实际情境中的累积函数与定积分

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Applications of Integration· 14 分钟阅读

1. 什么是累积函数？★★☆☆☆⏱ 3 min

累积函数是由带变量上限的定积分定义的函数，写为 $A (x) = \int_{a}^{x} r (t) d t$ ，其中 $r (t)$ 是底层量的已知变化率。在实际情境中，对区间上的变化率积分，即可得到原量从下限到上限的总累积净变化。本知识点占AP微积分BC考试分值的10–15%，同时出现在选择题和自由问答题中，通常是多步情境问题的核心框架。

📘 定义

累积函数

$A (x) = \int_{a}^{x} r (t) d t$ , where $r (t)$ is continuous

由带变量上限的定积分定义的函数，给出总量从固定起点 $a$ 到输入 $x$ 的总净变化。和不定积分不同，它对任意输入 $x$ 都返回一个具体的数值。

例:

如果 $r (t)$ 是流入水箱的水流速率， $A (10)$ 就是10分钟内加入水箱的总水量。

2. 净变化定理★★☆☆☆⏱ 3 min

净变化定理是所有实际累积问题的核心理论结论，它直接由微积分基本定理第二部分推导而来，正式确立了变化率和总变化之间的联系。

📘 定义

净变化定理

如果 $Q (t)$ 是可微量，其导数 $Q^{'} (t) = r (t)$ ，那么 $Q$ 在 $[a, b]$ 上的净变化为：

Q(b) - Q(a) = \int_a^b r(t) dt

要求 $b$ 点 $Q$ 的最终值，可以将公式整理为最常用的实际形式： $Q (b) = Q (a) + \int_{a}^{b} r (t) d t$ 。 $r (t)$ 为正表示 $Q$ 增加， $r (t)$ 为负表示 $Q$ 减少。净变化将减少计为负值，这和累加所有变化大小的总变化不同。

📐 例题

一罐从冷藏箱取出的苏打水，温度变化率为 $r (t) = 0.8 e^{0.05 t}$ 华氏度每分钟， $t$ 为取出后的分钟数。如果 $t = 0$ 时苏打水初始温度为40°F，求20分钟后的温度，结果四舍五入到整数。

1
应用净变化定理求最终温度： $T (t) = T (0) + \int_{0}^{t} r (s) d s$ 。我们需要求 $T (20)$ ，已知 $T (0) = 40$ 。
2
将速率函数代入公式：
$T(20) = 40 + \int_0^{20} 0.8 e^{0.05s} ds$
3
计算被积函数的原函数：
$\int 0.8 e^{0.05s} ds = 0.8 \cdot \frac{1}{0.05} e^{0.05s} = 16 e^{0.05s}$
4
计算0到20的定积分：
$16 e^{0.05(20)} - 16 e^0 = 16(e - 1) \approx 27.49$
5
将净变化加到初始温度上得到最终值：
$40 + 27.49 \approx 67$

Exam tip:

一定要明确题目问的是净变化还是最终值。如果给出了初始值，要将净变化（即积分结果）加到初始值上得到最终答案，不要只留积分结果作为答案。

3. 进出速率问题★★★☆☆⏱ 3 min

进出速率问题是AP考试中最常见的实际累积问题情境之一。这类问题对一个系统中总量的流入和流出分别用两个独立速率建模：流入速率 $r_{in} (t)$ 和流出速率 $r_{o u t} (t)$ 。

总量的净变化率为 $r_{n e t} (t) = r_{in} (t) - r_{o u t} (t)$ 。如果初始总量为 $Q_{0}$ ，要求时间 $T$ 时系统中的总总量，累积公式为：

Q(T) = Q_0 + \int_0^T \left(r_{in}(t) - r_{out}(t)\right) dt

要求总量的最大值或最小值，找到 $r_{in} (t) = r_{o u t} (t)$ 处的临界点，再用一阶导数检验确认极值即可。

📐 例题

开放日当天8:00，社区游泳池有12000加仑水。8点之后的 $0 \leq t \leq 12$ 小时内，加水速率为 $r_{in} (t) = 200 t - 5 t^{2}$ 加仑每小时，蒸发和排水速率为 $r_{o u t} (t) = 10 t$ 加仑每小时。问晚上8点（ $t = 12$ ）泳池中有多少水？

1
初始体积 $V_{0} = 12000$ ，因此 $t = 12$ 时体积的公式为：
$V(12) = 12000 + \int_0^{12} (r_{in}(t) - r_{out}(t)) dt$
2
化简被积函数：
$200t - 5t^2 - 10t^{1/2}$
3
求原函数：
$100t^2 - \frac{5}{3}t^3 - \frac{20}{3}t^{3/2}$
4
代入上下限0到12计算（原函数在0处的值为0）：
$100(144) - \frac{5}{3}(1728) - \frac{20}{3}(12\sqrt{12}) \approx 11242.87$
5
加到初始体积上得到最终体积：
$V(12) \approx 12000 + 11242.87 = 23243 \text{ 加仑}$

Exam tip:

当题目要求体积（或总量）取最大值的时间时，不要先积分。直接令 $r_{in} (t) = r_{o u t} (t)$ 求临界点，再用一阶导数检验，能节省自由问答题的答题时间。

4. 运动中的累积问题★★★☆☆⏱ 3 min

运动学（直线运动）问题是AP考试中另一个常见的累积问题情境。沿直线运动时，速度是位置的变化率，加速度是速度的变化率。累积法可以让你从加速度得到速度，从速度得到位置，适用于非恒定加速度的情况。在BC考试中，这个方法可以直接推广到参数运动和向量值运动。

位置的净变化（位移）： $s (b) = s (a) + \int_{a}^{b} v (t) d t$
速度的变化： $v (b) = v (a) + \int_{a}^{b} a (t) d t$
区间 $[a, b]$ 上的总路程： $\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$

一个关键区别：如果物体整体向后运动，净位移可以为负，而总路程始终为正，因为它统计所有方向的运动总和。

📐 例题

一个粒子沿x轴运动， $t \geq 0$ 时加速度为 $a (t) = 6 t - 12$ m/s²。 $t = 0$ 时初始速度 $v (0) = 4$ m/s，初始位置 $s (0) = - 2$ m。求粒子从 $t = 0$ 到 $t = 3$ 的净位移和总路程。

1
通过对加速度从0到 $t$ 积分求速度：
$v(t) = v(0) + \int_0^t (6s - 12) ds = 4 + 3t^2 - 12t = 3t^2 - 12t + 4$
2
找到速度变号的位置：解方程 $3 t^{2} - 12 t + 4 = 0$ 。区间 $[0, 3]$ 内唯一的正解是 $t \approx 0.367$ 。速度在 $[0, 0.367)$ 上为正，在 $(0.367, 3]$ 上为负。
3
计算净位移：
$\int_0^3 v(t) dt = [t^3 - 6t^2 + 4t]_0^3 = 27 - 54 + 12 = -15 \text{ 米}$
4
在变号点拆分积分计算总路程：
$\int_0^{0.367} v(t) dt + \int_{0.367}^3 (-v(t)) dt \approx 0.68 + 15.69 = 16.37 \text{ 米}$

Exam tip:

做BC运动问题时，一定要仔细读题，确认题目问的是净位移还是总路程。计算总路程时忘记加绝对值是考试中最常见的失分原因之一。

5. AP风格例题讲解★★★★☆⏱ 2 min

📐 例题

森林中鹿群数量的变化率，单位为鹿每年， $t$ 为2000年后的年数，表达式为 $r (t) = 120 - 0.2 t^{2}$ 。如果2005年鹿群数量为8000头，2010年鹿群数量为多少？选项: A) 6875 B) 7375 C) 8625 D) 8875

1
应用净变化定理： $P (10) = P (5) + \int_{5}^{10} r (t) d t$ ，其中 $P (5) = 8000$ 。
2
求 $r (t)$ 的原函数：
$\int (120 - 0.2t^2) dt = 120t - \frac{0.2}{3}t^3 + C$
3
计算5到10的定积分：
$\left(120(10) - \frac{0.2}{3}(10)^3\right) - \left(120(5) - \frac{0.2}{3}(5)^3\right) \approx 625$
4
加到初始种群数量上： $8000 + 625 = 8625$ 。正确答案为C。

📐 例题

一台泵将水打入初始 $t = 0$ 分钟时有500升水的储水箱。 $0 \leq t \leq 10$ 分钟内，进水速率为 $r_{in} (t) = 10 t e^{- t /2}$ 升每分钟，出水速率为 $r_{o u t} (t) = 0.5 t^{2}$ 升每分钟。(a) 求区间 $0 \leq t \leq 10$ 内流入水箱的总水量，结果四舍五入到整数升。(b) 写出时间 $t$ 时水箱总水量 $V (t)$ 的表达式。 $t = 4$ 时水箱有多少水？结果四舍五入到整数升。(c) 在 $0 \leq t \leq 10$ 中，什么时候水箱中的水量最大？证明你的结论。

1
(a) 总流入量是 $r_{in} (t)$ 在 $[0, 10]$ 上的积分：
$\text{总流入量} = \int_0^{10} 10t e^{-t/2} dt$
2
用分部积分法求原函数，再求值： $(- 20 t e^{- t /2} - 40 e^{- t /2}) ∣_{0}^{10} \approx 38$ 升。
3
(b) 使用进出速率累积公式得到 $V (t)$ 的表达式：
$V(t) = 500 + \int_0^t \left(10s e^{-s/2} - 0.5s^2\right) ds$
4
代入 $t = 4$ 计算：0到4的积分约为13.1，因此 $V (4) = 500 + 13.1 \approx 513$ 升。
5
(c) 求最大体积，令 $V^{'} (t) = 0$ 找临界点：
$10t e^{-t/2} - 0.5t^2 = t\left(10e^{-t/2} - 0.5t\right) = 0$
6
解为 $t = 0$ 和 $t \approx 5.38$ 。当 $0 < t < 5.38$ 时， $V^{'} (t) > 0$ ，当 $t > 5.38$ 时， $V^{'} (t) < 0$ ，因此根据一阶导数检验，体积在 $t \approx 5.38$ 分钟时取得最大值。

📐 例题

一家小型零售企业将其月利润率建模为 $p (t) = 1500 sin (\frac{π t}{6}) + 200 t$ 美元每月，其中 $t$ 是年初之后的月份数，正弦项用来表示假日销售的季节性波动。问企业在整个第一年（ $0 \leq t \leq 12$ ）的总利润是多少？结合情境解释你的结果。

1
总利润是利润率在0到12上的积分：
$P = \int_0^{12} \left(1500 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 200t\right) dt$
2
求原函数：
$- \frac{9000}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 100t^2$
3
代入上下限0到12计算：
$\left(-\frac{9000}{\pi}\cos(2\pi) + 100(12^2)\right) - \left(-\frac{9000}{\pi}\cos(0)\right) = 14400$
4
第一年的总利润为$14,400。季节性正弦项在整个12个月周期内的积分为零，说明季节性销售波动的净效应在全年中相互抵消了。

6. 常见陷阱

错误做法:

当题目要求总量的最终值时，只写出速率定积分的值，忽略题目给出的初始总量。

原因:

学生混淆了净变化和最终值，忘记积分只给出区间上的变化量，不是从初始值开始的总总量。

正确做法:

一定要先问自己：这个问题问的是变化量还是最终值？如果问的是最终值，就将净变化（积分结果）加到给定的初始值上。

错误做法:

在进出速率问题中，将被积函数写为 $r_{o u t} (t) - r_{in} (t)$ 而不是 $r_{in} (t) - r_{o u t} (t)$ ，颠倒了净速率的符号。

原因:

学生搞混了哪个速率增加总量、哪个速率减少总量，或者抄错了题目给出的速率。

正确做法:

积分前，在你的计算旁明确写出净速率 = 流入速率 - 流出速率，确认被积函数的符号。

错误做法:

当题目要求总路程时，计算 $\int_{a}^{b} v (t) d t$ 而不是 $\int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$ 。

原因:

学生混淆了总路程和净位移，忘记向后运动对总路程的贡献是正的，但对净变化的贡献是负的。

正确做法:

每当题目问总路程或总变化（不是净变化）时，对速率函数的绝对值积分，在速率变号的点拆分积分。

错误做法:

当计算 $F (x) = \int_{2}^{x} r (t) d t$ 在 $x = 1$ 处的值时，写成 $\int_{2}^{1} r (t) d t = \int_{1}^{2} r (t) d t$ 而不改变符号。

原因:

学生忘记交换积分上下限会改变定积分的符号，尤其是当累积函数的上限小于下限时。

正确做法:

记住对任意 $a, b$ 都有 $\int_{a}^{b} r (t) d t = - \int_{b}^{a} r (t) d t$ ，每当计算累积函数在小于下限的输入处的值时都要应用这个规则。

错误做法:

在进出速率问题中求总量的最大值时，先对整个区间积分再找临界点。

原因:

学生一看到速率问题就默认积分，在自由问答题上浪费大量时间。

正确做法:

当要求最大/最小总量时，先令 $r_{in} (t) = r_{o u t} (t)$ 找到临界点，再计算临界点和端点处的总量得到最大值。

7. 速查表

类别	公式	注释
一般累积函数	$A (x) = Q (a) + \int_{a}^{x} r (t) d t$	$r (t)$ = $Q$ 的变化率， $Q (a)$ = 初始值， $A (x)$ = $x$ 处 $Q$ 的总总量
净变化定理	$Q (b) - Q (a) = \int_{a}^{b} r (t) d t$	给出净变化，不是总变化；负值表示净减少
进出速率问题总总量	$Q (T) = Q_{0} + \int_{0}^{T} (r_{in} (t) - r_{o u t} (t)) d t$	适用于有输入/输出速率的系统；最大/最小值出现在 $r_{in} = r_{o u t}$ 处
运动学：净位移	$s (b) = s (a) + \int_{a}^{b} v (t) d t$	位置的净变化，向后运动时可为负
运动学：总路程	$总路程 = \int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$	在 $v (t) = 0$ 的点拆分积分来计算绝对值
运动学：由加速度求速度	$v (b) = v (a) + \int_{a}^{b} a (t) d t$	可直接推广到BC考试的参数/向量值运动
上下限反转规则	$\int_{a}^{b} r (t) d t = - \int_{b}^{a} r (t) d t$	在 $x < a$ 处计算累积函数时需要使用

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC
自由问答题进出速率问题
2022 · BC
单选题运动学累积

下一步

本知识点是AP微积分BC大纲中所有后续实际积分知识点的基础。你会将相同的累积原理应用到求两条曲线之间的面积、旋转体体积、已知截面面积的体积，所有这些内容都依赖于对微小增量积分得到总量的核心思想。如果不掌握实际情境中的累积方法，你很难正确建立面积和体积问题的积分，而这些问题占考试自由问答题部分很大的分值。累积函数也是求解带初始条件的可分离微分方程、以及第8单元后续计算参数曲线弧长的基础。