# 用微分方程对实际场景建模

> AP 微积分 BC · 第7单元：微分方程
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-modeling-situations-with-differential-equations/

本指南讲解如何为AP微积分BC将实际场景的文字描述转化为微分方程，涵盖指数增长、逻辑斯蒂增长、混合问题、牛顿冷却定律等标准模型，并配有例题讲解和需要避免的常见误区。

**先修:** 导数作为变化率; 方程建立的基础代数知识; 复合函数的链式法则

## 学习目标

- 将文字描述的实际场景转化为微分方程
- 识别并建立标准模型，包括指数增长/衰减、牛顿冷却定律、逻辑斯蒂增长和混合问题
- 避免会导致AP自由问答题失分的常见建模错误
- 验证变化率的符号符合场景描述

## 核心技能：将文字描述的变化率转化为方程

将场景转化为微分方程的核心思想是：任何关于量如何变化的描述，都可以写成$\frac{dy}{dt}$（或根据题目选择合适的变量）等于该量的净变化率。一条关键经验法则：如果题目说$y$的变化率与某个量成正比，你需要在方程右侧加上比例常数$k$。

**微分方程建模** — 将变化量的文字描述转化为微分方程的过程，是AP考试中所有微分方程题目的必需第一步。

*记法:* \frac{dy}{dt} = f(y,t)

1. 标出所有未知函数及其自变量
2. 写出目标未知函数的导数
3. 处理比例关系时，添加比例常数
4. 合并所有增加速率和减少速率，得到最终的净变化率，放在方程右侧

**例题:** 咖啡店的顾客数量$C(t)$的增长速率与当前顾客数和咖啡店最大容量120人的差成正比。写出建模$C(t)$的微分方程。

1. 1. 识别变量：$C(t)$ = 时间$t$时的顾客数，最大容量 = 120。题目描述的差值为$120 - C$。
2. 2. $C$的变化率是$\frac{dC}{dt}$，它与$120 - C$成正比。
3. 3. 由于顾客数向容量增长，当$C < 120$时$\frac{dC}{dt}$为正，因此比例常数$k>0$。
4. 4. 最终微分方程：
5. $$\frac{dC}{dt} = k(120 - C) \quad k>0$$

> **考试提示:** 在自由问答题中，一定要明确写出微分方程的比例常数；AP阅卷老师要求你必须包含这个常数，即使你不需要计算它的值，才能拿到全部建模步骤分。

## 常见标准场景模型

AP考试经常考查一组标准场景模型，你需要能快速识别，不过你始终应该能从题目描述推导出它们，而不是完全依赖记忆。最常见的标准模型有：

- **指数增长/衰减**：如果一个量的变化率与该量的大小成正比，$\frac{dy}{dt} = ky$，增长时$k>0$，衰减时$k<0$。
- **牛顿冷却/加热定律**：物体温度的变化率与物体温度$T(t)$和恒定环境温度$T_s$的差成正比，所以$\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$。
- **逻辑斯蒂种群增长**：对于环境容纳量为$K$的种群，增长速率与种群大小和剩余容纳量都成正比：$\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$，其中$r>0$。
- **直线运动**：加速度是速度的变化率，因此直线运动中$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$。

**例题:** 森林中的鹿种群环境容纳量为800头，内在增长率常数为每年0.3。写出时间$t$（年）时鹿种群$P(t)$的微分方程。

1. 1. 该描述符合固定容纳量种群的逻辑斯蒂增长模型。
2. 2. 标准逻辑斯蒂微分方程为：
3. $$\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$$
4. 3. 代入给定值$r=0.3$（增长率常数）和$K=800$（环境容纳量）：
5. $$\frac{dP}{dt} = 0.3P\left(1 - \frac{P}{800}\right)$$
6. 4. 验证符号：当$0 < P < 800$时，$\frac{dP}{dt}$为正，符合预期的种群增长，因此结果正确。

> **考试提示:** 始终验证$\frac{dP}{dt}$的符号是否符合你对场景的预期：对于逻辑斯蒂增长，当种群大小在0和容纳量之间时，$\frac{dP}{dt}$必须为正。

## 流入流出系统的净变化率模型

许多AP考题会对混合问题、银行账户或污染系统建模，这些场景中一个量会以不同速率被加入和移除。所有这类问题的核心法则是：

$$\frac{dQ}{dt} = (\text{rate of } Q \text{ entering the system}) - (\text{rate of } Q \text{ leaving the system})$$

对于混合问题（最常见的流入流出问题），溶质的流入速率等于流入浓度乘以流入流量。溶质的流出速率等于充分混合系统中当前溶质浓度乘以流出流量。当前浓度为$\frac{Q(t)}{V(t)}$，其中$V(t)$是时间$t$时的总体积。如果流入流出速率相等，$V(t)$是常数；如果不相等，$V(t) = V_0 + (r_{in} - r_{out})t$，其中$V_0$是初始体积。

**例题:** 一个50升的水箱初始装有10升水，其中溶解了2kg糖。含糖浓度0.5kg每升的水以每分钟2升的速率流入水箱，充分混合后的糖水以每分钟1升的速率流出。写出时间$t$（分钟）时糖的质量$Q(t)$（单位：kg）的微分方程。

1. 1. 计算时间$t$时的总体积：初始体积$V_0=10$ L，净流入量 = $2 - 1 = 1$ L/min，因此$V(t) = 10 + t$。
2. 2. 计算糖的流入速率：$0.5 \text{ kg/L} \times 2 \text{ L/min} = 1$ kg/min。
3. 3. 计算糖的流出速率：浓度 = $\frac{Q(t)}{10 + t}$ kg/L，因此流出速率 = $1 \times \frac{Q(t)}{10 + t} = \frac{Q}{10 + t}$ kg/min。
4. 4. 应用净变化率法则得到最终微分方程：
5. $$\frac{dQ}{dt} = 1 - \frac{Q}{10 + t}$$

> **考试提示:** 混合问题中一定要先计算$V(t)$；除非题目说明水箱始终是满的，否则不要假设体积等于水箱最大容量。

## AP风格概念检测

**概念自测**

通过这道选择题检测你对基础建模的理解：

1. 放射性物质的量$A(t)$的衰减速率与时间$t$时剩余的物质量成正比。以下哪个微分方程正确对该场景建模？

   - $\frac{dA}{dt} = kA$, $k>0$
   - $\frac{dA}{dt} = -kA$, $k>0$
   - $\frac{dA}{dt} = kA$, $k=0$
   - $\frac{dA}{dt} = k(A - A_0)$, $k>0$

   *答案:* $\frac{dA}{dt} = -kA$, $k>0$

   *解析:* $A$的变化率与$A$成正比，因此形式为$\frac{dA}{dt} = kA$。由于衰减意味着$A$在减少，当$A$为正时$\frac{dA}{dt}$为负，因此$\frac{dA}{dt} = -kA$（$k>0$）是正确的。

## 常见错误

- **错误做法:** 对于冷却物体，写出$\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$（$k>0$）后声称这个微分方程错误
  - 原因: 学生死记硬背牛顿冷却定律的特定符号约定，把任何其他形式都标为错误，或是混淆了需要的符号
  - 正确做法: 验证当$T > T_s$（冷却）时$\frac{dT}{dt}$为负，当$T < T_s$（加热）时为正；任何满足这个符号条件的微分方程都是可接受的。
- **错误做法:** 当题目说'成正比'时省略比例常数，例如写出$\frac{dP}{dt} = (K - P)$而不是$\frac{dP}{dt} = k(K - P)$
  - 原因: 学生认为'成正比'只是场景描述，忘记成正比意味着要乘以一个未知常数
  - 正确做法: 每次你在题目中看到'成正比'这个词，先在微分方程中加上比例常数，再继续往下做。
- **错误做法:** 在流入流出速率不同的混合问题中，使用水箱最大体积而不是当前体积$V(t)$计算浓度
  - 原因: 学生默认水箱一开始就是满的，即使题目说明并非如此
  - 正确做法: 建立流出速率之前，一定要显式计算$V(t) = V_0 + (r_{in} - r_{out})t$。
- **错误做法:** 对于增长的种群，将逻辑斯蒂微分方程写为$\frac{dP}{dt} = rP\left(\frac{P}{K} - 1\right)$（$r>0$）
  - 原因: 学生交换了项的顺序，导致当$P < K$时增长率为负
  - 正确做法: 始终验证当$0 < P < K$时$\frac{dP}{dt}$为正；如果为负，交换项的顺序或改变$r$的符号即可。
- **错误做法:** 当题目描述速度的变化率时，把加速度写为$\frac{dx}{dt}$
  - 原因: 学生混淆了位置、速度和加速度对应的导数
  - 正确做法: 记住速度是$\frac{dx}{dt}$，加速度是$\frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$，因此要将微分方程左侧与发生变化的量对应起来。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 通用净变化率 | $\frac{dy}{dt} = \text{流入速率} - \text{流出速率}$ | 适用于所有存在量流入流出的问题 |
| 比例变化率 | $\frac{dy}{dt} = ky$ | y的变化率与y成正比；$k>0$为增长，$k<0$为衰减 |
| 与差值成正比 | $\frac{dy}{dt} = k(y - C)$ | $C$为常数；k的符号必须与变化方向匹配 |
| 牛顿冷却定律 | $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$ | $T_s$ = 恒定环境温度；冷却物体的$k<0$ |
| 逻辑斯蒂种群增长 | $\frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)$ | $K$ = 环境容纳量，$r>0$ = 增长率；当$0<P<K$时$\frac{dP}{dt}>0$ |
| 混合问题 | $\frac{dQ}{dt} = r_{in}c_{in} - r_{out}\frac{Q}{V(t)}$ | $V(t) = V_0 + (r_{in} - r_{out})t$，$Q$ = 溶质质量，$c$ = 浓度 |
| 直线运动 | $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ | 加速度是速度的变化率；导数要对应变化的量 |
| 恒定增长/衰减 | $\frac{dy}{dt} = k$ | 变化率恒定；$y(t)$的斜率固定 |

## 下一步

用微分方程建模是第7单元：微分方程中所有后续主题的必备基础。接下来你将学习绘制斜率场来可视化微分方程的解，用分离变量法求解一阶微分方程，以及求初值问题的特解。如果不能从场景正确建立微分方程，你就无法在任何建模自由问答题中得到正确的最终答案，而建模题占AP考试微分方程自由问答题的大部分。除了本单元，这些建模技能是求解参数运动问题和BC独有的二阶微分方程问题的基础，而将文字场景转化为数学的能力对考试中所有应用题都很有用。

- [微分方程解的验证](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-verifying-solutions-for-differential-equations/)
- [绘制斜率场](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-sketching-slope-fields/)
- [斜率场推理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-reasoning-using-slope-fields/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-modeling-situations-with-differential-equations/