通过积分求位置、速度与加速度

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — 积分的应用· 14 分钟阅读

1. 核心定义与关系★☆☆☆☆⏱ 2 min

本主题将积分应用于反转微分微积分中学到的运动物理量之间的导数关系，针对AP考试常考的直线（直线路径）运动场景。

📘 定义

标准运动记号

$s (t)$ (or $x (t)$ ), $v (t)$ , $a (t)$

当 $t \geq 0$ 时， $s (t)$ = 粒子相对于固定原点的位置， $v (t) = s^{'} (t)$ = 速度， $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$ = 加速度。

当已知加速度或速度，要求求速度或位置时，积分是必备工具。你需要掌握的核心技能是区分区间上的净位移（位置的净变化量）和总路程（总路径长度）。根据AP微积分课程和考试描述（CED），积分的应用占BC考试的10-15%，本子主题约占总分的2-4%，会在选择题和自由问答题部分都出现。

2. 结合初始条件求速度与位置★★☆☆☆⏱ 4 min

由于加速度是速度的变化率，速度是位置的变化率，我们通过积分反转这些关系：

v(t) = \int a(t) \, dt + C \\ s(t) = \int v(t) \, dt + C

我们也可以将其写成定积分形式来避免携带未知常数，其中 $τ$ 是积分哑变量：

v(t) = v(0) + \int_0^t a(\tau) d\tau \\ s(t) = s(0) + \int_0^t v(\tau) d\tau

积分常数 $C$ 通过初始条件求解：初始条件指给定起始时刻的速度或位置的已知值。直观理解：积分累加了加速度随时间的所有微小变化得到速度的总变化量，再加上初始速度就得到当前速度，由速度求位置的逻辑完全相同。

📐 例题

一个沿x轴运动的粒子在 $t \geq 0$ 时的加速度为 $a (t) = 6 t - sin t$ 。若初速度是 $v (0) = 2$ ，初位置是 $s (0) = - 3$ ，求位置函数 $s (t)$ 。

1
积分 $a (t)$ 得到 $v (t)$ 的通式：
$v(t) = \int (6t - \sin t) dt = 3t^2 + \cos t + C$
2
代入初速度条件求解 $C$ ： $v (0) = 3 (0)^{2} + cos (0) + C = 1 + C = 2 ⟹ C = 1$ ，因此 $v (t) = 3 t^{2} + cos t + 1$ 。
3
积分 $v (t)$ 得到 $s (t)$ 的通式：
$s(t) = \int (3t^2 + \cos t + 1) dt = t^3 + \sin t + t + D$
4
代入初位置条件求解 $D$ ： $s (0) = 0^{3} + sin (0) + 0 + D = D = - 3$ ，因此 $s (t) = t^{3} + sin t + t - 3$ 。

Exam tip:

每次积分后立刻求解积分常数，不要等到最后再求解多个常数。这可以避免在多步计算中携带未知量导致的计算错误。

3. 计算时间区间内的净位移★★☆☆☆⏱ 3 min

净位移是粒子在两个时刻 $t = a$ 和 $t = b$ 之间位置的净变化量，即 $Δ s = s (b) - s (a)$ 。根据微积分基本定理第二部分，由于 $s (t)$ 是 $v (t)$ 的原函数，我们得到：

\Delta s = s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt

位移是净量：正速度（向正方向运动）使位移增加，负速度（向负方向运动）使位移减少。位移可以为正、负或零，取决于粒子相对于起点的最终位置。计算位移不需要初始条件，因为计算定积分时积分常数会抵消。

📐 例题

一个粒子在 $0 \leq t \leq 4$ 时的速度为 $v (t) = t^{2} - 4 t + 3$ ，求粒子在该区间的净位移。

1
记住位移是速度在区间上的定积分，因此 $Δ s = \int_{0}^{4} (t^{2} - 4 t + 3) d t$ 。
2
求 $v (t)$ 的原函数：
$\int (t^2 - 4t + 3) dt = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t + C$
3
代入上下限 $[0, 4]$ 计算定积分：
$\left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^4 = \left(\frac{64}{3} - 32 + 12\right) - 0 = \frac{4}{3}$
4
结论：在 $t = 4$ 时，粒子位于起点正方向 $\frac{4}{3}$ 单位处。

Exam tip:

如果题目只要求位移，你不需要求解位置函数或积分常数，直接计算速度的定积分即可。

4. 计算时间区间内的总路程★★★☆☆⏱ 5 min

总路程是粒子在 $[a, b]$ 上走过的路径总长度，和运动方向无关。和位移不同，总路程永远非负。任何运动（前进或后退）都会使总路程增加，因此积分前我们需要将负速度转为正。总路程的公式为：

D = \int_a^b |v(t)| \, dt

找出所有区间 $(a, b)$ 内满足 $v (t) = 0$ 的时刻（这些就是转向点，粒子在此处改变方向）。
将原区间拆分为多个子区间，每个子区间内 $v (t)$ 恒正或恒负。
在 $v (t) < 0$ 的子区间上，将 $∣ v (t) ∣$ 替换为 $- v (t)$ 使其为正；在 $v (t) > 0$ 的区间上保持 $v (t)$ 不变。
分别计算每个子区间的积分，再将结果相加。

📐 例题

对于同一个速度为 $v (t) = t^{2} - 4 t + 3$ 、区间为 $0 \leq t \leq 4$ 的粒子，求区间内的总路程。

1
解方程 $v (t) = 0$ 找转向点： $t^{2} - 4 t + 3 = (t - 1) (t - 3) = 0 ⟹ t = 1, t = 3$ ，两个解都在区间 $[0, 4]$ 内。
2
检验每个子区间上 $v (t)$ 的符号： $v (t) > 0$ 在 $(0, 1)$ 和 $(3, 4)$ ， $v (t) < 0$ 在 $(1, 3)$ 。
3
对 $∣ v (t) ∣$ 建立拆分后的积分：
$D = \int_0^1 (t^2 - 4t + 3) dt + \int_1^3 -(t^2 - 4t + 3) dt + \int_3^4 (t^2 - 4t + 3) dt$
4
利用原函数 $F (t) = \frac{t ^{3}}{3} - 2 t^{2} + 3 t$ 计算：
- $\int_{0}^{1} v (t) d t = F (1) - F (0) = \frac{4}{3}$
- $\int_{1}^{3} - v (t) d t = - (F (3) - F (1)) = \frac{4}{3}$
- $\int_{3}^{4} v (t) d t = F (4) - F (3) = \frac{4}{3}$
5
相加得到结果： $D = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$ 单位。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

一个沿直线运动的粒子在 $t \geq 0$ 时的加速度为 $a (t) = 2 e^{2 t}$ 。若初速度 $v (0) = 3$ ，则 $v (1)$ 为多少？
- $e^{2}$
- $e^{2} + 2$
- $2 e^{2} + 1$
- $3 e^{2}$
显示答案
1 —
要由加速度求速度，积分 $a (t)$ 得 $v (t) = e^{2 t} + C$ ，再代入 $v (0) = 1 + C = 3 ⟹ C = 2$ ，因此 $v (1) = e^{2} + 2$ 。

Exam tip:

如果速度在区间内恒不为零，说明粒子不会改变方向，因此总路程等于位移。拆分区间前一定要确认区间内是否存在转向点。

5. 常见陷阱

错误做法:

求总路程时忽略绝对值，像求位移一样直接积分 $v (t)$ 。

原因:

学生容易混淆位移和总路程的定义，在赶时间做FRQ时尤其容易出错。

正确做法:

读完题目后立刻圈出题目要求的量，并在旁边写出对应公式确认。

错误做法:

计算总路程时，忘记在 $v (t) < 0$ 的区间翻转 $v (t)$ 的符号。

原因:

你记得拆分区间，但赶时间时忘记改符号，导致总路程计算结果偏小。

正确做法:

检验完每个子区间的符号后，积分前在每个积分下明确写出 $∣ v (t) ∣ = + v (t)$ 或 $∣ v (t) ∣ = - v (t)$ 。

错误做法:

计算定位移或总路程时也求解积分常数。

原因:

你习惯了求位置函数，因此多做了不必要的步骤，反而引入计算错误。

正确做法:

对于区间上的任意定量化问题，直接使用定积分；只有当题目明确要求完整的位置或速度函数时，才需要求解 $C$ 。

错误做法:

不先积分加速度得速度，直接积分加速度求位移或路程。

原因:

题目给出加速度，你忘记了关系链，跳过了一步。

正确做法:

开始计算前先写出关系链 $a (t) \to v (t) \to s (t) / 位移 / 路程$ 。

错误做法:

积分加速度得到速度函数后，用初始位置常数求解 $C$ 。

原因:

多步积分时赶进度，会混淆哪个初始条件对应哪次积分。

正确做法:

积分加速度得到速度后立刻求解 $C$ ，再继续积分速度求位置。

6. 速查表

类别	公式	注释
由加速度得速度	$v (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} a (τ) d τ$	$v_{0} = v (0)$ 是初速度；对所有 $t \geq 0$ 成立
由速度得位置	$s (t) = s_{0} + \int_{0}^{t} v (τ) d τ$	$s_{0} = s (0)$ 是初位置
不定积分形式速度	$v (t) = \int a (t) d t + C$	利用已知初速度求解 $C$
不定积分形式位置	$s (t) = \int v (t) d t + C$	利用已知初位置求解 $C$
净位移 $[a, b]$	$Δ s = \int_{a}^{b} v (t) d t$	可正/可负/可为零；不需要初位置
总路程 $[a, b]$	$D = \int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$	永远非负；在 $(a, b)$ 内所有转向点拆分区间
核心导数关系	$a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$	通过积分反转得到速度和位置
符号约定	正 $v$ = 向正方向运动	所有AP直线运动问题的标准约定

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC MCQ
由速度函数求总路程
2022 · BC FRQ
结合初始条件，由加速度求位置

下一步

本主题是理解高维运动的基础，高维运动是AP微积分BC的核心考试内容。掌握通过积分建立位置、速度、加速度的关系，是解决参数运动和向量值函数问题的前提，在这些问题中你需要对每个方向分量分别应用相同规则分析二维运动。本主题也和微分方程直接相关，给定加速度和初始条件求位置是常见的多步FRQ设问。如果不在这里巩固位移和路程的关系以及二者的核心区别，你会很难将这些思路扩展到更复杂的运动场景中。