定积分的性质

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Integration and Accumulation of Change· 14 分钟阅读

1. 定积分的基本代数性质★★☆☆☆⏱ 4 min

定积分的所有基本代数性质都直接来自黎曼和的极限定义。这些规则让你无需计算完整黎曼和或原函数，就能整理、化简并求解未知积分值。

零区间法则：如果上下限相等，对任意可积 $f (x)$ 都有 $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ 。从几何意义上说，单个点上不存在面积。
上下限反转法则：交换积分上下限会改变积分的符号： $\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。
常数倍法则：常数可以从积分中提出：对任意常数 $k$ ， $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。
和差法则：和/差的积分等于积分的和/差： $\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ 。
区间可加性：对任意三个实数 $a, b, c$ ，无论 $a, b, c$ 的顺序如何，都有 $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

📐 例题

已知 $\int_{2}^{6} f (x) d x = 8$ ， $\int_{4}^{2} f (x) d x = 3$ ，求 $\int_{4}^{6} 5 f (x) d x$ 的值。

1
对第二个已知积分应用上下限反转法则：
$\int_2^4 f(x) dx = - \int_4^2 f(x) dx = -3$
2
利用区间可加性拆分2到6的已知积分：
$\int_2^6 f(x) dx = \int_2^4 f(x) dx + \int_4^6 f(x) dx = 8$
3
代入已知值，求解 $\int_{4}^{6} f (x) d x$ ：
$-3 + \int_4^6 f(x) dx = 8 \implies \int_4^6 f(x) dx = 11$
4
应用常数倍法则得到最终结果：
$\int_4^6 5 f(x) dx = 5 \times 11 = 55$

Exam tip:

如果题目给出多个积分值要求解未知积分，一定要先明确写出区间可加性，整理清楚需要合并的上下限，避免上下限反转带来的符号错误。

2. 奇偶函数的对称性★★☆☆☆⏱ 4 min

对称性让你无需计算完整原函数，就能化简并计算以 $x = 0$ 为中心的对称区间（即 $[- a, a]$ ）上的积分，在选择题中能节省大量时间。回顾：偶函数满足 $f (- x) = f (x)$ （关于y轴对称），奇函数满足 $f (- x) = - f (x)$ （关于原点对称）。

🔬 推导

目标:

推导 $[- a, a]$ 上奇偶函数积分的对称法则

起点:

将积分拆分为两部分： $\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{- a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{a} f (x) d x$

1
对奇函数，对第一个积分换元 $u = - x$ ： $d u = - d x$ ，当 $x = - a$ 时 $u = a$ ；当 $x = 0$ 时 $u = 0$
$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-u) (-du) = \int_0^a -f(u) du = - \int_0^a f(u) du$
2
将两个积分相加得到奇函数 $f$ 的总积分：
$- \int_0^a f(u) du + \int_0^a f(x) dx = 0$
3
对偶函数，同样换元可得 $f (- u) = f (u)$ ，因此第一个积分变为 $\int_{0}^{a} f (u) d u$ ，因此总积分为：
$\int_0^a f(u) du + \int_0^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$

结果:

最终的对称法则为：若 $f$ 是奇函数，则 $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$ ；若 $f$ 是偶函数，则 $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ 。

📐 例题

不逐项积分，计算 $\int_{- 3}^{3} (5 x^{7} - 4 x^{3} + 2 x - 6 sin x) d x$ 。

1
检查每一项的奇偶性：任意幂次 $x^{n}$ 当 $n$ 为奇数时是奇函数，对常数 $k$ ， $sin (k x)$ 恒为奇函数。
2
被积函数的所有项都是奇函数： $5 x^{7}$ （奇）、 $- 4 x^{3}$ （奇）、 $2 x$ （奇）、 $- 6 sin x$ （奇）。奇函数的和仍是奇函数，因此整个被积函数是奇函数。
3
区间 $[- 3, 3]$ 关于0对称，因此根据奇函数对称性法则，该积分等于0。
$\int_{-3}^3 \left( 5x^7 - 4x^3 + 2x - 6 \sin x \right) dx = 0$

Exam tip:

在对称区间上展开或积分多项式、三角函数前，一定要先检查对称性——如果被积函数是奇函数，答案通常是0，能为你节省2分钟以上的不必要计算。

3. 比较性质与积分中值定理★★★☆☆⏱ 3 min

比较性质让你无需精确计算就能确定定积分的取值范围，这是选择题中常见的题型。核心比较法则如下：

如果 $a < b$ 且对所有 $x \in [a, b]$ 都有 $f (x) \geq g (x)$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq \int_{a}^{b} g (x) d x$ 。
如果 $a < b$ 且对所有 $x \in [a, b]$ 都有 $m \leq f (x) \leq M$ ，那么 $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ 。

📘 定义

积分中值定理（MVT）

若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一个点 $c \in [a, b]$ ，使得 $f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。 $f (c)$ 就是 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的平均值， $f (x)$ 下的净面积等于高为 $f (c)$ 、宽为 $(b - a)$ 的矩形面积。

📐 例题

已知 $f (x) = e^{- x^{2}}$ 在区间 $[0, 2]$ 上，根据积分中值定理求保证存在的 $c$ 值，结果保留一位小数。使用近似值 $\int_{0}^{2} e^{- x^{2}} d x \approx 0.882$ 。

1
根据积分中值定理， $f (c)$ 等于平均值，即：
$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx = \frac{1}{2-0} \int_0^2 e^{-x^2} dx$
2
代入题目给出的积分近似值：
$f(c) = \frac{0.882}{2} = 0.441$
3
令 $f (c) = e^{- c^{2}} = 0.441$ ，然后对两边取自然对数：
$-c^2 = \ln(0.441) \approx -0.818$
4
求解正 $c$ （因为 $c$ 必须在 $[0, 2]$ 内）：
$c = \sqrt{0.818} \approx 0.9$

Exam tip:

当题目要求函数在区间上的平均值时，千万不要忘记用积分除以 $(b - a)$ ——这是AP自由问答题中最容易丢分的点之一。

4. AP风格的练习题详解★★★☆☆⏱ 3 min

📐 例题

已知 $\int_{2}^{5} f (x) d x = 7$ ， $\int_{1}^{5} f (x) d x = 11$ ， $\int_{1}^{2} 3 f (x) d x$ 的值是多少？
选项：A) 4, B) 12, C) 18, D) 54

1
利用区间可加性拆分 $[1, 5]$ 上的积分：
$\int_1^5 f(x) dx = \int_1^2 f(x) dx + \int_2^5 f(x) dx$
2
代入已知值，求解 $\int_{1}^{2} f (x) d x$ ：
$11 = \int_1^2 f(x) dx + 7 \implies \int_1^2 f(x) dx = 4$
3
应用常数倍法则得到最终结果：
$\int_1^2 3 f(x) dx = 3 \times 4 = 12$
4
正确答案是选项B。

📐 例题

工厂从午夜（ $t = 0$ ）开始的24小时内消耗的功率 $P (t)$ （单位：千瓦kW）为 $P (t) = 2 t + 10 sin (\frac{π t}{12})$ ，其中 $t$ 是午夜后的小时数。总消耗能量 $E$ 为 $E = \int_{0}^{24} P (t) d t$ 。利用定积分的性质求 $E$ ，单位为千瓦时（kWh）。

1
利用和法则拆分积分：
$E = \int_0^{24} 2t dt + \int_0^{24} 10 \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) dt$
2
对第二个积分换元 $u = t - 12$ ，将区间转换为 $[- 12, 12]$ ：
$10 \int_{-12}^{12} \sin\left(\frac{\pi(u+12)}{12}\right) du = 10 \int_{-12}^{12} \sin\left(\frac{\pi u}{12} + \pi\right) du = -10 \int_{-12}^{12} \sin\left(\frac{\pi u}{12}\right) du$
3
$sin (\frac{π u}{12})$ 是奇函数，因此对称区间 $[- 12, 12]$ 上的积分等于0，整个第二项为0。
4
用微积分基本定理计算第一项：
$\int_0^{24} 2t dt = \left[t^2\right]_0^{24} = 24^2 - 0 = 576$
5
总消耗能量为576千瓦时。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为区间可加性仅当 $c$ 在 $a$ 和 $b$ 之间成立，错误地判定 $\int_{2}^{6} f (x) d x = \int_{2}^{8} f (x) d x + \int_{8}^{6} f (x) d x$ 不成立。

原因:

学生从 $c$ 在上下限之间的几何例子记住了可加性，但该法则对 $a, b, c$ 的任意顺序都成立。

正确做法:

如果第一个积分的上限等于第二个积分的下限，可加性自动成立，应用反转法则后符号会自动正确。

错误做法:

认为首项次数为奇数的多项式整体是奇函数，忽略常数项或偶次项，错误地得到 $\int_{- 2}^{2} (x^{3} + 3 x^{2}) d x = 0$ 。

原因:

学生只检查首项的奇偶性，而不检查被积函数的所有项。

正确做法:

应用对称性法则前，分别检查被积函数的每一项的奇偶性。

错误做法:

反转积分上下限时忘记改变符号，例如错误写为 $\int_{5}^{2} f (x) d x = \int_{2}^{5} f (x) d x$ 。

原因:

学生将积分与正面积关联，忘记定积分测量的是净符号面积。

正确做法:

每次写上限小于下限的积分时，反转上下限后立即添加负号。

错误做法:

将乘积的积分拆分为积分的乘积，例如错误写为 $\int_{0}^{2} x e^{x} d x = (\int_{0}^{2} x d x) (\int_{0}^{2} e^{x} d x)$ 。

原因:

学生错误地将常数倍法则和和法则推广到函数乘积上。

正确做法:

记住乘积的积分不等于积分的乘积；使用分部积分或换元法计算乘积的积分。

错误做法:

认为即使 $b < a$ ，只要 $f (x) > 0$ 在 $(a, b)$ 上成立，就有 $\int_{a}^{b} f (x) d x > 0$ 。

原因:

学生记住了 $a < b$ 时的比较法则，忘记反转上下限会改变积分的符号。

正确做法:

应用比较性质前，一定要确认 $a < b$ ；如果 $b < a$ ，反转上下限后同时反转不等号方向。

6. 速查表

分类	公式	注释
零区间	$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$	对任意可积 $f$ 恒成立
上下限反转	$\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$	恒成立，改变积分符号
常数倍法则	$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$	$k$ 必须是关于 $x$ 的常数
和差法则	$\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$	适用于任意有限个可积函数的和
区间可加性	$\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$	对 $a, b, c$ 的任意顺序都成立
奇函数对称性	$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$	仅当 $f (- x) = - f (x)$ 且 $a > 0$ 时成立
偶函数对称性	$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$	仅当 $f (- x) = f (x)$ 且 $a > 0$ 时成立
积分中值定理（平均值）	$f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$	若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $c \in [a, b]$
比较法则	若 $a < b$ 且 $f (x) \geq g (x)$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq \int_{a}^{b} g (x) d x$	反转上下限后若 $a > b$ ，需反转不等号方向

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
根据已知值求未知积分值
2022 · FRQ
连续函数的平均值
2021 · MCQ
化简对称区间上的积分

下一步

掌握定积分的性质是学习第6单元后续所有积分技巧的必要前提。在本主题之后，你将学习定积分的u换元法，那里你需要正确调整上下限，运用反转法则和可加性化简换元后的积分。本主题也是后续主题的基础，包括分部积分、反常积分，以及积分的应用，例如求净面积、体积和函数在区间上的平均值。如果不牢固掌握符号法则和可加性，你在处理这些后续主题的积分时会频繁犯本可避免的错误，尤其是在需要多步整理积分的自由问答题中。