表示为x函数的两曲线间面积

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — 积分的应用· 14 分钟阅读

1. 两曲线间面积的核心概念★☆☆☆☆⏱ 3 min

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这是定积分的核心考点，也是AP微积分BC第8单元中占考试分值10-15%的常考应用，每年都会出现在选择题和自由作答题部分。从直观上看，它是上方由 $y = f (x)$ 、下方由 $y = g (x)$ 围成的总非负二维空间，是曲线下面积概念的推广（曲线下面积其实就是曲线和 $y = 0$ 之间的面积）。

核心推导思路来自黎曼和：我们将区域分割为无数个宽度为 $d x$ 的竖直窄矩形，每个矩形的面积为高×宽，再通过积分对所有面积求和。

📘 定义

两曲线间面积（x的函数）

$A = \int_{a}^{b} [f_{top} (x) - f_{bottom} (x)] d x$

在x值的区间上，由表示为 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的两条曲线围成的总非负几何面积，计算方法是对从下曲线到上曲线的竖直薄矩形面积求和。

2. 固定区间上的面积★★☆☆☆⏱ 4 min

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最简单的情况是题目已经给出预设区间 $[a, b]$ ，且一个函数在整个区间上始终大于等于另一个函数。面积公式来自黎曼和近似的极限：

A = \int_a^b \left[ f_{\text{top}}(x) - f_{\text{bottom}}(x) \right] dx

面积始终是非负的，因此减法的顺序至关重要。该公式适用于曲线相对于x轴的任何位置：如果两条曲线都在x轴下方，较高（负值更小）的函数减去较低（负值更大）的函数结果仍然为正，因此你会得到正的面积。

📐 例题

求区间 $[0, 3]$ 上由 $f (x) = 3 x + 1$ 和 $g (x) = x^{2}$ 围成的区域面积。

1
首先确定哪个函数是 $[0, 3]$ 上的上函数。取测试点 $x = 1$ ： $f (1) = 4$ ， $g (1) = 1$ ，因此 $f (x)$ 在整个区间上都大于 $g (x)$ 。
2
确定积分限 $a = 0$ ， $b = 3$ ，上函数 $f_{top} = 3 x + 1$ ，下函数 $f_{bottom} = x^{2}$ 。
3
建立积分：
4
$A = \int_0^3 \left[(3x + 1) - x^2\right] dx = \int_0^3 \left(-x^2 + 3x + 1\right) dx$
5
求不定积分：
6
$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x$
7
用微积分基本定理第二部分计算： $F (3) = - 9 + 13.5 + 3 = 7.5 = \frac{15}{2}$ ，而 $F (0) = 0$ ，因此 $A = \frac{15}{2}$ 。

Exam tip:

如果你不确定哪个是上函数，在建立积分前一定要在区间内至少测试一个点。这个2秒的检查可以避免AP考试中最常见的1分扣分：交换上下函数。

3. 由交点确定区间的封闭区域面积★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

在大多数AP题目中，不会给出预设区间。你必须先通过计算两条曲线的交点来确定积分限。对于形成单个封闭区域的两条连续曲线，它们恰好相交两次，因此两个交点的x坐标就是积分的上下限。找到交点后，你仍然需要确认哪个函数是区间内的上函数，然后像处理固定区间一样应用基本面积公式。

📐 例题

求由 $y = 3 x$ 和 $y = x^{2} - 2 x$ 围成的封闭区域面积。

1
令两个函数相等求交点，将所有项移到一侧：
2
$3x = x^2 - 2x \implies x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0$
3
交点位于 $x = 0$ 和 $x = 5$ ，这就是我们的积分限。
4
在0和5之间取测试点( $x = 1$ )： $y = 3 (1) = 3$ ， $y = 1 - 2 = - 1$ ，因此 $y = 3 x$ 是上函数。
5
建立并计算积分：
6
$A = \int_0^5 \left[3x - (x^2 - 2x)\right] dx = \int_0^5 \left(5x - x^2\right) dx = \left[\frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^5 = \frac{125}{6}$

Exam tip:

绝对不要为了化简而将交点方程的两边同时除以变量（例如 $x$ ）。这会消去 $x = 0$ 这个根，导致积分限错误。始终将所有项移到一侧然后因式分解。

4. 多次相交曲线的总面积★★★★☆⏱ 5 min

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如果两条曲线在最外侧区间内相交超过一次，上下函数会在每个交点处交换位置。由于面积始终是非负的，在整个区间上对原函数的差积分得到的是净符号面积，原上函数下方的面积会抵消正面积，这不是几乎所有AP题目要求的总几何面积。

📐 例题

求区间 $[0, 2]$ 上 $f (x) = x$ 和 $g (x) = x^{3} - x$ 之间的总面积。

1
令函数相等，求 $[0, 2]$ 上的所有交点：
2
$x = x^3 - x \implies x^3 - 2x = 0 \implies x(x^2 - 2) = 0$
3
交点位于 $x = 0$ 和 $x = 2 \approx 1.414$ ，因此我们将区间拆分为 $[0, 2]$ 和 $[2, 2]$ 。
4
检查上下函数： $f (x)$ 是 $[0, 2]$ 上的上函数， $g (x)$ 是 $[2, 2]$ 上的上函数。建立积分和：
5
$A = \int_0^{\sqrt{2}} \left[x - (x^3 - x)\right] dx + \int_{\sqrt{2}}^2 \left[(x^3 - x) - x\right] dx = \int_0^{\sqrt{2}} (2x - x^3) dx + \int_{\sqrt{2}}^2 (x^3 - 2x) dx$
6
计算每个积分：第一个积分结果为 $1$ ，第二个积分结果为 $1$ 。总面积 $A = 1 + 1 = 2$ 。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

$x = 0$ 到 $x = 1$ 之间由 $y = e^{x}$ 和 $y = x$ 围成的区域面积是多少？
- A) $e - \frac{3}{2}$
- B) $e - 1$
- C) $\frac{3}{2} - e$
- D) $e + \frac{1}{2}$
显示答案
A) $e - \frac{3}{2}$ —
回答正确！确认 $e^{x} > x$ 在 $[0, 1]$ 上成立，建立积分 $A = \int_{0}^{1} (e^{x} - x) d x = (e^{x} - \frac{x ^{2}}{2})_{0}^{1} = (e - \frac{1}{2}) - 1 = e - \frac{3}{2}$ 。

Exam tip:

如果题目要求‘总面积’，那么始终需要在每个交点处拆分积分。只有当题目明确要求‘净面积’时，你才不需要拆分积分。

5. 常见陷阱

错误做法:

将交点方程（例如 $4 x = x^{2} - 3 x$ ）两边同时除以 $x$ ，只得到 $x = 7$ 这个解，遗漏了 $x = 0$ 。

原因:

除以变量会消去 $x = 0$ 这个根，当 $x$ 是公因子时， $x = 0$ 是有效解。

正确做法:

始终将交点方程整理为所有项移到一侧，然后提取公因式，不要做除法。

错误做法:

曲线相交时仍然在整个区间上积分 $f (x) - g (x)$ ，得到更小甚至负的总面积。

原因:

这样计算得到的是净符号面积，不是几乎所有AP面积题要求的总几何面积。

正确做法:

找出区间内所有交点，在每个交点处拆分积分，每个子区间都始终用上函数减去下函数。

错误做法:

对于x轴下方的两条曲线，用负值更大（位置更低）的函数减去负值更小（位置更高）的函数，得到负的差值。

原因:

学生错误地认为上函数必须为正，因此搞混了减法的顺序。

正确做法:

无论符号如何，y值更大的始终是上函数。用上函数（负值更小）的y值减去下函数（负值更大）的y值，就能得到正的差值。

错误做法:

对于x的函数，用交点的y坐标作为积分限。

原因:

混淆了交点的x坐标和y坐标，搞混了对x积分的面积和对y积分的面积。

正确做法:

计算x函数的面积时，积分限始终是交点的x坐标。

错误做法:

求三条曲线围成的面积时，只使用最外侧的交点作为区间，不检查区间内上函数的变化。

原因:

学生错误地认为只有区域外边缘的交点才重要，但内部交点也会导致上下函数交换位置。

正确做法:

找出每对边界曲线之间的所有交点，按x值排序，然后对每个连续子区间测试上下函数。

6. 速查表

分类	公式	注释
基础面积（固定区间，上下函数不变）	$A = \int_{a}^{b} [f_{top} (x) - f_{bottom} (x)] d x$	始终非负；只要在 $[a, b]$ 上上函数≥下函数，对任何符号的函数都成立
求交点积分限	Set $f (x) = g (x)$ , solve for $x$	将解按从小到大排序；所有项移到一侧因式分解，不要除以 $x$ 避免丢根
相交曲线的总面积	$A = \sum \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} (top - bottom) d x$	在每个交点处拆分；计算几何总面积时需要拆分，这是大多数AP题的要求
相交曲线之间的净面积	$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$	仅用于净符号面积；负面积会抵消正面积，因此结果可以为零或负
一条曲线和x轴之间的总面积	$A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x = \sum \int (top - bottom) d x$	在所有x截距处拆分；下函数为 $y = 0$
x轴上方一条曲线下的面积	$A = \int_{a}^{b} f (x) d x$	就是 $f (x)$ 和 $y = 0$ 之间的面积

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
两条多项式曲线之间的面积
2022 · FRQ
相交曲线的总面积

下一步

掌握表示为x函数的曲线间面积，是AP微积分BC第8单元中所有其他面积和体积应用的基础。本主题使用的核心积分逻辑可以直接迁移到你接下来学习的所有其他积分应用中，因此在这里打下坚实基础可以避免后续更复杂主题中出现错误。接下来，你会把同样的推导思路应用到计算表示为y函数的曲线间面积，此时x和y的角色交换，需要对y积分。本主题也是旋转体体积、已知截面体积和弧长计算的基础，这些都是AP微积分BC考试中占分很高的重要主题。