# 绕其他轴的圆盘法

> AP 微积分 BC · CED 第8单元：积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-disc-method-around-other-axes/

本子主题将基础圆盘法推广到计算绕非x轴、非y轴的水平和竖直轴旋转的旋转体体积，这是AP微积分BC考试中最常考的变体题型。

**先修:** [绕x轴和y轴旋转的基础圆盘法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-basic-disc-method/); 坐标平面上两点间的距离; 定积分的建立与计算

## 学习目标

- 调整圆盘法半径，适配不在x=0或y=0处的旋转轴
- 计算绕任意水平或竖直轴旋转的旋转体体积
- 根据旋转轴方向正确选择积分变量
- 避免AP考试体积问题中常见的公式建立错误

## 绕平移后的水平轴旋转

水平旋转轴的形式总是$y = k$，其中$k$是常数。对于圆盘法，切片需要垂直于旋转轴，因此我们使用竖直切片并对$x$积分。和基础圆盘法相比，唯一需要调整的就是正确计算半径：半径是函数$y = f(x)$和旋转轴$y = k$之间的距离。

$$V = \pi \int_a^b \left[ f(x) - k \right]^2 dx$$

由于距离总是正的，且任意实数平方后都是非负的，因此平方后不需要保留绝对值符号。平移旋转轴只会改变半径，不会改变积分限和积分变量。

**例题:** 求由$y = x^2$、$y = 0$和$x=2$围成的区域绕直线$y = -1$旋转所得旋转体的体积。

1. 确定旋转轴方向：轴是水平的（$y=-1$），因此对$x$积分。积分区间是从$x=0$（$y=x^2$和$y=0$的交点）到$x=2$。
2. 计算半径：$y=x^2$和$y=-1$之间的距离是$r = x^2 - (-1) = x^2 + 1$，在区间$[0,2]$上该式始终为正。
3. 建立积分并展开被积函数：
4. $$V = \pi \int_0^2 (x^2 + 1)^2 dx = \pi \int_0^2 (x^4 + 2x^2 + 1) dx$$
5. 积分并计算结果：
6. $$= \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^2 = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \right) = \frac{206\pi}{15}$$

> **tip**
>
> 快速检查半径：当$k=0$时，公式会退化为你已经学过的绕x轴的基础圆盘法公式。这个10秒的检查可以发现大多数公式建立错误。

## 绕平移后的竖直轴旋转

竖直旋转轴的形式是$x = h$，其中$h$是常数。对于圆盘法，切片必须垂直于竖直轴，因此我们使用水平切片并对$y$积分。这要求我们先把所有形如$y = f(x)$的函数改写为$x = g(y)$的形式。

$$V = \pi \int_c^d \left[ g(y) - h \right]^2 dy$$

半径计算的核心逻辑和绕平移后水平轴旋转完全相同：半径就是函数$x = g(y)$和旋转轴$x = h$之间的距离。

**例题:** 求由$y = \sqrt{x}$、$y = 0$和$x=4$围成的区域绕直线$x=5$旋转所得旋转体的体积。

1. 旋转轴方向是竖直的（$x=5$），因此对$y$积分。改写函数：$y = \sqrt{x} \implies x = y^2$。$y$的积分区间是$y=0$到$y=2$。
2. 整个区域都在$x=5$左侧，因此半径是正距离：$r = 5 - y^2$，在区间$[0,2]$上该式始终为正。
3. 建立积分并展开：
4. $$V = \pi \int_0^2 (5 - y^2)^2 dy = \pi \int_0^2 (25 - 10y^2 + y^4) dy$$
5. 计算定积分：
6. $$= \pi \left[ 25y - \frac{10y^3}{3} + \frac{y^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( 50 - \frac{80}{3} + \frac{32}{5} \right) = \frac{446\pi}{15}$$

> **tip**
>
> 将$y=f(x)$改写为$x=g(y)$时，务必检查反函数的代数运算是否正确。即使半径建立正确，这里的小错误也会导致积分结果错误。

## 区域在旋转轴另一侧时的半径调整

AP考试中一种常见的变体题型是整个区域都位于水平轴下方或竖直轴左侧。半径计算的核心规则不变：半径始终是区域边界和旋转轴之间的正距离。

- 整个区域在水平轴$y=k$下方：$r = k - f(x)$
- 整个区域在水平轴$y=k$上方：$r = f(x) - k$
- 整个区域在竖直轴$x=h$左侧：$r = h - g(y)$
- 整个区域在竖直轴$x=h$右侧：$r = g(y) - h$

注意$(f(x) - k)^2 = (k - f(x))^2$，因此平方后无论减法顺序如何得到的体积都相同，但使用正半径在检查时更容易发现公式建立错误。

**例题:** 求由$y = 2x + 1$、$x=0$、$x=3$和$y=0$围成的区域绕水平直线$y=10$旋转所得旋转体的体积。

1. 旋转轴是水平的$y=10$，因此对$x$积分，区间为$x=0$到$x=3$。$y=2x+1$在该区间上的最大值是$7 < 10$，因此整个区域都在旋转轴下方。
2. 计算正半径：$r = 10 - (2x + 1) = 9 - 2x$，在区间$[0,3]$上该式始终为正。
3. 建立积分并展开：
4. $$V = \pi \int_0^3 (9 - 2x)^2 dx = \pi \int_0^3 (81 - 36x + 4x^2) dx$$
5. 计算结果：
6. $$= \pi \left[ 81x - 18x^2 + \frac{4x^3}{3} \right]_0^3 = \pi (243 - 162 + 36) = 117\pi$$

> **tip**
>
> 花10秒快速画出区域和旋转轴的草图，确认区域位于旋转轴的哪一侧。这可以消除90%的半径符号错误。

## AP风格概念检测

**概念自测**

通过这些AP风格的选择题测试你对公式建立规则的理解：

1. 区域$R$由$y = \ln x$、$y = 0$和$x = e$围成。当$R$绕直线$y=2$旋转时，所得旋转体体积的正确积分表达式是？

   - $\pi \int_1^e (2 - \ln x) dx$
   - $\pi \int_0^1 (2 - e^y)^2 dy$
   - $\pi \int_1^e (2 - \ln x)^2 dx$
   - $\pi \int_0^1 (e^y - 2)^2 dy$

   *答案:* $\pi \int_1^e (2 - \ln x)^2 dx$

   *解析:* 正确！旋转轴是水平的，因此对$x$积分，半径必须平方，且对于位于$y=2$下方的区域，正半径是$2 - \ln x$。

2. 设$R$由$y = x^3$、$y=0$、$x=2$围成。当$R$绕$x=-3$旋转时，体积的正确积分表达式是？

   - $\pi \int_0^2 (x^3 +3)^2 dx$
   - $\pi \int_0^8 (y^{1/3} +3)^2 dy$
   - $\pi \int_0^2 (x +3)^2 dx$
   - $\pi \int_0^8 (y^{1/3} -3)^2 dy$

   *答案:* $\pi \int_0^8 (y^{1/3} +3)^2 dy$

   *解析:* 正确！旋转轴是竖直的，因此对$y$积分，将$y=x^3$改写为$x=y^{1/3}$，正半径是$y^{1/3} - (-3) = y^{1/3} +3$。

## 常见错误

- **错误做法:** 用圆盘法绕竖直轴旋转时对$x$积分。
  - 原因: 学生因为大多数函数写成$y=f(x)$的形式，默认就对$x$积分，忘记圆盘法要求切片垂直于旋转轴。
  - 正确做法: 确认旋转轴方向：水平轴→对$x$积分；竖直轴→对$y$积分，并且先将函数改写为$y$的函数。
- **错误做法:** 绕$y=k \neq 0$旋转时，使用$r = f(x)$而不是$r = f(x) - k$（例如绕$y=-1$旋转时用$r = x^2$）。
  - 原因: 学生记住了绕x轴的基础公式，忘记当轴平移时需要调整半径。
  - 正确做法: 无论旋转轴在哪里，平方前都先写出$r = |y_{\text{函数}} - y_{\text{旋转轴}}|$。
- **错误做法:** 当区域和旋转轴之间有空隙时仍然使用圆盘法。
  - 原因: 学生不管旋转体是否空心，只要是绕非标准轴旋转就用圆盘法。
  - 正确做法: 确认区域沿全长都与旋转轴相接。如果有空隙，改用垫圈法。
- **错误做法:** 平方前看到半径为负就惊慌失措，或者修改积分限来修正符号。
  - 原因: 学生总期望函数值大于轴的常数，当情况相反时就会困惑。
  - 正确做法: 交换减法顺序得到正半径，然后平方并正常积分即可。
- **错误做法:** 积分时保留半径外的绝对值符号，导致错误拆分积分。
  - 原因: 学生记得半径是正的，所以出于谨慎保留了绝对值。
  - 正确做法: 平方后去掉绝对值，因为对任意实数$r$都有$(|r|)^2 = r^2$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 圆盘法（水平轴 $y=k$） | $V = \pi \int_a^b \left[f(x) - k\right]^2 dx$ | 对$x$积分；区域与旋转轴相接 |
| 圆盘法（竖直轴 $x=h$） | $V = \pi \int_c^d \left[g(y) - h\right]^2 dy$ | 对$y$积分；先改写函数 |
| 半径（区域在水平轴上方） | $r = f(x) - k$ | 对所有$x \in [a,b]$，当$f(x) > k$时为正 |
| 半径（区域在水平轴下方） | $r = k - f(x)$ | 对所有$x \in [a,b]$，当$f(x) < k$时为正 |
| 半径（区域在竖直轴右侧） | $r = g(y) - h$ | 对所有$y \in [c,d]$，当$g(y) > h$时为正 |
| 半径（区域在竖直轴左侧） | $r = h - g(y)$ | 对所有$y \in [c,d]$，当$g(y) < h$时为正 |
| 半径平方的符号规则 | $(r)^2 = (-r)^2$ | 平方后减法顺序不影响体积结果 |
| 圆盘法使用条件 | N/A | 区域必须与旋转轴相接；有空隙时用垫圈法 |

## 下一步

本主题将基础圆盘法推广到所有水平和竖直旋转轴，是你接下来学习绕非标准轴旋转的垫圈法的直接先修内容。垫圈法使用你在这里学到的相同核心半径计算方法，通过外圆盘面积减去内圆盘面积来处理空心旋转体，因此掌握平移轴的半径建立对避免那里的错误至关重要。本主题是第8单元：积分的应用的核心内容，体积计算在选择题和自由问答题中都占很大比例，还经常结合换元积分法、分部积分法等其他积分技巧。掌握这里的半径建立对于正确解决AP考试中大多数体积问题必不可少。

- [绕其他轴的垫圈法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-washer-method-around-other-axes/)
- [分部积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-by-parts/)
- [绕x轴或y轴旋转的垫圈法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-washer-method-around-the-x/)

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