微分方程的指数模型

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Differential Equations· 14 分钟阅读

1. 核心指数增长与衰减模型★★☆☆☆⏱ 4 min

指数模型描述变化率与当前量大小成正比的物理量。它们是AP微积分BC考试中最常考察的微分方程模型，同时出现在选择题和自由回答题中。核心关系是： $y (t)$ 对时间 $t$ 的变化率与 $y$ 的当前值成正比。

📘 定义

指数增长/衰减微分方程

\frac{dy}{dt} = ky

一阶可分离微分方程，物理量的变化率与当前量成正比。 $k > 0$ 表示增长， $k < 0$ 表示衰减。

例:

无限种群增长、放射性衰变、连续复利

🔬 推导

目标:

推导核心指数模型的通解

起点:

\frac{dy}{dt} = ky

1
分离变量，将含 $y$ 和 $t$ 的项分别分组：
2
$\frac{1}{y} dy = k dt$
3
对等式两边积分：
4
$\ln|y| = kt + C_1$
5
两边取指数消去自然对数：
6
$|y| = e^{kt + C_1} = e^{C_1}e^{kt}$
7
令 $C = \pm e^{C_{1}}$ 吸收符号和常数，得到 $y = C e^{k t}$ 。代入初始条件 $y (0) = y_{0}$ （ $t = 0$ 时的初始量），可得 $C = y_{0}$ 。

结果:

指数模型的通解为 $y (t) = y_{0} e^{k t}$ ，其中 $y_{0}$ 是 $t = 0$ 时的初始量。

📐 例题

一个细菌种群的增长率与其当前大小成正比。在 $t = 0$ 小时，种群数量为2000。在 $t = 2$ 小时，种群数量为3000。请问 $t = 6$ 小时时种群数量是多少？

1
使用核心指数模型，其通解为：
2
$y(t) = y_0 e^{kt}$
3
代入初始条件 $y (0) = 2000$ ，得 $y_{0} = 2000$ ，因此：
4
$y(t) = 2000 e^{kt}$
5
利用 $t = 2$ 处的已知点求解 $k$ ：
6
$3000 = 2000 e^{2k} \implies \frac{3}{2} = e^{2k} \implies \ln\left(\frac{3}{2}\right) = 2k \implies k = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right)$
7
计算 $y (6)$ ，利用对数法则化简以避免舍入误差：
8
$y(6) = 2000 e^{6k} = 2000 e^{3\ln(3/2)} = 2000 \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 2000 \cdot \frac{27}{8} = 6750$

Exam tip:

在使用计算器计算前，先利用对数指数法则化简 $e^{k t}$ ；这可以避免舍入误差，且通常能得到精确整数结果，这正是AP考试题目几乎 always 期望的。

2. 半衰期与倍增时间★★☆☆☆⏱ 3 min

半衰期（衰减）和倍增时间（增长）是指数模型的常见特殊情况。这类问题不会给出第二个点来求解 $k$ ，而是直接给出物理量减半或翻倍所需的时间。如果你在考场上忘记了公式，它们可以快速推导出来，但记住公式可以节省时间。

半衰期（衰减）： $k = - \frac{l n 2}{T _{1/2}}$ ，其中 $T_{1/2}$ 是物理量减半所需的时间
倍增时间（增长）： $k = \frac{l n 2}{T _{2}}$ ，其中 $T_{2}$ 是物理量翻倍所需的时间

📐 例题

一份100克的放射性同位素样品，半衰期为15年。请问40年后，剩余的原始同位素质量为多少（结果保留整数克）？

1
从衰减通解开始，初始量 $y_{0} = 100$ g：
2
$y(t) = 100 e^{kt}$
3
利用半衰期求解 $k$ ：
4
$k = -\frac{\ln 2}{15} \approx -0.0462$
5
代入 $t = 40$ ，利用指数法则化简：
6
$y(40) = 100 e^{(-\ln 2 / 15)(40)} = 100 (2)^{-8/3} \approx 15.75$
7
四舍五入到整数克，结果为16g。

Exam tip:

在任何衰减问题中求解出 $k$ 后，都要确认 $k$ 是负数；如果你得到了正的 $k$ ，说明你在处理 $ln (1/2)$ 时漏掉了负号，需要在继续计算前修正错误。

3. 牛顿冷却定律★★★☆☆⏱ 4 min

牛顿冷却定律是一种修正后的指数模型，描述物体温度相对于环境恒定温度（称为环境温度）的变化。与基本指数模型（变化率与当前量成正比）不同，这里物体温度的变化率与物体温度和环境温度的差成正比。

📘 定义

牛顿冷却定律

\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)

描述物体相对于恒定环境温度变化的微分方程。 $k$ 始终为负数，因此温度会随时间逐渐趋近于环境温度。

例:

热食物冷却、室内冷饮升温

通过分离变量法求解可得通解，其中 $T_{0}$ 是物体在 $t = 0$ 时的初始温度：

T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}

📐 例题

一杯热咖啡初始温度为180°F。它被放在室温恒定为70°F的房间里。5分钟后，咖啡温度为150°F。请问15分钟后咖啡的温度是多少（结果保留整数度）？

1
确定已知值： $T_{s} = 70° F$ ， $T_{0} = 180° F$ ，代入通解：
2
$T(t) = 70 + (180 - 70)e^{kt} = 70 + 110e^{kt}$
3
利用 $T (5) = 150° F$ 求解 $k$ ：
4
$150 = 70 + 110e^{5k} \implies \frac{8}{11} = e^{5k} \implies k = \frac{1}{5}\ln\left(\frac{8}{11}\right) \approx -0.0645$
5
在 $t = 15$ 处求值，利用指数法则化简：
6
$T(15) = 70 + 110e^{15k} = 70 + 110\left(\frac{8}{11}\right)^3 \approx 112.3°F$
7
四舍五入到整数度，结果为112°F。

Exam tip:

永远不要忘记平移项 $T_{s}$ ；一个常见错误是使用基本指数解 $T (t) = T_{0} e^{k t}$ ，这会错误预测物体温度会趋近于0，而非环境温度。

4. AP风格练习例题★★★☆☆⏱ 3 min

📐 例题

物理量 $y (t)$ 遵循微分方程 $\frac{d y}{d t} = - 0.02 y$ 衰减。若初始量为100，请问该物理量的半衰期是多少（结果保留到十分位）？(A) 13.9 (B) 24.3 (C) 34.7 (D) 69.3

1
使用半衰期关系 $T_{1/2} = \frac{- l n 2}{k}$ ，其中 $k = - 0.02$ ：
2
$T_{1/2} = \frac{-\ln 2}{-0.02} = 34.655$
3
四舍五入到十分位，因此正确答案是 (C) 34.7。

📐 例题

保护森林中的鹿群增长率与当前鹿的数量成正比。在 $t = 0$ 年，种群数量为200。4年后，种群数量为280。(a) 写出任意时间 $t$ 鹿群数量的显式函数 $P (t)$ 。(b) 请问10年后种群数量为多少（结果保留整数）？(c) 请问什么时候种群数量会达到1000（结果保留到十分位年）？

1
(a)问：从指数增长通解开始，代入 $P_{0} = 200$ ：
2
$P(t) = 200 e^{kt}$
3
利用 $P (4) = 280$ 求解 $k$ ：
4
$280 = 200 e^{4k} \implies 1.4 = e^{4k} \implies k = \frac{\ln 1.4}{4}$
5
因此显式函数为 $P (t) = 200 e^{(\frac{l n 1.4}{4}) t}$
6
(b)问：在 $t = 10$ 处求值，利用指数法则化简：
7
$P(10) = 200 (1.4)^{10/4} = 200 (1.4)^{2.5} \approx 442$
8
(c)问：令 $P (t) = 1000$ 求解 $t$ ：
9
$1000 = 200 e^{(\ln 1.4 / 4)t} \implies \ln 5 = \frac{\ln 1.4}{4} t \implies t = \frac{4 \ln 5}{\ln 1.4} \approx 19.1$

📐 例题

兽医给一只狗注射了200mg的药物。药物从狗血液中消除的速率与当前血液中的药物量成正比。3小时后，血液中剩余120mg药物。血液检测只有当药物量不少于10mg时才能检测到药物。请问注射后多少小时药物将无法被检测到？结果保留整数小时，并在情景中解释你的结果。

1
设 $A (t)$ 为 $t$ 小时后血液中的药物量（单位：mg）。消除率与当前量成正比，因此微分方程为 $\frac{d A}{d t} = k A$ ，通解为 $A (t) = 200 e^{k t}$ 。
2
利用 $A (3) = 120$ 求解 $k$ ：
3
$120 = 200 e^{3k} \implies 0.6 = e^{3k} \implies k = \frac{\ln 0.6}{3} \approx -0.1703$
4
令 $A (t) = 10$ （检测阈值）求解 $t$ ：
5
$10 = 200 e^{-0.1703 t} \implies 0.05 = e^{-0.1703 t} \implies t \approx 18$
6
解释：初始注射后约18小时，药物将无法在狗的血液中被检测到。

5. 常见陷阱

错误做法:

将牛顿冷却定律中的 $k$ 写为正数，得出物体温度会无限远离环境温度增长的结论。

原因:

学生混淆了比例常数的符号约定。

正确做法:

始终要检查 $t \to \infty$ 时的极限： $T (t)$ 应该趋近于 $T_{s}$ ，而非无穷大或0，以此确认 $k$ 的符号正确。

错误做法:

在半衰期衰减问题中，推导后得到正的 $k$ 。

原因:

学生忘记 $ln (1/2) = - ln 2$ ，漏掉了负号。

正确做法:

在代入解函数之前，确认所有衰减问题的 $k$ 都是负数。

错误做法:

在问题计算早期就将 $k$ 四舍五入到两位小数，导致最终答案超出AP考试可接受的误差范围。

原因:

学生急于计算 $k$ 的小数值，而没有用对数法则化简。

正确做法:

在计算最终小数值之前，先将 $e^{k t}$ 化简为常数的幂。

错误做法:

积分 $\frac{1}{y} d y = k d t$ 后漏掉积分常数 $+ C$ ，得到没有常数项的解 $y = e^{k t}$ 。

原因:

学生在分离变量步骤太仓促。

正确做法:

两边积分后立即加上积分常数，再进行取指数或整理。

错误做法:

对于连续指数模型，认为 $k = 0.03$ 意味着每年3%的增长。

原因:

学生将离散年度增长与连续增长混淆。

正确做法:

对于连续模型， $k$ 是比例常数；单位时间的增长率百分比为 $k \times 100$ 。

6. 速查表

类别	公式	备注
核心指数模型微分方程	$\frac{d y}{d t} = k y$	适用于 $y$ 的变化率与当前 $y$ 成正比的情况； $k > 0$ 为增长， $k < 0$ 为衰减
通解	$y (t) = y_{0} e^{k t}$	$y_{0}$ 为 $t = 0$ 时 $y$ 的值；通过分离变量法推导得到
半衰期（衰减）	$T_{1/2} = \frac{l n 2}{∣ k ∣}$	物理量减半所需的时间； $k = - \frac{l n 2}{T _{1/2}}$
倍增时间（增长）	$T_{2} = \frac{l n 2}{k}$	增长物理量翻倍所需的时间；所有增长问题中 $k > 0$
牛顿冷却定律微分方程	$\frac{d T}{d t} = k (T - T_{s})$	$T_{s}$ 为恒定环境温度；冷却问题中 $k < 0$
牛顿冷却定律通解	$T (t) = T_{s} + (T_{0} - T_{s}) e^{k t}$	$T_{0}$ 为物体初始温度；当 $t \to \infty$ 时， $T (t) \to T_{s}$
已知点求解 $k$	$ln (\frac{y ( t _{1} )}{y _{0}}) = k t_{1}$	将已知点 $(t_{1}, y (t_{1}))$ 代入通解后使用该式求解 $k$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC MCQ
半衰期计算问题
2022 · BC FRQ
牛顿冷却定律应用问题

下一步

指数模型是你接下来在AP微积分BC第7单元中学习的更复杂微分方程模型的基础。掌握指数模型后，你将立即学习逻辑增长模型，该模型考虑了种群增长中的环境容纳量和有限资源——这是AP微积分BC自由回答题中经常出现的考点。如果不扎实理解指数模型如何从微分方程推导而来，以及如何求解比例常数，你在处理逻辑模型的分离变量和解释时会遇到困难，而逻辑模型与指数模型有许多相同的解性质。指数模型还与课程后面的指数函数积分和参数微分方程相关联。