截面法求体积：正方形与矩形

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 积分的应用· 14 分钟阅读

1. 垂直于x轴的截面★★☆☆☆⏱ 4 min

这是AP考试中最常见的情况。立体的底面位于 $x y$ -平面内，由曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 围成（在 $[a, b]$ 上满足 $f (x) \geq g (x)$ ）。我们用垂直于x轴的竖直平面对立体切片，每片的厚度为 $d x$ ，横截面积为 $A (x)$ ，因此总体积就是 $A (x)$ 在底面区间上的积分。

📘 定义

通用体积公式（垂直于x轴的截面）

V = \int_a^b A(x) dx

总体积等于横截面积从底面区域的左边界 $a$ 到右边界 $b$ 的积分。

📐 例题

已知立体的底面是 $[0, 2]$ 上由 $y = x^{2}$ 和 $y = 4$ 围成的区域，垂直于x轴的截面为正方形，正方形的一条边位于底面区域内，求该立体的体积。

1
确定积分区间和边长函数（即曲线间的竖直距离）：
2
$a=0, \quad b=2, \quad s(x) = 4 - x^2$
3
计算边长为 $s (x)$ 的正方形的横截面积：
4
$A(x) = (4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$
5
利用微积分基本定理建立并计算积分：
6
$V = \int_0^2 (16 - 8x^2 + x^4) dx = \left[16x - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5\right]_0^2 = \frac{256}{15} \approx 17.07$

2. 垂直于y轴的截面★★★☆☆⏱ 4 min

当截面垂直于y轴时，切片是水平而非竖直的，因此我们对 $y$ 积分。底面由 $x = f (y)$ 和 $x = g (y)$ 围成（在 $[c, d]$ 上满足 $f (y) \geq g (y)$ ），边长就是两条曲线之间的水平距离。如果原曲线给出的形式是 $y = f (x)$ ，你必须先反解得到x关于y的函数。

📘 定义

通用体积公式（垂直于y轴的截面）

V = \int_c^d A(y) dy

总体积等于横截面积从y轴上底面区域的下边界 $c$ 到上边界 $d$ 的积分。

📐 例题

已知立体的底面由 $y = x$ 、x轴和 $x = 4$ 围成，垂直于y轴的截面为正方形，正方形的一条边位于底面内，求该立体的体积。

1
将曲线改写为y的函数，确定积分区间：
2
$y = \sqrt{x} \implies x = y^2, \quad c=0, \quad d=2$
3
计算边长（曲线间的水平距离）：
4
$s(y) = 4 - y^2$
5
计算横截面积并积分：
6
$A(y) = (4 - y^2)^2, \quad V = \int_0^2 (16 - 8y^2 + y^4) dy = \frac{256}{15} \approx 17.07$

3. 特殊题型变式★★★☆☆⏱ 3 min

考试中常见的两种变式会改变你根据底面边长计算横截面积的方式：

对角线在底面内的正方形: 如果底面曲线之间的距离等于正方形的对角线 $d$ ，利用关系 $d = s 2$ ，可得面积 $A = \frac{d ^{2}}{2}$ 。
矩形截面: 如果底面边长为 $s$ ，高度与 $s$ 成比例（常数 $k$ 满足 $h = k s$ ），则面积 $A = s \times k s = k s^{2}$ 。如果高度是常数 $h$ ，则面积 $A = s h$ 。

📐 例题

已知立体的底面是 $[0, 1]$ 上由 $y = x$ 和 $y = x^{2}$ 围成的区域，垂直于x轴的截面为正方形，正方形的对角线位于底面区域内，求该立体的体积。

1
求任意 $x$ 处的对角线长度：
2
$d(x) = x - x^2$
3
计算对角线为 $d (x)$ 的正方形的横截面积：
4
$A(x) = \frac{d(x)^2}{2} = \frac{(x - x^2)^2}{2}$
5
建立并计算积分：
6
$V = \int_0^1 \frac{x^2 - 2x^3 + x^4}{2} dx = \frac{1}{60}$

4. AP风格例题练习★★★★☆⏱ 3 min

📐 例题

已知立体的底面由 $y = e^{x}$ 、 $y = 0$ 、 $x = 0$ 和 $x = 1$ 围成，垂直于x轴的截面为矩形，每个矩形的高度等于其底面在xy平面内边长的3倍，求该立体的体积。

1
任意 $x$ 处的底面边长： $s (x) = e^{x}$ ，高度 $h = 3 e^{x}$
2
横截面积：
3
$A(x) = e^x \times 3e^x = 3e^{2x}$
4
积分求体积：
5
$V = \int_0^1 3e^{2x} dx = \frac{3}{2}(e^2 - 1)$

5. 常见陷阱

错误做法:

当正方形的对角线在底面内时，将面积算为 $d^{2}$ 而非 $d^{2} /2$

原因:

你没有仔细读题，默认使用常见的边在底面内的情况计算

正确做法:

开始计算前，先划出题干说明底面上的线段是边还是对角线

错误做法:

对于垂直于y轴的截面，将边长保留为x的函数，却对y积分

原因:

你忘记积分变量必须和截面方向匹配，跳过了反解函数的步骤

正确做法:

建立积分前，将所有函数和边长都表示为对应坐标轴变量的函数（垂直x轴用x，垂直y轴用y）

错误做法:

以错误的顺序相减曲线，得到负的边长，且忘记取绝对值

原因:

你习惯性地按'上减下'计算，没有确认哪个曲线在区间上更大

正确做法:

确认边长在整个积分区间内都为正，必要时交换相减顺序

错误做法:

对于高度与底边长成比例的矩形，将面积算为 $= k s$ 而非 $k s^{2}$

原因:

你忘记矩形面积是底×高，跳过了相乘步骤

正确做法:

开始计算前，先明确写出 $base = s, height = k s, Area = s \times k s$

错误做法:

对 $(a - b x^{n})$ 平方时，展开为 $a^{2} - b^{2} x^{2 n}$ ，漏掉了中间项

原因:

你在积分前的代数展开步骤太匆忙

正确做法:

二项式平方一定要逐项展开，避免漏掉交叉项 $- 2 ab x^{n}$

6. 速查表

类别	公式	说明
体积（垂直x轴）	$V = \int_{a}^{b} A (x) d x$	$a, b$ = 底面的x区间端点， $A (x)$ = 横截面积
体积（垂直y轴）	$V = \int_{c}^{d} A (y) d y$	$c, d$ = 底面的y区间端点， $A (y)$ = 横截面积
正方形（边在底面）	$A = s^{2}$	$s$ = 底面边界曲线之间的距离
正方形（对角线在底面）	$A = \frac{s ^{2}}{2}$	$s$ = 对角线长度 = 边界之间的距离
矩形（底 $s$ ，高 $h$ ）	$A = s \cdot h$	若 $h = k s$ ，则 $A = k s^{2}$ ；若 $h$ 为常数，则 $A = h s$
竖直边长（垂直x轴）	$s (x) = f (x) - g (x), f \geq g$	位于两条y边界曲线之间
水平边长（垂直y轴）	$s (y) = f (y) - g (y), f \geq g$	位于两条x边界曲线之间

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
正方形截面体积
2019 · FRQ
垂直于y轴的截面

下一步

本主题是切片法求体积的基础入门，你接下来会立即将该方法推广到其他截面形状和旋转体体积中。旋转体体积（圆盘/圆环法和圆柱壳法）其实就是切片法的特例：圆盘就是圆形截面，因此你只需要将正方形/矩形的面积公式替换为圆的面积公式即可。如果不掌握截面体积积分的建立方法，很容易混淆旋转体体积的变量和公式，而旋转体体积是AP微积分BC考试中占比更大的考点。本主题还能巩固你求两条曲线之间距离的核心技能，这一技能几乎在所有积分应用中都会用到。