相交超过两次的曲线之间的面积

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Applications of Integration· 14 分钟阅读

1. 核心概念：基础面积公式何时失效★★☆☆☆⏱ 3 min

单个积分公式 $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ 只有当一个函数在整个区间 $[a, b]$ 上都大于等于另一个函数时，才能给出正确的总面积。当曲线相交超过两次时，上下函数的顺序会发生交换，因此基础公式不再适用。

📘 定义

总面积

$A_{total}$

给定区间内两条曲线之间所有非负有界区域的和。AP考试中提到'面积'时几乎总是要求总面积。

例:

对于相交3次的曲线，总面积会将曲线之间两个独立区域的面积相加。

相比之下，净带符号面积允许正负区域相互抵消，无论有多少交点都可以用单个积分计算。只有AP考试明确要求时才需要计算净面积。

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一道AP考试题目要求'求两条曲线围成区域的面积'，题目要求的是什么？

- 净带符号面积
- 总面积
- 没有更多信息无法确定
显示答案
1 —
AP考试惯例：'有界区域的面积'始终指非负总面积。

Exam tip:

始终确认题目是否明确要求净面积；超过90%的情况下，题目要求的是总面积。

2. 寻找交点并分割积分区间★★☆☆☆⏱ 4 min

解决任何多次相交的面积问题最关键的一步，就是找出目标区间内两条曲线的所有交点。只有交点处才会发生上下函数顺序的交换，因此我们用这些点将整个区间分割为更小的子区间。

将交点按从小到大排序得到 $x_{0} < x_{1} < ... < x_{n}$ 后，对 $x$ 积分求总面积的通用公式为：

A = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} \left( u_i(x) - l_i(x) \right) dx

其中 $u_{i} (x)$ 是第 $i$ 个子区间上的上函数， $l_{i} (x)$ 是下函数。始终要通过在每个子区间内取测试点来确认函数顺序。

📐 例题

找出 $f (x) = x^{3} - 4 x$ 和 $g (x) = x$ 的所有交点，并将从最左交点到最右交点的区间分割为有效的子区间。

1
令 $f (x) = g (x)$ 求解交点：
$x^3 - 4x = x \implies x^3 - 5x = 0 \implies x(x^2 - 5) = 0$
2
求解所有根，得到3个交点：
$x = -\sqrt{5} \approx -2.236, \quad x = 0, \quad x = \sqrt{5} \approx 2.236$
3
$[- 5, 0]$ 和 $[0, 5]$
4
在每个子区间上测试函数顺序：对于 $x = - 1 \in [- 5, 0]$ ， $f (- 1) = 3$ ， $g (- 1) = - 1$ ，因此 $f (x) > g (x)$ 。对于 $x = 1 \in [0, 5]$ ， $f (1) = - 3$ ， $g (1) = 1$ ，因此 $g (x) > f (x)$ 。

Exam tip:

始终将 $f (x) - g (x)$ 完全因式分解以避免漏根；对于高次多项式，先检查公因式。

3. 计算总面积与净带符号面积★★★☆☆⏱ 4 min

区分多次相交曲线的总面积和净带符号面积是AP考试的核心技能。净带符号面积可以用一个积分计算，但总面积需要在每个交点处分割区间。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{3} - 4 x$ 和 $g (x) = x$ 在 $x = - 5$ 和 $x = 5$ 之间，计算(a)净带符号面积，(b)曲线之间的总面积。

1
(a)部分：净带符号面积：直接用单个积分计算：
$\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (f(x) - g(x)) dx = \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (x^3 - 5x) dx$
2
被积函数是奇函数，且在关于原点对称的区间上积分，因此净带符号面积等于：
$0$
3
(b)部分：总面积：使用上一个例子得到的子区间和函数顺序写出分割后的积分：
$A = \int_{-\sqrt{5}}^0 (x^3 - 5x) dx + \int_0^{\sqrt{5}} (5x - x^3) dx$
4
计算第一个积分：
$\left[\frac{x^4}{4} - \frac{5x^2}{2}\right]_{-\sqrt{5}}^0 = 0 - \left(\frac{25}{4} - \frac{25}{2}\right) = \frac{25}{4}$
5
计算第二个积分：
$\left[\frac{5x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{5}} = \left(\frac{25}{2} - \frac{25}{4}\right) - 0 = \frac{25}{4}$
6
将面积相加得到总面积：
$A = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{25}{2} = 12.5$

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$f (x) = sin x$ 和 $g (x) = cos x$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的总面积是多少？

- 0
- 2\sqrt{2}
- 4\sqrt{2}
- 4
显示答案
2 —
选项A是净面积，因此不正确。分割为3个子区间并对上下函数差值积分后得到结果为 $42$ 。

Exam tip:

如果题目说'两条曲线围成区域的面积'，它始终要求的是总面积，而非净面积。只有明确要求时才用单个积分计算净面积。

4. 多次相交曲线对$y$积分★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

当曲线表示为 $y$ 的函数时（即 $x = f (y)$ 和 $x = g (y)$ ），或者对 $y$ 积分可以简化计算时，同样的核心逻辑适用，只需针对积分变量调整即可。我们找出所有交点的 $y$ 坐标，排序后分割为子区间，再检查哪个函数在每个子区间上给出最右侧（更大的） $x$ 值。

对 $y$ 积分求总面积的通用公式为：

A = \sum_{i=1}^n \int_{y_{i-1}}^{y_i} \left( r_i(y) - l_i(y) \right) dy

其中 $r_{i} (y)$ 是第 $i$ 个子区间上最右侧的 $x$ 值， $l_{i} (y)$ 是最左侧的 $x$ 值。

📐 例题

求从最低交点到最高交点之间， $x = y^{3} - 2 y$ 和 $x = y$ 之间的总面积。

1
令两个函数相等求解交点：
$y^3 - 2y = y \implies y^3 - 3y = 0 \implies y(y - \sqrt{3})(y + \sqrt{3}) = 0$
2
交点位于 $y = - 3, 0, 3$ 。分割为子区间并测试顺序：对于 $y = - 1 \in [- 3, 0]$ ， $y^{3} - 2 y = 1$ 大于 $x = - 1$ ，因此 $y^{3} - 2 y$ 是最右侧的x。对于 $y = 1 \in [0, 3]$ ， $y = 1$ 大于 $y^{3} - 2 y = - 1$ ，因此 $y$ 是最右侧的x。
3
写出总面积的积分表达式：
$A = \int_{-\sqrt{3}}^0 (y^3 - 3y) dy + \int_0^{\sqrt{3}} (3y - y^3) dy$
4
计算两个积分并求和得到总面积：
$\frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$

Exam tip:

对 $y$ 积分时千万不要混淆公式：始终是（右侧x减左侧x），而不是（上方y减下方y）——混淆这一点是FRQ中常见的扣分点。

5. 常见陷阱

错误做法:

当 $f (x) - g (x)$ 是高次多项式时，只找到两个交点就停止，漏掉区间内的根。

原因:

学生通常分解出一个根后就忘记求解剩余多项式，想当然认为任意两条曲线只有两个交点。

正确做法:

积分前始终数一下 $f (x) - g (x)$ 的次数，并确认你已经找到了所有落在区间内的根。

错误做法:

在整个区间上对 $f (x) - g (x)$ 用单个积分，计算得到净面积而非题目要求的总面积。

原因:

混淆了两个定义，或者忘记每个交点后上函数会发生交换。

正确做法:

如果题目要求面积，始终在每个交点分割区间，并在每个子区间积分上函数减下函数。

错误做法:

子区间上上下函数顺序颠倒，导致给总面积贡献了负值。

原因:

选择了子区间外的测试点，或者计算函数值时出现算术错误。

正确做法:

始终严格选择子区间内部的测试点，明确写下两个函数的值，积分前确认它们的顺序。

错误做法:

对 $y$ 积分时，使用（上方y减下方y）而非（右侧x减左侧x）。

原因:

对x积分形成的肌肉记忆导致公式混淆。

正确做法:

记住被积函数始终是积分变量的较大值减去较小值。

错误做法:

忘记将同时也是交点的区间端点包含进去，导致子区间数量错误。

原因:

学生只求解开区间内的交点，忽略了端点。

正确做法:

始终检查区间端点是否是交点，如果是的话就将它们加入排序后的分割点列表。

6. 速查表

类别	公式	注释
总面积（对 $x$ 积分）	$A = \sum_{i = 1}^{n} \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} (u_{i} (x) - l_{i} (x)) d x$	交点已排序； $u_{i}$ = 上函数， $l_{i}$ = 下函数；结果恒为正
总面积（对 $y$ 积分）	$A = \sum_{i = 1}^{n} \int_{y_{i - 1}}^{y_{i}} (r_{i} (y) - l_{i} (y)) d y$	交点已排序； $r_{i}$ = 最右侧x， $l_{i}$ = 最左侧x
绝对值形式	$A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$	等价于分割求和；需要在交点分割后计算
净带符号面积	$Net Area = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$	可以为正/负/零；相反区域会相互抵消
第一步	Solve $f (x) = g (x)$ for all roots in $[a, b]$	漏掉区间内任何根都会得到错误答案
测试点检验	Evaluate $f (x) - g (x)$ at one point per subinterval	结果为正则f是上函数，为负则g是上函数；确认函数顺序

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
3分选择题
2023 · FRQ
整道大题中的4分小题

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Unit OverviewAP 微积分 BC 第8单元总览母单元学习目标

下一步

掌握多次相交曲线间面积的计算是AP微积分BC第8单元后续知识点的重要前提。使用 washer 法和壳层法计算立体体积时，你需要正确确定内外半径或积分上下限，这依赖于本文学到的在交点分割区间的相同技能。该知识点也为计算曲线弧长和表面积打下基础，这些内容会用到类似的绝对值积分技巧。除AP考试外，这种在交点分割区间的核心技能也会在未来大学微积分课程中的反常积分和线积分中用到。