# 截面法求体积：正方形与矩形

> AP 微积分 BC · 积分的应用（第8单元）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-volumes-with-cross-sections-squares/

本教程讲解适用于正方形和矩形截面立体的通用切片体积法，涵盖垂直于x轴和y轴两种情况，包括AP微积分BC考试中常考的常见题型变式。

**先修:** 计算常见函数的定积分; 求两条曲线之间的面积; 将函数改写为关于另一坐标轴变量的表达式

## 学习目标

- 为正方形/矩形截面的立体建立体积积分式
- 求解截面垂直于x轴或y轴时的立体体积
- 处理特殊情况：对角线在底面内的正方形、高度与底边长成比例的矩形
- 避开截面体积问题中的常见考试陷阱

## 垂直于x轴的截面

这是AP考试中最常见的情况。立体的底面位于$xy$-平面内，由曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$围成（在$[a,b]$上满足$f(x) \geq g(x)$）。我们用垂直于x轴的竖直平面对立体切片，每片的厚度为$dx$，横截面积为$A(x)$，因此总体积就是$A(x)$在底面区间上的积分。

**通用体积公式（垂直于x轴的截面）** — 总体积等于横截面积从底面区域的左边界$a$到右边界$b$的积分。

*记法:* V = \int_a^b A(x) dx

**例题:** 已知立体的底面是$[0, 2]$上由$y = x^2$和$y = 4$围成的区域，垂直于x轴的截面为正方形，正方形的一条边位于底面区域内，求该立体的体积。

1. 确定积分区间和边长函数（即曲线间的竖直距离）：
2. $$a=0, \quad b=2, \quad s(x) = 4 - x^2$$
3. 计算边长为$s(x)$的正方形的横截面积：
4. $$A(x) = (4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$$
5. 利用微积分基本定理建立并计算积分：
6. $$V = \int_0^2 (16 - 8x^2 + x^4) dx = \left[16x - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5\right]_0^2 = \frac{256}{15} \approx 17.07$$

> **tip**
>
> 如果截面垂直于x轴，所有函数和边长都必须表示为$x$的函数，积分区间也必须是x的取值范围。

## 垂直于y轴的截面

当截面垂直于y轴时，切片是水平而非竖直的，因此我们对$y$积分。底面由$x=f(y)$和$x=g(y)$围成（在$[c,d]$上满足$f(y) \geq g(y)$），边长就是两条曲线之间的水平距离。如果原曲线给出的形式是$y=f(x)$，你必须先反解得到x关于y的函数。

**通用体积公式（垂直于y轴的截面）** — 总体积等于横截面积从y轴上底面区域的下边界$c$到上边界$d$的积分。

*记法:* V = \int_c^d A(y) dy

**例题:** 已知立体的底面由$y = \sqrt{x}$、x轴和$x = 4$围成，垂直于y轴的截面为正方形，正方形的一条边位于底面内，求该立体的体积。

1. 将曲线改写为y的函数，确定积分区间：
2. $$y = \sqrt{x} \implies x = y^2, \quad c=0, \quad d=2$$
3. 计算边长（曲线间的水平距离）：
4. $$s(y) = 4 - y^2$$
5. 计算横截面积并积分：
6. $$A(y) = (4 - y^2)^2, \quad V = \int_0^2 (16 - 8y^2 + y^4) dy = \frac{256}{15} \approx 17.07$$

> **tip**
>
> 对y积分时绝对不能将边长保留为x的函数——一定要先反解函数，避免变量不匹配。

## 特殊题型变式

考试中常见的两种变式会改变你根据底面边长计算横截面积的方式：

1. **对角线在底面内的正方形**: 如果底面曲线之间的距离等于正方形的对角线$d$，利用关系$d = s\sqrt{2}$，可得面积$A = \frac{d^2}{2}$。
2. **矩形截面**: 如果底面边长为$s$，高度与$s$成比例（常数$k$满足$h = ks$），则面积$A = s \times ks = ks^2$。如果高度是常数$h$，则面积$A = sh$。

**例题:** 已知立体的底面是$[0, 1]$上由$y = x$和$y = x^2$围成的区域，垂直于x轴的截面为正方形，正方形的对角线位于底面区域内，求该立体的体积。

1. 求任意$x$处的对角线长度：
2. $$d(x) = x - x^2$$
3. 计算对角线为$d(x)$的正方形的横截面积：
4. $$A(x) = \frac{d(x)^2}{2} = \frac{(x - x^2)^2}{2}$$
5. 建立并计算积分：
6. $$V = \int_0^1 \frac{x^2 - 2x^3 + x^4}{2} dx = \frac{1}{60}$$

> **tip**
>
> 一定要仔细读题，确认题目说明是正方形的边还是对角线位于底面内——这是非常常见的考点，会直接改变面积计算结果。

## AP风格例题练习

**例题:** 已知立体的底面由$y = e^x$、$y=0$、$x=0$和$x=1$围成，垂直于x轴的截面为矩形，每个矩形的高度等于其底面在xy平面内边长的3倍，求该立体的体积。

1. 任意$x$处的底面边长：$s(x) = e^x$，高度$h = 3e^x$
2. 横截面积：
3. $$A(x) = e^x \times 3e^x = 3e^{2x}$$
4. 积分求体积：
5. $$V = \int_0^1 3e^{2x} dx = \frac{3}{2}(e^2 - 1)$$

## 常见错误

- **错误做法:** 当正方形的对角线在底面内时，将面积算为$d^2$而非$d^2/2$
  - 原因: 你没有仔细读题，默认使用常见的边在底面内的情况计算
  - 正确做法: 开始计算前，先划出题干说明底面上的线段是边还是对角线
- **错误做法:** 对于垂直于y轴的截面，将边长保留为x的函数，却对y积分
  - 原因: 你忘记积分变量必须和截面方向匹配，跳过了反解函数的步骤
  - 正确做法: 建立积分前，将所有函数和边长都表示为对应坐标轴变量的函数（垂直x轴用x，垂直y轴用y）
- **错误做法:** 以错误的顺序相减曲线，得到负的边长，且忘记取绝对值
  - 原因: 你习惯性地按'上减下'计算，没有确认哪个曲线在区间上更大
  - 正确做法: 确认边长在整个积分区间内都为正，必要时交换相减顺序
- **错误做法:** 对于高度与底边长成比例的矩形，将面积算为$= ks$而非$ks^2$
  - 原因: 你忘记矩形面积是底×高，跳过了相乘步骤
  - 正确做法: 开始计算前，先明确写出$\text{base} = s, \text{height} = ks, \text{Area} = s \times ks$
- **错误做法:** 对$(a - bx^n)$平方时，展开为$a^2 - b^2x^{2n}$，漏掉了中间项
  - 原因: 你在积分前的代数展开步骤太匆忙
  - 正确做法: 二项式平方一定要逐项展开，避免漏掉交叉项$-2abx^n$

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 体积（垂直x轴） | $V = \int_a^b A(x) dx$ | $a,b$ = 底面的x区间端点，$A(x)$ = 横截面积 |
| 体积（垂直y轴） | $V = \int_c^d A(y) dy$ | $c,d$ = 底面的y区间端点，$A(y)$ = 横截面积 |
| 正方形（边在底面） | $A = s^2$ | $s$ = 底面边界曲线之间的距离 |
| 正方形（对角线在底面） | $A = \frac{s^2}{2}$ | $s$ = 对角线长度 = 边界之间的距离 |
| 矩形（底$s$，高$h$） | $A = s \cdot h$ | 若$h=ks$，则$A=ks^2$；若$h$为常数，则$A=hs$ |
| 竖直边长（垂直x轴） | $s(x) = f(x) - g(x), f \geq g$ | 位于两条y边界曲线之间 |
| 水平边长（垂直y轴） | $s(y) = f(y) - g(y), f \geq g$ | 位于两条x边界曲线之间 |

## 下一步

本主题是切片法求体积的基础入门，你接下来会立即将该方法推广到其他截面形状和旋转体体积中。旋转体体积（圆盘/圆环法和圆柱壳法）其实就是切片法的特例：圆盘就是圆形截面，因此你只需要将正方形/矩形的面积公式替换为圆的面积公式即可。如果不掌握截面体积积分的建立方法，很容易混淆旋转体体积的变量和公式，而旋转体体积是AP微积分BC考试中占比更大的考点。本主题还能巩固你求两条曲线之间距离的核心技能，这一技能几乎在所有积分应用中都会用到。

- [已知截面求体积：三角形和半圆](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-volumes-with-cross-sections-triangles/)
- [绕x轴或y轴旋转的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-disc-method-around-the-x/)
- [绕其他轴的圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-disc-method-around-other-axes/)

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