1. 求和记号与代数法则★★☆☆☆⏱ 4 min

为了简化求和以便计算或对黎曼和取极限，你需要记住以下核心代数法则和幂和公式：

• 常数倍法则：${\sum }_{i=1}^{n}c{a}_i=c{\sum }_{i=1}^n{a}_i$ 对任意常数$c$成立

• 和差法则：${\sum }_{i=1}^n(a_i\pm b_i)={\sum }_{i=1}^n{a}_i\pm {\sum }_{i=1}^n{b}_i$

• 常数求和：${\sum }_{i=1}^{n}c=nc$

• 幂和公式：${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$，${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Exam tip:

如果你在选择题中计算有限求和，可以通过展开前2-3项和后2-3项交叉验证结果，因为索引范围很小，可以快速验证，避免错误运用法则。

2. 黎曼和近似★★★☆☆⏱ 5 min

要在区间$[a,b]$上构造$n$个等宽子区间的任意黎曼和，首先计算每个切片的宽度：

第$i$个子区间的右端点是$x_i=a+i\Delta x$，左端点是$x_{i-1}=a+(i-1)\Delta x$，中点是$a+(i-0.5)\Delta x$。AP考试常考的四种常见类型是：

• 左黎曼和（LRAM）：使用左端点作为高度：$A\approx {\sum }_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x$

• 右黎曼和（RRAM）：使用右端点作为高度：$A\approx {\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$

• 中点黎曼和（MRAM）：使用中点作为高度：$A\approx {\sum }_{i=1}^{n}f\left(a+(i-0.5)\Delta x\right)\Delta x$

• 梯形黎曼和：对等宽区间，对左右高度取平均：$A\approx \frac{\Delta x}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+...+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$

Exam tip:

对于基于表格的黎曼和问题，一定要确认子区间是否等宽。如果不等宽，你不能使用等宽的梯形或矩形公式——必须单独计算每个切片的面积，每个切片用自己的宽度。

3. 作为黎曼和极限的定积分★★★☆☆⏱ 3 min

定积分的正式定义是：

其中$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，$x_i^{\ast }$是第$i$个子区间中的任意取样点，对于$[a,b]$上的所有连续函数极限都存在（这是你在AP考试中唯一会遇到的情况）。记号有意模仿黎曼和记号：拉长的$\int$符号是历史上表示求和的"S"，$dx$表示子区间的无穷小宽度。

Exam tip:

将黎曼和转换为定积分时，一定要通过$i=1$时$x_i$的值确认$a$，常见错误是默认$a=0$，导致区间偏移。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min