# 实际情境中的累积函数与定积分

> AP 微积分 BC · 积分的应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-accumulation-functions-and-definite-integrals/

本讲义讲解由定积分定义的累积函数、净变化定理、进出速率问题和运动学累积问题，内容符合AP微积分BC课程与考试说明（CED）第8单元要求。你将学习如何建立并求解AP考试中常见的实际积分问题。

**先修:** [微积分基本定理（第一部分和第二部分）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-fundamental-theorem-calculus/); [基础导数与定积分计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-definite-integral-computation/); [导数作为变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-derivatives-rates-change/)

## 学习目标

- 定义累积函数并在情境中解释其含义
- 应用净变化定理求解实际问题
- 求解进出速率问题并求总量的极值
- 计算运动学问题中的净位移和总路程

## 什么是累积函数？

累积函数是由带变量上限的定积分定义的函数，写为$A(x) = \int_a^x r(t) dt$，其中$r(t)$是底层量的已知变化率。在实际情境中，对区间上的变化率积分，即可得到原量从下限到上限的总累积净变化。本知识点占AP微积分BC考试分值的10–15%，同时出现在选择题和自由问答题中，通常是多步情境问题的核心框架。

**累积函数** — 由带变量上限的定积分定义的函数，给出总量从固定起点$a$到输入$x$的总净变化。和不定积分不同，它对任意输入$x$都返回一个具体的数值。

*记法:* $A(x) = \int_a^x r(t) dt$, where $r(t)$ is continuous

*例:* 如果$r(t)$是流入水箱的水流速率，$A(10)$就是10分钟内加入水箱的总水量。

## 净变化定理

净变化定理是所有实际累积问题的核心理论结论，它直接由微积分基本定理第二部分推导而来，正式确立了变化率和总变化之间的联系。

**净变化定理** — 如果$Q(t)$是可微量，其导数$Q'(t) = r(t)$，那么$Q$在$[a, b]$上的净变化为：

$$Q(b) - Q(a) = \int_a^b r(t) dt$$

要求$b$点$Q$的最终值，可以将公式整理为最常用的实际形式：$Q(b) = Q(a) + \int_a^b r(t) dt$。$r(t)$为正表示$Q$增加，$r(t)$为负表示$Q$减少。净变化将减少计为负值，这和累加所有变化大小的总变化不同。

**例题:** 一罐从冷藏箱取出的苏打水，温度变化率为$r(t) = 0.8e^{0.05t}$华氏度每分钟，$t$为取出后的分钟数。如果$t=0$时苏打水初始温度为40°F，求20分钟后的温度，结果四舍五入到整数。

1. 应用净变化定理求最终温度：$T(t) = T(0) + \int_0^t r(s) ds$。我们需要求$T(20)$，已知$T(0) = 40$。
2. 将速率函数代入公式：

   $$T(20) = 40 + \int_0^{20} 0.8 e^{0.05s} ds$$
3. 计算被积函数的原函数：

   $$\int 0.8 e^{0.05s} ds = 0.8 \cdot \frac{1}{0.05} e^{0.05s} = 16 e^{0.05s}$$
4. 计算0到20的定积分：

   $$16 e^{0.05(20)} - 16 e^0 = 16(e - 1) \approx 27.49$$
5. 将净变化加到初始温度上得到最终值：

   $$40 + 27.49 \approx 67$$

> **考试提示:** 一定要明确题目问的是净变化还是最终值。如果给出了初始值，要将净变化（即积分结果）加到初始值上得到最终答案，不要只留积分结果作为答案。

## 进出速率问题

进出速率问题是AP考试中最常见的实际累积问题情境之一。这类问题对一个系统中总量的流入和流出分别用两个独立速率建模：流入速率$r_{in}(t)$和流出速率$r_{out}(t)$。

总量的净变化率为$r_{net}(t) = r_{in}(t) - r_{out}(t)$。如果初始总量为$Q_0$，要求时间$T$时系统中的总总量，累积公式为：

$$Q(T) = Q_0 + \int_0^T \left(r_{in}(t) - r_{out}(t)\right) dt$$

要求总量的最大值或最小值，找到$r_{in}(t) = r_{out}(t)$处的临界点，再用一阶导数检验确认极值即可。

**例题:** 开放日当天8:00，社区游泳池有12000加仑水。8点之后的$0 \leq t \leq 12$小时内，加水速率为$r_{in}(t) = 200t - 5t^2$加仑每小时，蒸发和排水速率为$r_{out}(t) = 10\sqrt{t}$加仑每小时。问晚上8点（$t=12$）泳池中有多少水？

1. 初始体积$V_0 = 12000$，因此$t=12$时体积的公式为：

   $$V(12) = 12000 + \int_0^{12} (r_{in}(t) - r_{out}(t)) dt$$
2. 化简被积函数：

   $$200t - 5t^2 - 10t^{1/2}$$
3. 求原函数：

   $$100t^2 - \frac{5}{3}t^3 - \frac{20}{3}t^{3/2}$$
4. 代入上下限0到12计算（原函数在0处的值为0）：

   $$100(144) - \frac{5}{3}(1728) - \frac{20}{3}(12\sqrt{12}) \approx 11242.87$$
5. 加到初始体积上得到最终体积：

   $$V(12) \approx 12000 + 11242.87 = 23243 \text{ 加仑}$$

> **考试提示:** 当题目要求体积（或总量）取最大值的时间时，不要先积分。直接令$r_{in}(t) = r_{out}(t)$求临界点，再用一阶导数检验，能节省自由问答题的答题时间。

## 运动中的累积问题

运动学（直线运动）问题是AP考试中另一个常见的累积问题情境。沿直线运动时，速度是位置的变化率，加速度是速度的变化率。累积法可以让你从加速度得到速度，从速度得到位置，适用于非恒定加速度的情况。在BC考试中，这个方法可以直接推广到参数运动和向量值运动。

1. 位置的净变化（位移）：$s(b) = s(a) + \int_a^b v(t) dt$
2. 速度的变化：$v(b) = v(a) + \int_a^b a(t) dt$
3. 区间$[a,b]$上的总路程：$\int_a^b |v(t)| dt$

一个关键区别：如果物体整体向后运动，净位移可以为负，而总路程始终为正，因为它统计所有方向的运动总和。

**例题:** 一个粒子沿x轴运动，$t \geq 0$时加速度为$a(t) = 6t - 12$ m/s²。$t=0$时初始速度$v(0) = 4$ m/s，初始位置$s(0) = -2$ m。求粒子从$t=0$到$t=3$的净位移和总路程。

1. 通过对加速度从0到$t$积分求速度：

   $$v(t) = v(0) + \int_0^t (6s - 12) ds = 4 + 3t^2 - 12t = 3t^2 - 12t + 4$$
2. 找到速度变号的位置：解方程$3t^2 - 12t + 4 = 0$。区间$[0,3]$内唯一的正解是$t \approx 0.367$。速度在$[0, 0.367)$上为正，在$(0.367, 3]$上为负。
3. 计算净位移：

   $$\int_0^3 v(t) dt = [t^3 - 6t^2 + 4t]_0^3 = 27 - 54 + 12 = -15 \text{ 米}$$
4. 在变号点拆分积分计算总路程：

   $$\int_0^{0.367} v(t) dt + \int_{0.367}^3 (-v(t)) dt \approx 0.68 + 15.69 = 16.37 \text{ 米}$$

> **考试提示:** 做BC运动问题时，一定要仔细读题，确认题目问的是净位移还是总路程。计算总路程时忘记加绝对值是考试中最常见的失分原因之一。

## AP风格例题讲解

**例题:** 森林中鹿群数量的变化率，单位为鹿每年，$t$为2000年后的年数，表达式为$r(t) = 120 - 0.2t^2$。如果2005年鹿群数量为8000头，2010年鹿群数量为多少？
选项: A) 6875 B) 7375 C) 8625 D) 8875

1. 应用净变化定理：$P(10) = P(5) + \int_5^{10} r(t) dt$，其中$P(5) = 8000$。
2. 求$r(t)$的原函数：

   $$\int (120 - 0.2t^2) dt = 120t - \frac{0.2}{3}t^3 + C$$
3. 计算5到10的定积分：

   $$\left(120(10) - \frac{0.2}{3}(10)^3\right) - \left(120(5) - \frac{0.2}{3}(5)^3\right) \approx 625$$
4. 加到初始种群数量上：$8000 + 625 = 8625$。正确答案为C。

**例题:** 一台泵将水打入初始$t=0$分钟时有500升水的储水箱。$0 \leq t \leq 10$分钟内，进水速率为$r_{in}(t) = 10t e^{-t/2}$升每分钟，出水速率为$r_{out}(t) = 0.5t^2$升每分钟。(a) 求区间$0 \leq t \leq 10$内流入水箱的总水量，结果四舍五入到整数升。(b) 写出时间$t$时水箱总水量$V(t)$的表达式。$t=4$时水箱有多少水？结果四舍五入到整数升。(c) 在$0 \leq t \leq 10$中，什么时候水箱中的水量最大？证明你的结论。

1. (a) 总流入量是$r_{in}(t)$在$[0,10]$上的积分：

   $$\text{总流入量} = \int_0^{10} 10t e^{-t/2} dt$$
2. 用分部积分法求原函数，再求值：$(-20t e^{-t/2} - 40 e^{-t/2})|_0^{10} \approx 38$ 升。
3. (b) 使用进出速率累积公式得到$V(t)$的表达式：

   $$V(t) = 500 + \int_0^t \left(10s e^{-s/2} - 0.5s^2\right) ds$$
4. 代入$t=4$计算：0到4的积分约为13.1，因此$V(4) = 500 + 13.1 \approx 513$ 升。
5. (c) 求最大体积，令$V'(t) = 0$找临界点：

   $$10t e^{-t/2} - 0.5t^2 = t\left(10e^{-t/2} - 0.5t\right) = 0$$
6. 解为$t=0$和$t \approx 5.38$。当$0 < t < 5.38$时，$V'(t) > 0$，当$t > 5.38$时，$V'(t) < 0$，因此根据一阶导数检验，体积在$t \approx 5.38$分钟时取得最大值。

**例题:** 一家小型零售企业将其月利润率建模为$p(t) = 1500 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 200t$美元每月，其中$t$是年初之后的月份数，正弦项用来表示假日销售的季节性波动。问企业在整个第一年（$0 \leq t \leq 12$）的总利润是多少？结合情境解释你的结果。

1. 总利润是利润率在0到12上的积分：

   $$P = \int_0^{12} \left(1500 \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 200t\right) dt$$
2. 求原函数：

   $$- \frac{9000}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 100t^2$$
3. 代入上下限0到12计算：

   $$\left(-\frac{9000}{\pi}\cos(2\pi) + 100(12^2)\right) - \left(-\frac{9000}{\pi}\cos(0)\right) = 14400$$
4. 第一年的总利润为\$14,400。季节性正弦项在整个12个月周期内的积分为零，说明季节性销售波动的净效应在全年中相互抵消了。

## 常见错误

- **错误做法:** 当题目要求总量的最终值时，只写出速率定积分的值，忽略题目给出的初始总量。
  - 原因: 学生混淆了净变化和最终值，忘记积分只给出区间上的变化量，不是从初始值开始的总总量。
  - 正确做法: 一定要先问自己：这个问题问的是变化量还是最终值？如果问的是最终值，就将净变化（积分结果）加到给定的初始值上。
- **错误做法:** 在进出速率问题中，将被积函数写为$r_{out}(t) - r_{in}(t)$而不是$r_{in}(t) - r_{out}(t)$，颠倒了净速率的符号。
  - 原因: 学生搞混了哪个速率增加总量、哪个速率减少总量，或者抄错了题目给出的速率。
  - 正确做法: 积分前，在你的计算旁明确写出*净速率 = 流入速率 - 流出速率*，确认被积函数的符号。
- **错误做法:** 当题目要求总路程时，计算$\int_a^b v(t) dt$而不是$\int_a^b |v(t)| dt$。
  - 原因: 学生混淆了总路程和净位移，忘记向后运动对总路程的贡献是正的，但对净变化的贡献是负的。
  - 正确做法: 每当题目问总路程或总变化（不是净变化）时，对速率函数的绝对值积分，在速率变号的点拆分积分。
- **错误做法:** 当计算$F(x) = \int_2^x r(t) dt$在$x=1$处的值时，写成$\int_2^1 r(t) dt = \int_1^2 r(t) dt$而不改变符号。
  - 原因: 学生忘记交换积分上下限会改变定积分的符号，尤其是当累积函数的上限小于下限时。
  - 正确做法: 记住对任意$a,b$都有$\int_a^b r(t) dt = -\int_b^a r(t) dt$，每当计算累积函数在小于下限的输入处的值时都要应用这个规则。
- **错误做法:** 在进出速率问题中求总量的最大值时，先对整个区间积分再找临界点。
  - 原因: 学生一看到速率问题就默认积分，在自由问答题上浪费大量时间。
  - 正确做法: 当要求最大/最小总量时，先令$r_{in}(t) = r_{out}(t)$找到临界点，再计算临界点和端点处的总量得到最大值。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 一般累积函数 | $A(x) = Q(a) + \int_a^x r(t) dt$ | $r(t)$ = $Q$的变化率，$Q(a)$ = 初始值，$A(x)$ = $x$处$Q$的总总量 |
| 净变化定理 | $Q(b) - Q(a) = \int_a^b r(t) dt$ | 给出净变化，不是总变化；负值表示净减少 |
| 进出速率问题总总量 | $Q(T) = Q_0 + \int_0^T (r_{in}(t) - r_{out}(t)) dt$ | 适用于有输入/输出速率的系统；最大/最小值出现在$r_{in}=r_{out}$处 |
| 运动学：净位移 | $s(b) = s(a) + \int_a^b v(t) dt$ | 位置的净变化，向后运动时可为负 |
| 运动学：总路程 | $\text{总路程} = \int_a^b \|v(t)\| dt$ | 在$v(t)=0$的点拆分积分来计算绝对值 |
| 运动学：由加速度求速度 | $v(b) = v(a) + \int_a^b a(t) dt$ | 可直接推广到BC考试的参数/向量值运动 |
| 上下限反转规则 | $\int_a^b r(t) dt = -\int_b^a r(t) dt$ | 在$x < a$处计算累积函数时需要使用 |

## 下一步

本知识点是AP微积分BC大纲中所有后续实际积分知识点的基础。你会将相同的累积原理应用到求两条曲线之间的面积、旋转体体积、已知截面面积的体积，所有这些内容都依赖于对微小增量积分得到总量的核心思想。如果不掌握实际情境中的累积方法，你很难正确建立面积和体积问题的积分，而这些问题占考试自由问答题部分很大的分值。累积函数也是求解带初始条件的可分离微分方程、以及第8单元后续计算参数曲线弧长的基础。

- [表示为x函数的两曲线间面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-area-between-curves-expressed-as/)
- [相交超过两次的曲线之间的面积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-area-between-curves-intersecting-more/)
- [截面法求体积：正方形与矩形](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-volumes-with-cross-sections-squares/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-accumulation-functions-and-definite-integrals/