累积函数的性质分析

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 积分与变化的累积· 14 分钟阅读

1. 累积函数简介★☆☆☆☆⏱ 3 min

累积函数是由上限为变量的定积分定义的函数，输出的净面积取决于上限的输入值。和输出数值的标准定积分不同，累积函数是动态函数，和其他函数一样需要进行完整的性质分析。

📘 定义

累积函数

A(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt

给出被积函数 $f (t)$ 的曲线从常数下限 $a$ 到变量上限 $x$ 之间净有符号面积的函数，输出是关于 $x$ 的函数而非常数。

例:

$A (x) = \int_{0}^{x} sin t d t$

本主题重点利用累积函数 $A (x)$ 和被积函数 $f (t)$ 之间的固有关系分析 $A (x)$ 的单调性、极值、凹凸性和拐点，通常不需要计算 $f (t)$ 的显式原函数。根据AP微积分课程与考试说明（CED），本子主题约占考试总分的2-4%，会同时出现在选择题和自由作答题中。

2. 累积函数求导★★☆☆☆⏱ 4 min

整个累积函数性质分析主题都依赖于微积分第一基本定理（FFTC），该定理将累积函数的导数直接关联到其被积函数。对于下限为常数、上限为变量的基本累积函数，定理表述为：

\frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{x} f(t) dt \right) = f(x)

直观来看，这意味着从 $a$ 到 $x$ 之间 $f (t)$ 累积面积的变化率恰好等于 $f$ 在 $x$ 处的高度。当上界是可导函数 $u (x)$ 时，我们必须应用链式法则得到扩展的求导法则：

\frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{u(x)} f(t) dt \right) = f(u(x)) \cdot u'(x)

如果上下限都是变量，我们围绕常数 $a$ 拆分积分，利用性质 $\int_{v (x)}^{u (x)} f (t) d t = - \int_{a}^{v (x)} f (t) d t + \int_{a}^{u (x)} f (t) d t$ ，完整的导数为：

\frac{d}{dx} \left( \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt \right) = f(u(x)) u'(x) - f(v(x)) v'(x)

📐 例题

Find $\frac{d}{d x} (\int_{c o s x}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t)$

1
这是一个上下限都为变量的累积函数，因此我们使用完整扩展的FFTC法则。
2
确定各部分： $f (t) = e^{t^{2}}$ ，上限 $u (x) = x^{2}$ ，下限 $v (x) = cos x$ 。计算上下限的导数：
3
$u'(x) = 2x, \quad v'(x) = -\sin x$
4
将上限项代入法则：
5
$f(u(x)) u'(x) = e^{(x^2)^2} \cdot 2x = 2x e^{x^4}$
6
代入下限项，记住法则中的负号：
7
$-f(v(x)) v'(x) = - e^{(\cos x)^2} \cdot (-\sin x) = e^{\cos^2 x} \sin x$
8
合并项得到最终结果：
9
$\frac{d}{dx} \left( \int_{\cos x}^{x^2} e^{t^2} dt \right) = 2x e^{x^4} + (\sin x) e^{\cos^2 x}$

Exam tip:

始终检查是否有可变限，需要时应用链式法则

3. 累积函数的单调性与极值★★☆☆☆⏱ 3 min

我们已经知道，累积函数 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 的导数是 $A^{'} (x) = f (x)$ ，因此我们可以直接应用所有标准导数性质法则，从 $f (x)$ 直接分析 $A (x)$ ，不需要积分：

$A (x)$ 在区间上递增当且仅当该区间上 $f (x) > 0$
$A (x)$ 在区间上递减当且仅当该区间上 $f (x) < 0$
$A (x)$ 的临界点出现在 $f (x) = 0$ 或 $f (x)$ 无定义处
用一阶导数测试分类临界点：负变正 = 局部极小值；正变负 = 局部极大值

📐 例题

设 $A (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，其中 $f (t)$ 在 $(0, 5)$ 上连续，在 $(0, 1)$ 上为负，在 $(1, 3)$ 上为正，在 $(3, 5)$ 上为负，仅在 $t = 1$ 和 $t = 3$ 处穿过 $t$ 轴。找出 $A (x)$ 在 $(0, 5)$ 上所有的局部极小值和极大值

1
根据微积分第一基本定理， $A^{'} (x) = f (x)$ ，因此 $A$ 的临界点在 $f (x) = 0$ 处的 $x = 1$ 和 $x = 3$ 。
2
在 $x = 1$ 处： $f (x)$ 从（1左侧）负变为（1右侧）正。根据一阶导数测试，这意味着 $A (x)$ 在 $x = 1$ 处有局部极小值。
3
在 $x = 3$ 处： $f (x)$ 从（3左侧）正变为（3右侧）负。根据一阶导数测试，这意味着 $A (x)$ 在 $x = 3$ 处有局部极大值。
4
最终答案：局部极小值在 $x = 1$ ，局部极大值在 $x = 3$ 。

4. 累积函数的凹凸性与拐点★★★☆☆⏱ 4 min

要找 $A (x)$ 的凹凸性和拐点，我们需要 $A (x)$ 的二阶导数。因为 $A^{'} (x) = f (x)$ ，所以二阶导数是 $A^{''} (x) = f^{'} (x)$ ，这意味着 $A (x)$ 的凹凸性完全取决于被积函数 $f$ 的导数，而非 $f$ 本身的值：

$A (x)$ 在区间上凹向上当且仅当 $f (x)$ 在该区间上递增（ $f^{'} (x) > 0$ ）
$A (x)$ 在区间上凹向下当且仅当 $f (x)$ 在该区间上递减（ $f^{'} (x) < 0$ ）
$A (x)$ 的拐点出现在 $f (x)$ 从递增变为递减（或反之）处，恰好就是 $f (x)$ 的局部极值点

📐 例题

设 $A (x) = \int_{2}^{x} f (t) d t$ 。 $f (t)$ 在 $t = 4$ 处有局部极大值，在 $t = 7$ 处有局部极小值，在 $[2, 10]$ 上没有其他临界点。 $A (x)$ 在 $x = 4$ 和 $x = 7$ 处有拐点吗？证明你的结论。

1
对于 $A (x)$ ， $A^{''} (x) = f^{'} (x)$ ，因此拐点出现在 $f^{'} (x)$ 变号处。
2
在 $x = 4$ 处： $f$ 有局部极大值，因此根据定义 $f^{'} (x)$ 从（4左侧）正变为（4右侧）负。这意味着 $A^{''} (x)$ 变号，因此 $A$ 的凹凸性在 $x = 4$ 处改变。
3
在 $x = 7$ 处： $f$ 有局部极小值，因此根据定义 $f^{'} (x)$ 从（7左侧）负变为（7右侧）正。这意味着 $A^{''} (x)$ 也在 $x = 7$ 处变号。
4
最终答案：是的， $A (x)$ 在 $x = 4$ 和 $x = 7$ 处都有拐点。

5. AP风格例题练习★★★★☆⏱ 4 min

📐 例题

设 $A (x) = \int_{- 2}^{x^{3}} f (t) d t$ ，其中 $f (t)$ 对所有实数 $t$ 都连续，且 $f (8) = 3$ 。求 $A^{'} (2)$ 是多少？
(A) $3$
(B) $12$
(C) $36$
(D) $72$

1
我们使用针对可变上限的扩展微积分第一基本定理，需要应用链式法则：
2
$A'(x) = f(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 f(x^3)$
3
代入 $x = 2$ ：
4
$A'(2) = 3(2^2) f(2^3) = 12 f(8) = 12(3) = 36$
5
正确答案是(C)。

📐 例题

设 $f (t)$ 在 $[0, 6]$ 上连续，满足以下性质：

$f (t) < 0$ on $(0, 1)$ , $f (t) > 0$ on $(1, 4)$ , $f (t) < 0$ on $(4, 6)$
$f^{'} (t) > 0$ on $(0, 2)$ , $f^{'} (t) < 0$ on $(2, 5)$ , $f^{'} (t) > 0$ on $(5, 6)$

设 $A (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ， $0 \leq x \leq 6$ 。
(a) 找出 $(0, 6)$ 上所有 $A (x)$ 有局部极小值的 $x$ ，证明你的结论。
(b) 找出 $(0, 6)$ 上所有 $A (x)$ 有拐点的 $x$ ，证明你的结论。
(c) $A (x)$ 在哪些区间上同时递减且凹向上？

1
(a) $A^{'} (x) = f (x)$ ，因此 $A$ 的临界点在 $f (x) = 0$ 处的 $x = 1$ 和 $x = 4$ 。在 $x = 1$ 处， $f (x)$ 从负变正，因此根据一阶导数测试， $A (x)$ 在 $x = 1$ 处有局部极小值。在 $x = 4$ 处， $f (x)$ 从正变负，因此 $A$ 在该处有局部极大值。最终答案： $x = 1$ 。
2
(b) $A^{''} (x) = f^{'} (x)$ ，因此拐点出现在 $f^{'} (x)$ 变号处。 $f^{'} (x)$ 在 $x = 2$ 处从正变负，在 $x = 5$ 处从负变正，因此 $A^{''} (x)$ 在这两个点都变号。最终答案：拐点在 $x = 2$ 和 $x = 5$ 处。
3
(c) $A (x)$ 在 $f (x) < 0$ 时递减，对应区间 $(0, 1)$ 和 $(4, 6)$ 。 $A (x)$ 在 $f^{'} (x) > 0$ 时凹向上，对应区间 $(0, 2)$ 和 $(5, 6)$ 。两个集合的交集是 $(0, 1)$ 和 $(5, 6)$ 。最终答案： $(0, 1) \cup (5, 6)$ 。

📐 例题

保护项目启动后 $t$ 个月，湖中鱼数量的变化率由 $r (t)$ 给出（单位：条/月），其中当鱼数量增加时 $r (t) > 0$ ，减少时 $r (t) < 0$ 。设 $N (h) = \int_{0}^{h} r (t) d t$ 是 $h$ 个月后鱼数量的净变化。在 $h = 6$ 个月时， $r (t)$ 从递增变为递减。6个月时鱼群数量的变化率是递增还是递减？证明你的结论，并在情境中解释结果。

1
$N (h)$ 是鱼群数量的净变化，因此鱼群的变化率是 $N^{'} (h) = r (h)$ 。我们需要判断变化率本身是递增还是递减，这取决于变化率的导数 $N^{''} (h) = r^{'} (h)$ 。
2
在 $h = 6$ 处， $r (t)$ 从递增变为递减，因此 $r^{'} (h)$ 从正变负，即 $r^{'} (6) < 0$ 。
3
因此，鱼群数量的变化率在6个月时是递减的。解释：6个月时，鱼群数量可能仍在增长（如果 $r (6) > 0$ ），但湖中新增鱼的速度正在放缓。

6. 常见陷阱

错误做法:

对于 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，在 $f (x) = 0$ 处找 $A$ 的拐点

原因:

学生混淆一阶和二阶导数的关系，搞错极值和拐点的条件

正确做法:

在 $f (x)$ 增减性改变处（即 $f$ 的极值点）找 $A$ 的拐点，而非在 $f (x) = 0$ 处找

错误做法:

计算 $\frac{d}{d x} (\int_{x}^{7} e^{s i n t} d t)$ 时，将结果写为 $e^{s i n 7} - e^{s i n x}$

原因:

学生错误地将常数上限当作变量项处理

正确做法:

认识到 $\int_{x}^{7} e^{s i n t} d t = C - \int_{7}^{x} e^{s i n t} d t$ ，因此导数就是 $- e^{s i n x}$

错误做法:

对 $\int_{a}^{2 x} f (t) d t$ 求导时，将导数写为 $f (2 x)$ ，遗漏链式法则项

原因:

学生记住了基础微积分第一基本定理，但在上限是简单线性函数时忽略了链式法则

正确做法:

始终检查任一限是否是 $x$ 的非恒定函数，每次都乘以可变限的导数

错误做法:

当题目要求 $A (x)$ 在 $[0, 4]$ 上的绝对最大值时，给出最大值点的 $x$ 坐标

原因:

学生习惯了找极值点的位置，忽略了题目要求的是函数值

正确做法:

如果题目要求极值的值，计算从 $a$ 到极值点 $x$ 坐标的净面积得到 $A (x)$

错误做法:

声称 $f (x) > 0$ 时 $A (x)$ 凹向上

原因:

学生混淆了递增和凹向上的条件，因为两者都依赖正导数

正确做法:

记住无论 $f (x)$ 本身是正是负，只有当 $f (x)$ 递增时 $A$ 才是凹向上

7. 速查表

分类	法则/公式	注释
基本累积函数导数	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$	$f$ 连续、 $a$ 为常数时适用
可变上限导数	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{u (x)} f (t) d t = f (u (x)) u^{'} (x)$	上限为 $u (x)$ 时需要链式法则
双可变限导数	$\frac{d}{d x} \int_{v (x)}^{u (x)} f (t) d t = f (u (x)) u^{'} (x) - f (v (x)) v^{'} (x)$	负号来自交换可变下限时的积分性质
$A (x)$ 的单调性	$A ↑$ when $f (x) > 0$ ; $A ↓$ when $f (x) < 0$	利用 $A^{'} (x) = f (x)$
$A (x)$ 的极值	$f (x)$ 变号处的 $x$ 为局部极值点	正 $\to$ 负 = 局部极大；负 $\to$ 正 = 局部极小
$A (x)$ 的凹凸性	$f (x)$ 递增则 $A$ 凹向上； $f (x)$ 递减则 $A$ 凹向下	利用 $A^{''} (x) = f^{'} (x)$ ，取决于 $f$ 的导数
$A (x)$ 的拐点	$f (x)$ 增减性改变处的 $x$ 为拐点	出现在 $f (x)$ 的局部极值点，而非 $f (x)$ 的零点

下一步

本主题是所有后续积分应用的基础，这些应用都将变化率函数和累积总函数关联起来，你会在AP微积分BC剩余单元中大量用到它。掌握累积函数、其一阶导数和二阶导数之间的关系，对于为AP自由作答题写出完整正确的论证至关重要，而自由作答题占考试总分的一半。学习完本内容后，你马上会将累积函数的性质应用到运动问题分析和可分离微分方程求解中，微分方程的解通常可以解释为累积函数。本主题也是曲线间面积、旋转体体积等更大核心概念的基础，这些内容在BC考试中都占很大比重。