长除法与配方法积分

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Integration and Accumulation of Change· 14 分钟阅读

1. 利用多项式长除法积分假有理函数★★☆☆☆⏱ 4 min

有理函数 $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ 当 $de g (P (x)) \geq de g (Q (x))$ 时为假有理函数，无法直接用标准模板积分。多项式长除法可将假被积函数改写为：

\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}

其中 $S (x)$ 是商多项式， $R (x)$ 是余式多项式，满足 $de g (R (x)) < de g (Q (x))$ 。这类似于将假分数 $\frac{15}{4}$ 改写为 $3 + \frac{3}{4}$ ：我们分离出整多项式部分和真有理余式，之后就可以用其他技巧积分。整个表达式逐项积分： $S (x)$ 用幂法则， $\frac{R ( x )}{Q ( x )}$ 用其他方法处理。

📐 例题

计算 $\int \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x + 2}{x - 1} d x$ 。

1
1. 确认被积函数是假有理函数： $de g (分子) = 3$ ， $de g (分母) = 1$ ，因此 $3 \geq 1$ ，需要使用长除法。
2
1. 进行多项式长除法，得到商 $x^{2} - x + 2$ ，余式4。被积函数改写为：
3
$x^2 - x + 2 + \frac{4}{x - 1}$
4
1. 用幂法则和自然对数法则逐项积分：
5
$\int \left(x^2 - x + 2 + \frac{4}{x - 1}\right) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln|x - 1| + C$
6
1. 对结果求导验证，结果与原被积函数一致。

Exam tip:

开始积分前一定要检查分子和分母的次数。如果 $de g (P) \geq de g (Q)$ ，必须先做长除法——跳过这一步一定会得到错误结果。

2. 不可约二次分母的配方法★★★☆☆⏱ 4 min

完成长除法后（或者从真有理函数开始），你可能会遇到不可约二次分母 $a x^{2} + b x + c$ ，其判别式 $b^{2} - 4 a c < 0$ ，因此无法分解为实系数一次因式。配方法可以将二次式改写为匹配两种标准反三角函数积分模板的形式。

对 $a x^{2} + b x + c$ 配方的步骤：1. 将首项系数 $a$ 从前两项中提出。2. 在括号内加上再减去 $(\frac{b}{2 a})^{2}$ ，得到完全平方，最终结果为 $a u^{2} + k$ 其中 $u = x + \frac{b}{2 a}$ 。这就匹配了代入标准模板所需的形式：

\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C

\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + C

📐 例题

计算 $\int \frac{1}{x ^{2} + 4 x + 7} d x$ 。

1
1. 检查判别式： $b^{2} - 4 a c = 16 - 28 = - 12 < 0$ ，因此分母在实数域不可约。
2
1. 配方：分组 $x$ -项，加上再减去 $(4/2)^{2} = 4$ ：
3
$(x^2 + 4x) + 7 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 7 = (x + 2)^2 + 3$
4
1. 将积分改写为匹配反正切模板，代入 $u = x + 2$ ， $d u = d x$ ：
5
$\int \frac{1}{u^2 + (\sqrt{3})^2} du$
6
1. 应用反正切积分公式：
7
$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x + 2}{\sqrt{3}}\right) + C$

Exam tip:

如果二次式首项系数不是1，配方前一定要先提出首项系数。忘记这一步会得到错误的常数项，无法匹配标准反三角函数形式。

3. 积分分子为一次、分母为不可约二次式的函数★★★★☆⏱ 4 min

AP考试中一种常见的被积函数是 $\frac{m x + n}{a x ^{2} + b x + c}$ ，其中分母不可约。你不能直接应用反三角函数积分法则；相反，需要将分子拆分为分母导数的倍数加上一个常数。方法如下：

令 $D (x) = a x^{2} + b x + c$ ，计算 $D^{'} (x) = 2 a x + b$
将 $m x + n$ 写为 $A (2 a x + b) + B$ ，通过比较系数求解常数 $A$ 和 $B$
将被积函数拆分为两项： $\frac{A D ^{'} ( x )}{D ( x )} + \frac{B}{D ( x )}$
第一项用对数法则积分，第二项通过配方和反三角法则积分

第一项总是形如 $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ ，积分结果为 $ln ∣ f (x) ∣$ 。由于不可约二次式恒正，你可以省略绝对值符号简化结果。

📐 例题

计算 $\int \frac{3 x + 5}{x ^{2} + 4 x + 8} d x$ 。

1
1. 确认分母不可约： $16 - 32 = - 16 < 0$ 。令 $D (x) = x^{2} + 4 x + 8$ ，因此 $D^{'} (x) = 2 x + 4$ 。
2
1. 拆分分子： $3 x + 5 = A (2 x + 4) + B$ 。比较系数： $2 A = 3 ⟹ A = 3/2$ ，然后 $4 A + B = 5 ⟹ B = - 1$ 。
3
1. 拆分积分：
4
$\int \left( \frac{\frac{3}{2}(2x + 4)}{x^2 + 4x + 8} + \frac{-1}{x^2 + 4x + 8} \right) dx$
5
1. 用对数法则积分第一项：
6
$\frac{3}{2} \ln(x^2 + 4x + 8) + C_1$
7
1. 通过配方积分第二项： $x^{2} + 4 x + 8 = (x + 2)^{2} + 2^{2}$ ，因此：
8
$\int \frac{-1}{(x+2)^2 + 2^2} dx = -\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x+2}{2}\right) + C_2$
9
1. 合并结果得到最终原函数：
10
$\frac{3}{2} \ln(x^2 + 4x + 8) - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x + 2}{2}\right) + C$

Exam tip:

对数项中不可约二次式的绝对值可以省略，因为二次式恒正且永远不与x轴相交，可以简化最终答案。

4. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

通过这道AP风格的选择题测试你对核心技巧的掌握：

下列哪一项是 $\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{x + 2}$ 的原函数？
- $2 x + ln ∣ x + 2∣ + C$
- $x^{2} + x - 5 ln ∣ x + 2∣ + C$
- $2 x + 1 - \frac{5}{x + 2} + C$
- $x^{2} + 2 x + ln ∣ x + 2∣ + C$
显示答案
1 —
正确！长除法后，被积函数化简为 $2 x + 1 - \frac{5}{x + 2}$ ，积分后得到该结果。

5. 常见陷阱

错误做法:

完成长除法后只积分商，忘记加上分母分之余式项。

原因:

学生专注于完成长除法计算，遗漏了大多数问题中都存在的非零余式。

正确做法:

完成长除法后，逐项积分前一定要写出完整结果： $S (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )}$ 。

错误做法:

当分子次数等于分母次数时，跳过长除法，直接尝试部分分式或反三角积分。

原因:

学生认为只有当分子次数严格高于分母次数时才需要长除法，相等时不需要。

正确做法:

一定要检查是否满足 $de g (P) \geq de g (Q)$ ：如果次数相等，条件满足，因此先做长除法。

错误做法:

对 $2 x^{2} + 8 x + 15$ 配方时，写为 $(2 x^{2} + 8 x) + 15 = (x + 4)^{2} - 16 + 15 = (x + 4)^{2} - 1$ 。

原因:

学生忘记配方前先从x项中提出首项系数2。

正确做法:

一定要先将首项系数从前两项中提出： $2 (x^{2} + 4 x) + 15 = 2 (x + 2)^{2} + 7$ 。

错误做法:

积分 $\frac{m x + n}{a x ^{2} + b x + c}$ 时，不拆分分子直接尝试用反三角积分。

原因:

学生看到二次分母就立即配方，忘记一次分子会产生对数项。

正确做法:

积分前一定要将分子拆分为分母导数的倍数加上常数。

错误做法:

对 $\int \frac{1}{( 2 x + 3 ) ^{2} + 16} d x$ 应用反正切公式时，止步于 $\frac{1}{4} arctan (\frac{2 x + 3}{4}) + C$ 。

原因:

学生忘记 $u = 2 x + 3$ 代入步骤，需要考虑链式法则带来的因子2，因为 $d u = 2 d x$ 。

正确做法:

改写二次式后，一定要显式做u换元并保留常数因子：本题正确结果是 $\frac{1}{8} arctan (\frac{2 x + 3}{4}) + C$ 。

6. 速查表

类别	公式/法则	备注
假有理函数	$\frac{P ( x )}{Q ( x )}, de g (P) \geq de g (Q)$	积分前需要做长除法
长除法结果	$\frac{P ( x )}{Q ( x )} = S (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )}, de g (R) < de g (Q)$	$S (x)$ = 商， $R (x)$ = 余式
配方法通式	$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4 a})$	先从x项提出 $a$
反正切积分模板	$\int \frac{1}{u ^{2} + a ^{2}} d u = \frac{1}{a} arctan (\frac{u}{a}) + C$	用于不可约二次分母
反正弦积分模板	$\int \frac{1}{a ^{2} - u ^{2}} d u = arcsin (\frac{u}{a}) + C$	用于根号下平方差
一次分子拆分	$m x + n = A (2 a x + b) + B, A = \frac{m}{2 a}$	积分一次分子除以不可约二次式前拆分
对数积分法则	$\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C$	不可约二次式省略绝对值
$\frac{m x + n}{a x ^{2} + b x + c}$ 的结果	$A ln (a x^{2} + b x + c) + \frac{B}{k} arctan (\frac{u}{k}) + C$	拆分得对数项，配方得反正切项

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
假被积函数的长除法
2023 · FRQ
配方法积分

下一步

本主题是部分分式分解的重要前提，部分分式分解是AP微积分BC中下一个积分有理函数的主要技巧。部分分式分解仅适用于真有理函数，因此你必须掌握长除法，才能在拆分前化简假被积函数。配方法也是积分部分分式分解后经常得到的不可约二次项所需的技巧，因此本技能会在单元的下一部分反复使用。除了有理函数积分外，配方法还会出现在课程后续极坐标和面积问题中改写二次式的步骤里，本主题的代数变形技巧是AP考试几乎所有非基础积分问题都需要的。