单元总览
积分与变化的累积 概览
AP 微积分 BC· 5 分钟阅读 📊 占AP考试总分的17-20%
1. 单元概览
本单元遵循逻辑清晰的学习脉络，连接积分的两个核心思想：积分作为微分的逆运算，以及积分作为计算区间内累积变化的方法。我们从基本的原函数和面积近似入手，随后给出定积分的正式定义，再介绍将这两个核心思想统一起来的微积分基本定理（FTC）。
在打下扎实的概念基础后，我们将学习针对不同类型函数的多种积分技巧，最后学习仅BC要求的内容，比如反常积分、分部积分和部分分式分解。AP考试的题目经常会用到本单元多个考点之间的联系，因此在培养技巧的同时重视概念理解，是取得高分的关键。
以下是本单元你将学习的子主题：
AP 微积分 BC 原函数与不定积分（基本法则）
介绍作为导数逆运算的原函数，以及不定积分的基本法则。
★★⏱ 6 min
AP 微积分 BC 用黎曼和近似计算面积
讲解使用左黎曼和、右黎曼和、中点黎曼和和梯形黎曼和近似计算面积。
★★⏱ 6 min
AP 微积分 BC 探究变化的累积
将积分与区间内净变化累积的概念建立联系。
★★★⏱ 5 min
AP 微积分 BC 微积分基本定理与定积分
讲解微积分基本定理第二部分，内容是利用原函数计算定积分。
★★★⏱ 6 min
AP 微积分 BC 微积分基本定理与累积函数
探究微积分基本定理第一部分，以及它如何定义累积函数的导数。
★★★★⏱ 7 min
AP 微积分 BC 反常积分（仅BC要求）
仅BC要求的内容，讲解带有无穷限或间断点的积分，以及敛散性检验。
★★★★⏱ 7 min
AP 微积分 BC 分部积分法（仅BC要求）
仅BC要求的积分技巧，用于处理函数乘积，由乘积法则推导而来。
★★★⏱ 6 min
AP 微积分 BC 换元积分法（u换元）
针对复合函数的核心积分技巧，是应用最广泛的基础积分方法。
★★★⏱ 8 min
AP 微积分 BC 部分分式积分法（仅BC要求）
仅BC要求的技巧，通过将有理函数拆分为更简单的项来积分。
★★★★⏱ 7 min
AP 微积分 BC 长除法与配方法积分
讲解对假有理函数进行代数变形，为积分做准备。
★★★⏱ 5 min
AP 微积分 BC 累积函数的性态分析
分析累积函数的增减性与凹凸性。
★★★★⏱ 6 min
AP 微积分 BC 定积分的性质
讲解核心性质，包括对称性、区间拆分和常数倍法则。
★★⏱ 4 min
AP 微积分 BC 黎曼和、求和记号与定积分记号
将黎曼和的极限与定积分的正式定义建立联系。
★★★⏱ 6 min
AP 微积分 BC 原函数求解技巧的选择
讲解如何根据被积函数的形式选择正确的积分方法。
★★★★⏱ 5 min
2. 常见陷阱
错误做法:
对不连续或无界的被积函数使用微积分基本定理
原因:
标准微积分基本定理仅适用于闭有界区间上的连续函数，这样做会得到错误结果
正确做法:
始终要检查被积函数是否存在间断点或无穷限，必要时使用反常积分方法
错误做法:
u换元后没有调整定积分的上下限
原因:
换元后保留x的原有上下限会得到错误的数值结果
正确做法:
计算定积分时，始终要将上下限转换为新变量u对应的范围
错误做法:
不定积分计算忘记加上积分常数+C
原因:
不定积分表示的是一族原函数，而非单个函数
正确做法:
每次计算不定积分后，都要在结果末尾加上+C
3. 速查表
核心概念 | 公式/法则 |
|---|---|
不定积分幂法则 | |
一般黎曼和 | |
微积分基本定理第一部分（累积函数的导数） | |
微积分基本定理第二部分（计算定积分） | |
u换元法则 | |
分部积分法 | |
反常积分（无穷限） | |
部分分式分解（一次因式） |
下一步
你可以从第一个子主题「原函数与不定积分」开始本单元的学习，建立对积分的基础理解。当你完成本单元所有子主题的学习后，就可以进入第7单元：微分方程，在那里你将运用新学到的积分技巧求解可分离变量微分方程，对动态系统建模。