用微分方程对实际场景建模

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 微分方程· 14 分钟阅读

1. 核心技能：将文字描述的变化率转化为方程★★☆☆☆⏱ 3 min

将场景转化为微分方程的核心思想是：任何关于量如何变化的描述，都可以写成 $\frac{d y}{d t}$ （或根据题目选择合适的变量）等于该量的净变化率。一条关键经验法则：如果题目说 $y$ 的变化率与某个量成正比，你需要在方程右侧加上比例常数 $k$ 。

📘 定义

微分方程建模

\frac{dy}{dt} = f(y,t)

将变化量的文字描述转化为微分方程的过程，是AP考试中所有微分方程题目的必需第一步。

标出所有未知函数及其自变量
写出目标未知函数的导数
处理比例关系时，添加比例常数
合并所有增加速率和减少速率，得到最终的净变化率，放在方程右侧

📐 例题

咖啡店的顾客数量 $C (t)$ 的增长速率与当前顾客数和咖啡店最大容量120人的差成正比。写出建模 $C (t)$ 的微分方程。

1
1. 识别变量： $C (t)$ = 时间 $t$ 时的顾客数，最大容量 = 120。题目描述的差值为 $120 - C$ 。
2
1. $C$ 的变化率是 $\frac{d C}{d t}$ ，它与 $120 - C$ 成正比。
3
1. 由于顾客数向容量增长，当 $C < 120$ 时 $\frac{d C}{d t}$ 为正，因此比例常数 $k > 0$ 。
4
1. 最终微分方程：
5
$\frac{dC}{dt} = k(120 - C) \quad k>0$

Exam tip:

在自由问答题中，一定要明确写出微分方程的比例常数；AP阅卷老师要求你必须包含这个常数，即使你不需要计算它的值，才能拿到全部建模步骤分。

2. 常见标准场景模型★★☆☆☆⏱ 4 min

AP考试经常考查一组标准场景模型，你需要能快速识别，不过你始终应该能从题目描述推导出它们，而不是完全依赖记忆。最常见的标准模型有：

指数增长/衰减：如果一个量的变化率与该量的大小成正比， $\frac{d y}{d t} = k y$ ，增长时 $k > 0$ ，衰减时 $k < 0$ 。
牛顿冷却/加热定律：物体温度的变化率与物体温度 $T (t)$ 和恒定环境温度 $T_{s}$ 的差成正比，所以 $\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s})$ 。
逻辑斯蒂种群增长：对于环境容纳量为 $K$ 的种群，增长速率与种群大小和剩余容纳量都成正比： $\frac{d P}{d t} = r P (1 - \frac{P}{K})$ ，其中 $r > 0$ 。
直线运动：加速度是速度的变化率，因此直线运动中 $a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$ 。

📐 例题

森林中的鹿种群环境容纳量为800头，内在增长率常数为每年0.3。写出时间 $t$ （年）时鹿种群 $P (t)$ 的微分方程。

1
1. 该描述符合固定容纳量种群的逻辑斯蒂增长模型。
2
1. 标准逻辑斯蒂微分方程为：
3
$\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$
4
1. 代入给定值 $r = 0.3$ （增长率常数）和 $K = 800$ （环境容纳量）：
5
$\frac{dP}{dt} = 0.3P\left(1 - \frac{P}{800}\right)$
6
1. 验证符号：当 $0 < P < 800$ 时， $\frac{d P}{d t}$ 为正，符合预期的种群增长，因此结果正确。

Exam tip:

始终验证 $\frac{d P}{d t}$ 的符号是否符合你对场景的预期：对于逻辑斯蒂增长，当种群大小在0和容纳量之间时， $\frac{d P}{d t}$ 必须为正。

3. 流入流出系统的净变化率模型★★★☆☆⏱ 5 min

许多AP考题会对混合问题、银行账户或污染系统建模，这些场景中一个量会以不同速率被加入和移除。所有这类问题的核心法则是：

\frac{dQ}{dt} = (\text{rate of } Q \text{ entering the system}) - (\text{rate of } Q \text{ leaving the system})

对于混合问题（最常见的流入流出问题），溶质的流入速率等于流入浓度乘以流入流量。溶质的流出速率等于充分混合系统中当前溶质浓度乘以流出流量。当前浓度为 $\frac{Q ( t )}{V ( t )}$ ，其中 $V (t)$ 是时间 $t$ 时的总体积。如果流入流出速率相等， $V (t)$ 是常数；如果不相等， $V (t) = V_{0} + (r_{in} - r_{o u t}) t$ ，其中 $V_{0}$ 是初始体积。

📐 例题

一个50升的水箱初始装有10升水，其中溶解了2kg糖。含糖浓度0.5kg每升的水以每分钟2升的速率流入水箱，充分混合后的糖水以每分钟1升的速率流出。写出时间 $t$ （分钟）时糖的质量 $Q (t)$ （单位：kg）的微分方程。

1
1. 计算时间 $t$ 时的总体积：初始体积 $V_{0} = 10$ L，净流入量 = $2 - 1 = 1$ L/min，因此 $V (t) = 10 + t$ 。
2
1. 计算糖的流入速率： $0.5 kg/L \times 2 L/min = 1$ kg/min。
3
1. 计算糖的流出速率：浓度 = $\frac{Q ( t )}{10 + t}$ kg/L，因此流出速率 = $1 \times \frac{Q ( t )}{10 + t} = \frac{Q}{10 + t}$ kg/min。
4
1. 应用净变化率法则得到最终微分方程：
5
$\frac{dQ}{dt} = 1 - \frac{Q}{10 + t}$

Exam tip:

混合问题中一定要先计算 $V (t)$ ；除非题目说明水箱始终是满的，否则不要假设体积等于水箱最大容量。

4. AP风格概念检测★★☆☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

通过这道选择题检测你对基础建模的理解：

放射性物质的量 $A (t)$ 的衰减速率与时间 $t$ 时剩余的物质量成正比。以下哪个微分方程正确对该场景建模？
- $\frac{d A}{d t} = k A$ , $k > 0$
- $\frac{d A}{d t} = - k A$ , $k > 0$
- $\frac{d A}{d t} = k A$ , $k = 0$
- $\frac{d A}{d t} = k (A - A_{0})$ , $k > 0$
显示答案
1 —
$A$ 的变化率与 $A$ 成正比，因此形式为 $\frac{d A}{d t} = k A$ 。由于衰减意味着 $A$ 在减少，当 $A$ 为正时 $\frac{d A}{d t}$ 为负，因此 $\frac{d A}{d t} = - k A$ （ $k > 0$ ）是正确的。

5. 常见陷阱

错误做法:

对于冷却物体，写出 $\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s})$ （ $k > 0$ ）后声称这个微分方程错误

原因:

学生死记硬背牛顿冷却定律的特定符号约定，把任何其他形式都标为错误，或是混淆了需要的符号

正确做法:

验证当 $T > T_{s}$ （冷却）时 $\frac{d T}{d t}$ 为负，当 $T < T_{s}$ （加热）时为正；任何满足这个符号条件的微分方程都是可接受的。

错误做法:

当题目说'成正比'时省略比例常数，例如写出 $\frac{d P}{d t} = (K - P)$ 而不是 $\frac{d P}{d t} = k (K - P)$

原因:

学生认为'成正比'只是场景描述，忘记成正比意味着要乘以一个未知常数

正确做法:

每次你在题目中看到'成正比'这个词，先在微分方程中加上比例常数，再继续往下做。

错误做法:

在流入流出速率不同的混合问题中，使用水箱最大体积而不是当前体积 $V (t)$ 计算浓度

原因:

学生默认水箱一开始就是满的，即使题目说明并非如此

正确做法:

建立流出速率之前，一定要显式计算 $V (t) = V_{0} + (r_{in} - r_{o u t}) t$ 。

错误做法:

对于增长的种群，将逻辑斯蒂微分方程写为 $\frac{d P}{d t} = r P (\frac{P}{K} - 1)$ （ $r > 0$ ）

原因:

学生交换了项的顺序，导致当 $P < K$ 时增长率为负

正确做法:

始终验证当 $0 < P < K$ 时 $\frac{d P}{d t}$ 为正；如果为负，交换项的顺序或改变 $r$ 的符号即可。

错误做法:

当题目描述速度的变化率时，把加速度写为 $\frac{d x}{d t}$

原因:

学生混淆了位置、速度和加速度对应的导数

正确做法:

记住速度是 $\frac{d x}{d t}$ ，加速度是 $\frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$ ，因此要将微分方程左侧与发生变化的量对应起来。

6. 速查表

类别	公式	说明
通用净变化率	$\frac{d y}{d t} = 流入速率 - 流出速率$	适用于所有存在量流入流出的问题
比例变化率	$\frac{d y}{d t} = k y$	y的变化率与y成正比； $k > 0$ 为增长， $k < 0$ 为衰减
与差值成正比	$\frac{d y}{d t} = k (y - C)$	$C$ 为常数；k的符号必须与变化方向匹配
牛顿冷却定律	$\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s})$	$T_{s}$ = 恒定环境温度；冷却物体的 $k < 0$
逻辑斯蒂种群增长	$\frac{d P}{d t} = r P (1 - \frac{P}{K})$	$K$ = 环境容纳量， $r > 0$ = 增长率；当 $0 < P < K$ 时 $\frac{d P}{d t} > 0$
混合问题	$\frac{d Q}{d t} = r_{in} c_{in} - r_{o u t} \frac{Q}{V ( t )}$	$V (t) = V_{0} + (r_{in} - r_{o u t}) t$ ， $Q$ = 溶质质量， $c$ = 浓度
直线运动	$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$	加速度是速度的变化率；导数要对应变化的量
恒定增长/衰减	$\frac{d y}{d t} = k$	变化率恒定； $y (t)$ 的斜率固定

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC FRQ
混合问题建模
2022 · BC MCQ
逻辑斯蒂模型建模

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Official SyllabusAP 微积分 BC 课程与考试描述官方主题大纲

下一步

用微分方程建模是第7单元：微分方程中所有后续主题的必备基础。接下来你将学习绘制斜率场来可视化微分方程的解，用分离变量法求解一阶微分方程，以及求初值问题的特解。如果不能从场景正确建立微分方程，你就无法在任何建模自由问答题中得到正确的最终答案，而建模题占AP考试微分方程自由问答题的大部分。除了本单元，这些建模技能是求解参数运动问题和BC独有的二阶微分方程问题的基础，而将文字场景转化为数学的能力对考试中所有应用题都很有用。