# 微分方程的指数模型

> AP 微积分 BC · 第7单元：微分方程
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-exponential-models-with-differential-equations/

本指南讲解由一阶微分方程推导得到的指数增长与衰减模型，包括半衰期、倍增时间和牛顿冷却定律。你将学习如何求解AP微积分BC考试中常见的实际情景问题。

**先修:** [可分离变量微分方程的分离变量法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-separation-of-variables/); 指数函数的基本导数与积分法则; 利用初始条件确定积分常数

## 学习目标

- 从微分方程推导指数增长/衰减的通解
- 求解涉及半衰期、倍增时间和牛顿冷却定律的实际问题
- 在实际情景中解释指数模型的参数和解

## 核心指数增长与衰减模型

指数模型描述变化率与当前量大小成正比的物理量。它们是AP微积分BC考试中最常考察的微分方程模型，同时出现在选择题和自由回答题中。核心关系是：$y(t)$ 对时间 $t$ 的变化率与 $y$ 的当前值成正比。

**指数增长/衰减微分方程** — 一阶可分离微分方程，物理量的变化率与当前量成正比。$k>0$ 表示增长，$k<0$ 表示衰减。

*记法:* \frac{dy}{dt} = ky

*例:* 无限种群增长、放射性衰变、连续复利

**推导:** 推导核心指数模型的通解

*起点:* \frac{dy}{dt} = ky

1. 分离变量，将含 $y$ 和 $t$ 的项分别分组：
2. $$\frac{1}{y} dy = k dt$$
3. 对等式两边积分：
4. $$\ln|y| = kt + C_1$$
5. 两边取指数消去自然对数：
6. $$|y| = e^{kt + C_1} = e^{C_1}e^{kt}$$
7. 令 $C = \pm e^{C_1}$ 吸收符号和常数，得到 $y = Ce^{kt}$。代入初始条件 $y(0) = y_0$（$t=0$ 时的初始量），可得 $C = y_0$。

*结论:* 指数模型的通解为 $y(t) = y_0 e^{kt}$，其中 $y_0$ 是 $t=0$ 时的初始量。

**例题:** 一个细菌种群的增长率与其当前大小成正比。在 $t=0$ 小时，种群数量为2000。在 $t=2$ 小时，种群数量为3000。请问 $t=6$ 小时时种群数量是多少？

1. 使用核心指数模型，其通解为：
2. $$y(t) = y_0 e^{kt}$$
3. 代入初始条件 $y(0) = 2000$，得 $y_0 = 2000$，因此：
4. $$y(t) = 2000 e^{kt}$$
5. 利用 $t=2$ 处的已知点求解 $k$：
6. $$3000 = 2000 e^{2k} \implies \frac{3}{2} = e^{2k} \implies \ln\left(\frac{3}{2}\right) = 2k \implies k = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right)$$
7. 计算 $y(6)$，利用对数法则化简以避免舍入误差：
8. $$y(6) = 2000 e^{6k} = 2000 e^{3\ln(3/2)} = 2000 \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 2000 \cdot \frac{27}{8} = 6750$$

> **考试提示:** 在使用计算器计算前，先利用对数指数法则化简 $e^{kt}$；这可以避免舍入误差，且通常能得到精确整数结果，这正是AP考试题目几乎 always 期望的。

## 半衰期与倍增时间

半衰期（衰减）和倍增时间（增长）是指数模型的常见特殊情况。这类问题不会给出第二个点来求解 $k$，而是直接给出物理量减半或翻倍所需的时间。如果你在考场上忘记了公式，它们可以快速推导出来，但记住公式可以节省时间。

- 半衰期（衰减）：$k = -\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$，其中 $T_{1/2}$ 是物理量减半所需的时间
- 倍增时间（增长）：$k = \frac{\ln 2}{T_2}$，其中 $T_2$ 是物理量翻倍所需的时间

**例题:** 一份100克的放射性同位素样品，半衰期为15年。请问40年后，剩余的原始同位素质量为多少（结果保留整数克）？

1. 从衰减通解开始，初始量 $y_0 = 100$g：
2. $$y(t) = 100 e^{kt}$$
3. 利用半衰期求解 $k$：
4. $$k = -\frac{\ln 2}{15} \approx -0.0462$$
5. 代入 $t=40$，利用指数法则化简：
6. $$y(40) = 100 e^{(-\ln 2 / 15)(40)} = 100 (2)^{-8/3} \approx 15.75$$
7. 四舍五入到整数克，结果为16g。

> **考试提示:** 在任何衰减问题中求解出 $k$ 后，都要确认 $k$ 是负数；如果你得到了正的 $k$，说明你在处理 $\ln(1/2)$ 时漏掉了负号，需要在继续计算前修正错误。

## 牛顿冷却定律

牛顿冷却定律是一种修正后的指数模型，描述物体温度相对于环境恒定温度（称为环境温度）的变化。与基本指数模型（变化率与当前量成正比）不同，这里物体温度的变化率与物体温度和环境温度的差成正比。

**牛顿冷却定律** — 描述物体相对于恒定环境温度变化的微分方程。$k$ 始终为负数，因此温度会随时间逐渐趋近于环境温度。

*记法:* \frac{dT}{dt} = k(T - T_s)

*例:* 热食物冷却、室内冷饮升温

通过分离变量法求解可得通解，其中 $T_0$ 是物体在 $t=0$ 时的初始温度：

$$T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}$$

**例题:** 一杯热咖啡初始温度为180°F。它被放在室温恒定为70°F的房间里。5分钟后，咖啡温度为150°F。请问15分钟后咖啡的温度是多少（结果保留整数度）？

1. 确定已知值：$T_s = 70°F$，$T_0 = 180°F$，代入通解：
2. $$T(t) = 70 + (180 - 70)e^{kt} = 70 + 110e^{kt}$$
3. 利用 $T(5) = 150°F$ 求解 $k$：
4. $$150 = 70 + 110e^{5k} \implies \frac{8}{11} = e^{5k} \implies k = \frac{1}{5}\ln\left(\frac{8}{11}\right) \approx -0.0645$$
5. 在 $t=15$ 处求值，利用指数法则化简：
6. $$T(15) = 70 + 110e^{15k} = 70 + 110\left(\frac{8}{11}\right)^3 \approx 112.3°F$$
7. 四舍五入到整数度，结果为112°F。

> **考试提示:** 永远不要忘记平移项 $T_s$；一个常见错误是使用基本指数解 $T(t) = T_0 e^{kt}$，这会错误预测物体温度会趋近于0，而非环境温度。

## AP风格练习例题

**例题:** 物理量 $y(t)$ 遵循微分方程 $\frac{dy}{dt} = -0.02 y$ 衰减。若初始量为100，请问该物理量的半衰期是多少（结果保留到十分位）？(A) 13.9 (B) 24.3 (C) 34.7 (D) 69.3

1. 使用半衰期关系 $T_{1/2} = \frac{-\ln 2}{k}$，其中 $k = -0.02$：
2. $$T_{1/2} = \frac{-\ln 2}{-0.02} = 34.655$$
3. 四舍五入到十分位，因此正确答案是 (C) 34.7。

**例题:** 保护森林中的鹿群增长率与当前鹿的数量成正比。在 $t=0$ 年，种群数量为200。4年后，种群数量为280。(a) 写出任意时间 $t$ 鹿群数量的显式函数 $P(t)$。(b) 请问10年后种群数量为多少（结果保留整数）？(c) 请问什么时候种群数量会达到1000（结果保留到十分位年）？

1. (a)问：从指数增长通解开始，代入 $P_0 = 200$：
2. $$P(t) = 200 e^{kt}$$
3. 利用 $P(4) = 280$ 求解 $k$：
4. $$280 = 200 e^{4k} \implies 1.4 = e^{4k} \implies k = \frac{\ln 1.4}{4}$$
5. 因此显式函数为 $P(t) = 200 e^{\left(\frac{\ln 1.4}{4}\right)t}$
6. (b)问：在 $t=10$ 处求值，利用指数法则化简：
7. $$P(10) = 200 (1.4)^{10/4} = 200 (1.4)^{2.5} \approx 442$$
8. (c)问：令 $P(t) = 1000$ 求解 $t$：
9. $$1000 = 200 e^{(\ln 1.4 / 4)t} \implies \ln 5 = \frac{\ln 1.4}{4} t \implies t = \frac{4 \ln 5}{\ln 1.4} \approx 19.1$$

**例题:** 兽医给一只狗注射了200mg的药物。药物从狗血液中消除的速率与当前血液中的药物量成正比。3小时后，血液中剩余120mg药物。血液检测只有当药物量不少于10mg时才能检测到药物。请问注射后多少小时药物将无法被检测到？结果保留整数小时，并在情景中解释你的结果。

1. 设 $A(t)$ 为 $t$ 小时后血液中的药物量（单位：mg）。消除率与当前量成正比，因此微分方程为 $\frac{dA}{dt} = kA$，通解为 $A(t) = 200 e^{kt}$。
2. 利用 $A(3) = 120$ 求解 $k$：
3. $$120 = 200 e^{3k} \implies 0.6 = e^{3k} \implies k = \frac{\ln 0.6}{3} \approx -0.1703$$
4. 令 $A(t) = 10$（检测阈值）求解 $t$：
5. $$10 = 200 e^{-0.1703 t} \implies 0.05 = e^{-0.1703 t} \implies t \approx 18$$
6. 解释：初始注射后约18小时，药物将无法在狗的血液中被检测到。

## 常见错误

- **错误做法:** 将牛顿冷却定律中的 $k$ 写为正数，得出物体温度会无限远离环境温度增长的结论。
  - 原因: 学生混淆了比例常数的符号约定。
  - 正确做法: 始终要检查 $t \to \infty$ 时的极限：$T(t)$ 应该趋近于 $T_s$，而非无穷大或0，以此确认 $k$ 的符号正确。
- **错误做法:** 在半衰期衰减问题中，推导后得到正的 $k$。
  - 原因: 学生忘记 $\ln(1/2) = -\ln 2$，漏掉了负号。
  - 正确做法: 在代入解函数之前，确认所有衰减问题的 $k$ 都是负数。
- **错误做法:** 在问题计算早期就将 $k$ 四舍五入到两位小数，导致最终答案超出AP考试可接受的误差范围。
  - 原因: 学生急于计算 $k$ 的小数值，而没有用对数法则化简。
  - 正确做法: 在计算最终小数值之前，先将 $e^{kt}$ 化简为常数的幂。
- **错误做法:** 积分 $\frac{1}{y} dy = k dt$ 后漏掉积分常数 $+C$，得到没有常数项的解 $y = e^{kt}$。
  - 原因: 学生在分离变量步骤太仓促。
  - 正确做法: 两边积分后立即加上积分常数，再进行取指数或整理。
- **错误做法:** 对于连续指数模型，认为 $k=0.03$ 意味着每年3%的增长。
  - 原因: 学生将离散年度增长与连续增长混淆。
  - 正确做法: 对于连续模型，$k$ 是比例常数；单位时间的增长率百分比为 $k \times 100$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 核心指数模型微分方程 | $\frac{dy}{dt} = ky$ | 适用于 $y$ 的变化率与当前 $y$ 成正比的情况；$k>0$ 为增长，$k<0$ 为衰减 |
| 通解 | $y(t) = y_0 e^{kt}$ | $y_0$ 为 $t=0$ 时 $y$ 的值；通过分离变量法推导得到 |
| 半衰期（衰减） | $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\|k\|}$ | 物理量减半所需的时间；$k = -\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ |
| 倍增时间（增长） | $T_2 = \frac{\ln 2}{k}$ | 增长物理量翻倍所需的时间；所有增长问题中 $k>0$ |
| 牛顿冷却定律微分方程 | $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$ | $T_s$ 为恒定环境温度；冷却问题中 $k<0$ |
| 牛顿冷却定律通解 | $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{kt}$ | $T_0$ 为物体初始温度；当 $t \to \infty$ 时，$T(t) \to T_s$ |
| 已知点求解 $k$ | $\ln\left(\frac{y(t_1)}{y_0}\right) = k t_1$ | 将已知点 $(t_1, y(t_1))$ 代入通解后使用该式求解 $k$ |

## 下一步

指数模型是你接下来在AP微积分BC第7单元中学习的更复杂微分方程模型的基础。掌握指数模型后，你将立即学习逻辑增长模型，该模型考虑了种群增长中的环境容纳量和有限资源——这是AP微积分BC自由回答题中经常出现的考点。如果不扎实理解指数模型如何从微分方程推导而来，以及如何求解比例常数，你在处理逻辑模型的分离变量和解释时会遇到困难，而逻辑模型与指数模型有许多相同的解性质。指数模型还与课程后面的指数函数积分和参数微分方程相关联。

- [微分方程的逻辑增长模型](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-logistic-models-with-differential-equations/)
- [积分应用概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-overview/)
- [区间上函数的平均值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-average-value-of-a-function/)

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