使用欧拉法近似求解（仅BC）

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Differential Equations· 14 分钟阅读

1. 什么是欧拉法？★★☆☆☆BC 专属⏱ 2 min

欧拉法是一种数值迭代技术，用于对形如 $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ ， $y (x_{0}) = y_{0}$ 的一阶初值问题（IVP）近似求解未知解 $y (x)$ 的值。与分离变量法等能给出精确闭式解的解析方法不同，即使在难以找到精确解的情况下，欧拉法仍然适用。

它仅在AP微积分BC考试中考查，约占总分的2-3%，会出现在选择题和自由问答题中，常与斜率场、人口增长等其他微分方程考点结合考查。其核心思路是在每个已知点使用切线近似，迭代步进至下一个x值。

2. 欧拉法的递归公式★★☆☆☆BC 专属⏱ 4 min

欧拉法的核心是将从初始x值 $x_{0}$ 到目标x值 $x_{t}$ 的区间分成 $n$ 个等距步，每个步的宽度为 $h$ （称为步长）。步长公式为：

h = \frac{x_t - x_0}{n}

从已知初始点 $(x_{0}, y_{0})$ 出发，我们使用步起点处微分方程给出的斜率来近似步终点的y值。通用递归公式为：

x_k = x_0 + k \cdot h

y_k = y_{k-1} + h \cdot f(x_{k-1}, y_{k-1})

📐 例题

给定初值问题 $\frac{d y}{d x} = 2 x - y$ ， $y (0) = 1$ ，使用欧拉法，取步长 $h = 0.5$ 近似求 $y (1.0)$ 。

1
确定参数：初始 $x_{0} = 0$ ， $y_{0} = 1$ ，步长 $h = 0.5$ ，目标 $x = 1.0$ ，因此总共需要2步。
2
第一步到 $x_{1} = 0 + 0.5 = 0.5$ ：计算 $(x_{0}, y_{0})$ 处的斜率：
$f(0,1) = 2(0) - 1 = -1$
3
然后计算 $y_{1}$ 的近似值：
$y_1 = 1 + (0.5)(-1) = 0.5$
4
第二步到 $x_{2} = 0.5 + 0.5 = 1.0$ （我们的目标点）：计算 $(x_{1}, y_{1})$ 处的斜率：
$f(0.5, 0.5) = 2(0.5) - 0.5 = 0.5$
5
计算最终近似值：
$y_2 = 0.5 + (0.5)(0.5) = 0.75$
6
最终结果： $y (1.0) \approx 0.75$

Exam tip:

开始计算前一定要先写下所需的步数。少算一步是极其常见的错误，尤其是当步长为分数、目标x为整数时。

3. 判断高估与低估★★★☆☆BC 专属⏱ 4 min

计算出近似值后，AP考题经常会问该值比精确值高还是低。这取决于解在整个区间上的凹性，因为每一步都使用步起点的切线来近似整个区间：

如果 $y^{''} > 0$ （凹向上），切线位于解曲线下方，因此近似值是低估
如果 $y^{''} < 0$ （凹向下），切线位于解曲线上方，因此近似值是高估

要确定 $y^{''}$ 的符号，先对原微分方程做隐函数求导，再代入 $y^{'} = f (x, y)$ 得到用 $x$ 和 $y$ 表示的 $y^{''}$ ，然后再判断符号。

📐 例题

对于初值问题 $\frac{d y}{d x} = 2 x - y$ ， $y (0) = 1$ ，得到 $y (1.0)$ 的近似值为0.75。这是对精确值的高估还是低估？

1
对微分方程求导得到 $y^{''}$ ：
$y' = 2x - y \implies y'' = 2 - y'$
2
将 $y^{'} = 2 x - y$ 代入 $y^{''}$ 的表达式：
$y'' = 2 - (2x - y) = 2 - 2x + y$
3
检查区间 $[0, 1]$ 上 $y^{''}$ 的符号： $y (x)$ 在该区间上为正，因此 $y^{''}$ 始终为正：在 $x = 0$ 处， $y^{''} = 3 > 0$ ；在 $x = 1$ 处， $y^{''} = y > 0$ 。
4
由于 $y^{''}$ 在 $[0, 1]$ 上处处为正，解曲线凹向上，因此0.75是低估， $y (1.0)$ 的精确值大于0.75。

Exam tip:

只有当 $y^{''}$ 在整个区间内符号不变时，才能得出高估或低估的结论。如果凹性发生变化，你无法对最终近似值做出一般性判断。

4. 步长与误差特性★★★☆☆BC 专属⏱ 3 min

欧拉法是一阶数值方法，意味着总全局误差近似与步长 $h$ 成正比，即 $E = k \cdot h$ ，其中 $k$ 对于给定的初值问题和目标点是常数。步长越小，近似精度越高，AP考试中任何题目都不会需要超过3-4步的计算。

📐 例题

使用步长 $h = 0.4$ 对 $y (2)$ 做欧拉近似，总误差为0.12。假设误差符合欧拉法预期的比例关系，使用步长 $h = 0.1$ 近似 $y (2)$ 时，预期误差是多少？

1
记住对于欧拉法，全局误差 $E = k \cdot h$ ，其中 $k$ 对于该初值问题和目标点是常数。
2
用已知误差求解 $k$ ：
$0.12 = k(0.4) \implies k = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$
3
计算 $h = 0.1$ 时的预期误差：
$E = k \cdot h = 0.3(0.1) = 0.03$
4
步长为0.1时的预期误差是0.03。

5. 常见陷阱

错误做法:

提前一步停止，因为你把起点算作第1步，例如从 $x_{0} = 0$ 出发，目标 $y (1)$ ，步长 $h = 0.5$ ，却在 $x = 0.5$ 处停止。

原因:

学生忘记初始点是第0步，不是第1步，因此会数错所需步数。

正确做法:

开始任何计算前，先明确计算 $n = \frac{x _{target} - x _{0}}{h}$ 得到所需步数，然后每完成一步就划掉一步。

错误做法:

计算 $y_{k}$ 时使用 $f (x_{k}, y_{k})$ 而非 $f (x_{k - 1}, y_{k - 1})$ 。

原因:

学生混淆了递归顺序；计算这一步时 $y_{k}$ 还是未知的。

正确做法:

永远记住，你用的是步起点（你已经得到的已知点）的斜率来计算步终点的y值。

错误做法:

认为凹向上的解会得到高估，或凹向下的解会得到低估。

原因:

学生混淆了切线相对于解曲线的位置。

正确做法:

快速画个草图：凹向上曲线向上弯曲，在切线上方，因此近似值偏低；凹向下曲线向下弯曲，在切线下方，因此近似值偏高。

错误做法:

认为欧拉法中步长减半会让误差变为原来的四分之一。

原因:

学生将欧拉法的一阶误差与未考查的高阶方法的二阶误差混淆。

正确做法:

记住欧拉法是一阶方法：误差随步长线性变化，因此 $h$ 减半误差也减半。

错误做法:

将步长计算为 $h = \frac{n}{x _{target} - x _{0}}$ ，而非 $h = \frac{x _{target} - x _{0}}{n}$ 。

原因:

当给定固定步数 $n$ 时，学生记错公式。

正确做法:

步长是到目标点的总距离除以步数，因此x的差值在分子。

错误做法:

检查凹性时将 $y^{'}$ 留在 $y^{''}$ 的表达式中，因此无法确定 $y^{''}$ 的符号。

原因:

学生隐函数求导后就停止了，忘记代入原微分方程。

正确做法:

得到 $y^{''} = ... + ... y^{'}$ 后，一定要代入 $y^{'} = f (x, y)$ 得到用x和y表示的 $y^{''}$ ，再检查符号。

6. 速查表

类别	公式	说明
步长（从 $x_{0}$ 到 $x_{t}$ 共n步）	$h = \frac{x _{t} - x _{0}}{n}$	先计算步长；所有AP考题都默认步长相等
递归欧拉步	$y_{k} = y_{k - 1} + h \cdot f (x_{k - 1}, y_{k - 1})$	使用步起点（已知点）的斜率
凹性的二阶导数	$y^{''} = f_{x} + f_{y} \cdot f (x, y)$	检查符号前先代入 $y^{'} = f (x, y)$
高估条件	$y^{''} < 0$ 在整个区间成立	凹向下：切线位于曲线上方
低估条件	$y^{''} > 0$ 在整个区间成立	凹向上：切线位于曲线下方
欧拉法全局误差	$E \propto h$	误差随步长线性变化
欧拉法适用问题	$\frac{d y}{d x} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}$	仅适用于一阶初值问题

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · BC MCQ
三步欧拉近似问题
2021 · BC FRQ
欧拉法+凹性判断问题

下一步

掌握欧拉法是学习第7单元（微分方程）剩余考点的重要前提，尤其是微分方程应用建模，当精确解过于复杂难以推导时，通常需要使用数值近似。本考点建立在你已掌握的切线近似知识基础上，将局部线性近似的思路扩展为可以到达任意目标x值的迭代过程。它还介绍了数值分析的核心概念，这些概念广泛应用于工程、生物和物理中，用于求解没有闭式精确解的实际微分方程。如果不掌握欧拉法的递归步进和误差特性，你会在明确考查这个仅BC考点的选择题和自由问答题中丢掉送分题。