边界曲线之间的水平距离：$s(y) = x_{\text{right}} - x_{\text{left}}$。积分区间是底区域上下端点的y值，体积为：

$$V = \int_c^d A(y) dy$$

半圆和三角形的所有面积公式完全不变。这种变体考查你对切片逻辑的理解，而非单纯记忆，因此是AP考试的常见考点。

**例题:** 一个立体的底是第一象限内由$y = x^2$、$x = 0$和$y = 4$围成的区域。若所有垂直于y轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积。

1. 将$y = x^2$改写为y的函数，第一象限取正根：
2. $$x = \sqrt{y}$$
3. 确定y区间：区域从$y=0$延伸到$y=4$，因此$c=0$，$d=4$。
4. 计算边长$s(y)$：
5. $$s(y) = \sqrt{y} - 0 = \sqrt{y}$$
6. 求等边三角形的截面面积：
7. $$A(y) = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{y})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} y$$
8. 计算体积积分：
9. $$V = \int_0^4 \frac{\sqrt{3}}{4} y dy = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 2\sqrt{3}$$

> **考试提示:** 如果底区域在y轴两侧都有延伸，不要忘记加上y轴到左曲线和y轴到右曲线的距离，才能得到完整的边长。

## 概念检测

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 一个立体的底由$y = x$、$y = 0$和$x = 1$围成。所有垂直于x轴的截面都是半圆，该立体的体积是多少？

   - $\frac{\pi}{24}$
   - $\frac{\pi}{12}$
   - $\frac{\pi}{8}$
   - $\frac{\pi}{6}$

   *答案:* $\frac{\pi}{24}$

   *解析:* 正确：直径$d(x) = x$，面积$A(x) = \frac{\pi}{8}x^2$，从0到1积分得到$\frac{\pi}{24}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 将半圆截面的半径计算为$r(x) = d(x)$而非$d(x)/2$
  - 原因: 学生忘记直径跨越整个底区域，半径是直径长度的一半，因此跳过了除以2的步骤。
  - 正确做法: 一定要先确定截面的哪条边在底区域：如果是直径，代入面积公式前先除以2得到半径。
- **错误做法:** 当斜边（而非直角边）落在底上时，对等腰直角三角形使用$\frac{1}{2}s^2$
  - 原因: 学生死记面积公式，不检查$s$对应哪条边。
  - 正确做法: 每次都从头推导面积：先写下$s$是什么，需要时用勾股定理，再计算面积。
- **错误做法:** 对于垂直于y轴的截面，仍然将函数保留为x的形式并对x积分
  - 原因: 学生习惯了对x积分，没有根据坐标轴方向调整。
  - 正确做法: 一定要确认截面垂直于哪个坐标轴：垂直x轴→对x积分，垂直y轴→对y积分，将所有函数改写为匹配积分变量的形式。
- **错误做法:** 对于垂直于y轴的截面，使用$y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}$求$s(y)$
  - 原因: 学生错误地将x轴的边长公式套用到y轴的情况。
  - 正确做法: 对于垂直于y轴的截面，边长始终是$x_{\text{right}} - x_{\text{left}}$，不是y的上减下。
- **错误做法:** 计算截面面积时忘记将边长平方
  - 原因: 学生匆忙建立表达式，写出$A(x) = k s(x)$而非$A(x) = k s(x)^2$。
  - 正确做法: 写出$A(x)$后，确认边长已经平方：此处所有截面的面积都和$s^2$成正比，因此如果没有平方，你一定犯了错误。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 垂直x轴的通用体积公式 | $V = \int_a^b A(x) dx$ | $a,b$是底的x区间 |
| 垂直y轴的通用体积公式 | $V = \int_c^d A(y) dy$ | $c,d$是底的y区间 |
| x轴垂直截面的边长 | $s(x) = y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}$ | $s$是落在底上的边长 |
| y轴垂直截面的边长 | $s(y) = x_{\text{right}} - x_{\text{left}}$ | $s$是落在底上的边长 |
| 半圆（直径 = $s$） | $A = \frac{\pi}{8} s^2$ | 整圆使用$\frac{\pi}{4} s^2$ |
| 等边三角形（边长 = $s$） | $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ | 整条边落在底上 |
| 等腰直角（直角边 = $s$） | $A = \frac{1}{2} s^2$ | 直角边落在底上 |
| 等腰直角（斜边 = $s$） | $A = \frac{1}{4} s^2$ | AP考试最常见考法 |

## 下一步

已知截面求体积建立在积分“对无穷小切片求和得到总量”的核心思想之上，这一思想统一了AP微积分BC中的所有积分应用。本主题直接为旋转体体积学习做铺垫，旋转体体积实际上是截面法的特例：对于旋转体体积，垂直于旋转轴的每个截面都是圆或圆环，因此通用截面公式可直接简化为圆盘/圆环法规则。掌握此处截面面积和积分区间的建立会让旋转体体积的学习轻松很多。

- [第8单元：积分的应用概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-overview/)
- [绕x轴或y轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-disc-method-around-the-x/)
- [绕其他轴的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-disc-method-around-other-axes/)

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