# 定积分的性质

> AP 微积分 BC · 积分与变化的累积
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-properties-of-definite-integrals/

本子主题涵盖定积分的核心代数法则、奇偶函数对称性、比较性质和定积分中值定理，是AP微积分BC所有积分主题的基础。

**先修:** 定积分作为黎曼和极限的定义; [微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-fundamental-theorem-of-calculus/); 奇偶函数的识别

## 学习目标

- 运用定积分的核心代数性质化简表达式，求解未知积分值
- 利用奇偶函数的对称性快速计算对称区间上的积分
- 运用比较性质和定积分中值定理解题
- 避免处理定积分时常见的符号和奇偶性错误

## 定积分的基本代数性质

定积分的所有基本代数性质都直接来自黎曼和的极限定义。这些规则让你无需计算完整黎曼和或原函数，就能整理、化简并求解未知积分值。

1. **零区间法则**：如果上下限相等，对任意可积$f(x)$都有$\int_a^a f(x) dx = 0$。从几何意义上说，单个点上不存在面积。
2. **上下限反转法则**：交换积分上下限会改变积分的符号：$\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$。
3. **常数倍法则**：常数可以从积分中提出：对任意常数$k$，$\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$。
4. **和差法则**：和/差的积分等于积分的和/差：$\int_a^b \left[ f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$。
5. **区间可加性**：对任意三个实数$a, b, c$，无论$a,b,c$的顺序如何，都有$\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$。

**例题:** 已知$\int_2^6 f(x) dx = 8$，$\int_4^2 f(x) dx = 3$，求$\int_4^6 5 f(x) dx$的值。

1. 对第二个已知积分应用上下限反转法则：

   $$\int_2^4 f(x) dx = - \int_4^2 f(x) dx = -3$$
2. 利用区间可加性拆分2到6的已知积分：

   $$\int_2^6 f(x) dx = \int_2^4 f(x) dx + \int_4^6 f(x) dx = 8$$
3. 代入已知值，求解$\int_4^6 f(x) dx$：

   $$-3 + \int_4^6 f(x) dx = 8 \implies \int_4^6 f(x) dx = 11$$
4. 应用常数倍法则得到最终结果：

   $$\int_4^6 5 f(x) dx = 5 \times 11 = 55$$

> **考试提示:** 如果题目给出多个积分值要求解未知积分，一定要先明确写出区间可加性，整理清楚需要合并的上下限，避免上下限反转带来的符号错误。

## 奇偶函数的对称性

对称性让你无需计算完整原函数，就能化简并计算以$x=0$为中心的对称区间（即$[-a,a]$）上的积分，在选择题中能节省大量时间。回顾：偶函数满足$f(-x) = f(x)$（关于y轴对称），奇函数满足$f(-x) = -f(x)$（关于原点对称）。

**推导:** 推导$[-a,a]$上奇偶函数积分的对称法则

*起点:* 将积分拆分为两部分：$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$

1. 对奇函数，对第一个积分换元$u=-x$：$du=-dx$，当$x=-a$时$u=a$；当$x=0$时$u=0$

   $$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-u) (-du) = \int_0^a -f(u) du = - \int_0^a f(u) du$$
2. 将两个积分相加得到奇函数$f$的总积分：

   $$- \int_0^a f(u) du + \int_0^a f(x) dx = 0$$
3. 对偶函数，同样换元可得$f(-u)=f(u)$，因此第一个积分变为$\int_0^a f(u) du$，因此总积分为：

   $$\int_0^a f(u) du + \int_0^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$$

*结论:* 最终的对称法则为：若$f$是奇函数，则$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$；若$f$是偶函数，则$\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$。

**例题:** 不逐项积分，计算$\int_{-3}^3 \left( 5x^7 - 4x^3 + 2x - 6 \sin x \right) dx$。

1. 检查每一项的奇偶性：任意幂次$x^n$当$n$为奇数时是奇函数，对常数$k$，$\sin(kx)$恒为奇函数。
2. 被积函数的所有项都是奇函数：$5x^7$（奇）、$-4x^3$（奇）、$2x$（奇）、$-6 \sin x$（奇）。奇函数的和仍是奇函数，因此整个被积函数是奇函数。
3. 区间$[-3, 3]$关于0对称，因此根据奇函数对称性法则，该积分等于0。

   $$\int_{-3}^3 \left( 5x^7 - 4x^3 + 2x - 6 \sin x \right) dx = 0$$

> **考试提示:** 在对称区间上展开或积分多项式、三角函数前，一定要先检查对称性——如果被积函数是奇函数，答案通常是0，能为你节省2分钟以上的不必要计算。

## 比较性质与积分中值定理

比较性质让你无需精确计算就能确定定积分的取值范围，这是选择题中常见的题型。核心比较法则如下：

1. 如果$a < b$且对所有$x \in [a,b]$都有$f(x) \geq g(x)$，那么$\int_a^b f(x) dx \geq \int_a^b g(x) dx$。
2. 如果$a < b$且对所有$x \in [a,b]$都有$m \leq f(x) \leq M$，那么$m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$。

**积分中值定理（MVT）** — 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则至少存在一个点$c \in [a,b]$，使得$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$。$f(c)$就是$f(x)$在$[a,b]$上的平均值，$f(x)$下的净面积等于高为$f(c)$、宽为$(b-a)$的矩形面积。

**例题:** 已知$f(x) = e^{-x^2}$在区间$[0, 2]$上，根据积分中值定理求保证存在的$c$值，结果保留一位小数。使用近似值$\int_0^2 e^{-x^2} dx \approx 0.882$。

1. 根据积分中值定理，$f(c)$等于平均值，即：

   $$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx = \frac{1}{2-0} \int_0^2 e^{-x^2} dx$$
2. 代入题目给出的积分近似值：

   $$f(c) = \frac{0.882}{2} = 0.441$$
3. 令$f(c) = e^{-c^2} = 0.441$，然后对两边取自然对数：

   $$-c^2 = \ln(0.441) \approx -0.818$$
4. 求解正$c$（因为$c$必须在$[0,2]$内）：

   $$c = \sqrt{0.818} \approx 0.9$$

> **考试提示:** 当题目要求函数在区间上的平均值时，千万不要忘记用积分除以$(b-a)$——这是AP自由问答题中最容易丢分的点之一。

## AP风格的练习题详解

**例题:** 已知$\int_2^5 f(x) dx = 7$，$\int_1^5 f(x) dx = 11$，$\int_1^2 3 f(x) dx$的值是多少？<br>选项：A) 4, B) 12, C) 18, D) 54

1. 利用区间可加性拆分$[1,5]$上的积分：

   $$\int_1^5 f(x) dx = \int_1^2 f(x) dx + \int_2^5 f(x) dx$$
2. 代入已知值，求解$\int_1^2 f(x) dx$：

   $$11 = \int_1^2 f(x) dx + 7 \implies \int_1^2 f(x) dx = 4$$
3. 应用常数倍法则得到最终结果：

   $$\int_1^2 3 f(x) dx = 3 \times 4 = 12$$
4. 正确答案是选项B。

**例题:** 工厂从午夜（$t=0$）开始的24小时内消耗的功率$P(t)$（单位：千瓦kW）为$P(t) = 2t + 10 \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)$，其中$t$是午夜后的小时数。总消耗能量$E$为$E = \int_0^{24} P(t) dt$。利用定积分的性质求$E$，单位为千瓦时（kWh）。

1. 利用和法则拆分积分：

   $$E = \int_0^{24} 2t dt + \int_0^{24} 10 \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) dt$$
2. 对第二个积分换元$u = t - 12$，将区间转换为$[-12, 12]$：

   $$10 \int_{-12}^{12} \sin\left(\frac{\pi(u+12)}{12}\right) du = 10 \int_{-12}^{12} \sin\left(\frac{\pi u}{12} + \pi\right) du = -10 \int_{-12}^{12} \sin\left(\frac{\pi u}{12}\right) du$$
3. $\sin\left(\frac{\pi u}{12}\right)$是奇函数，因此对称区间$[-12,12]$上的积分等于0，整个第二项为0。
4. 用微积分基本定理计算第一项：

   $$\int_0^{24} 2t dt = \left[t^2\right]_0^{24} = 24^2 - 0 = 576$$
5. 总消耗能量为576千瓦时。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为区间可加性仅当$c$在$a$和$b$之间成立，错误地判定$\int_2^6 f(x) dx = \int_2^8 f(x) dx + \int_8^6 f(x) dx$不成立。
  - 原因: 学生从$c$在上下限之间的几何例子记住了可加性，但该法则对$a,b,c$的任意顺序都成立。
  - 正确做法: 如果第一个积分的上限等于第二个积分的下限，可加性自动成立，应用反转法则后符号会自动正确。
- **错误做法:** 认为首项次数为奇数的多项式整体是奇函数，忽略常数项或偶次项，错误地得到$\int_{-2}^2 (x^3 + 3x^2) dx = 0$。
  - 原因: 学生只检查首项的奇偶性，而不检查被积函数的所有项。
  - 正确做法: 应用对称性法则前，分别检查被积函数的每一项的奇偶性。
- **错误做法:** 反转积分上下限时忘记改变符号，例如错误写为$\int_5^2 f(x) dx = \int_2^5 f(x) dx$。
  - 原因: 学生将积分与正面积关联，忘记定积分测量的是净符号面积。
  - 正确做法: 每次写上限小于下限的积分时，反转上下限后立即添加负号。
- **错误做法:** 将乘积的积分拆分为积分的乘积，例如错误写为$\int_0^2 x e^x dx = \left(\int_0^2 x dx\right)\left(\int_0^2 e^x dx\right)$。
  - 原因: 学生错误地将常数倍法则和和法则推广到函数乘积上。
  - 正确做法: 记住乘积的积分不等于积分的乘积；使用分部积分或换元法计算乘积的积分。
- **错误做法:** 认为即使$b < a$，只要$f(x) > 0$在$(a,b)$上成立，就有$\int_a^b f(x) dx > 0$。
  - 原因: 学生记住了$a < b$时的比较法则，忘记反转上下限会改变积分的符号。
  - 正确做法: 应用比较性质前，一定要确认$a < b$；如果$b < a$，反转上下限后同时反转不等号方向。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 零区间 | $\int_a^a f(x) dx = 0$ | 对任意可积$f$恒成立 |
| 上下限反转 | $\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx$ | 恒成立，改变积分符号 |
| 常数倍法则 | $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$ | $k$必须是关于$x$的常数 |
| 和差法则 | $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$ | 适用于任意有限个可积函数的和 |
| 区间可加性 | $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$ | 对$a, b, c$的任意顺序都成立 |
| 奇函数对称性 | $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ | 仅当$f(-x) = -f(x)$且$a>0$时成立 |
| 偶函数对称性 | $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ | 仅当$f(-x) = f(x)$且$a>0$时成立 |
| 积分中值定理（平均值） | $f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ | 若$f$在$[a,b]$上连续，则存在$c \in [a,b]$ |
| 比较法则 | 若$a < b$且$f(x) \geq g(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_a^b f(x) dx \geq \int_a^b g(x) dx$ | 反转上下限后若$a > b$，需反转不等号方向 |

## 下一步

掌握定积分的性质是学习第6单元后续所有积分技巧的必要前提。在本主题之后，你将学习定积分的u换元法，那里你需要正确调整上下限，运用反转法则和可加性化简换元后的积分。本主题也是后续主题的基础，包括分部积分、反常积分，以及积分的应用，例如求净面积、体积和函数在区间上的平均值。如果不牢固掌握符号法则和可加性，你在处理这些后续主题的积分时会频繁犯本可避免的错误，尤其是在需要多步整理积分的自由问答题中。

- [分部积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-by-parts/)
- [函数的平均值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u8-average-value-of-a-function/)
- [反常积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-improper-integrals/)

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