分部积分法（仅BC）

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Integration and Accumulation of Change· 14 分钟阅读

1. 分部积分核心公式★★☆☆☆⏱ 3 min

分部积分法是微分乘积法则的逆运算，用于积分仅用换元法无法求解的不同类型函数的乘积。它将复杂的原积分拆分为一个更简单的乘积项和一个更容易计算的新积分。

🔬 推导

目标:

从乘积法则推导不定积分和定积分的分部积分公式

起点:

可微函数 $u (x)$ 和 $v (x)$ 的乘积法则

1
从微分的乘积法则出发：
$\frac{d}{dx}\left[u(x)v(x)\right] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
2
对两边关于 $x$ 积分，并用微积分基本定理化简左侧：
$u(x)v(x) = \int u'(x)v(x) dx + \int u(x)v'(x) dx$
3
整理后分离出 $u (x) v^{'} (x)$ 的积分，代入 $d v = v^{'} (x) d x$ 和 $d u = u^{'} (x) d x$ ，得到不定积分公式：
$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
4
对于区间 $[a, b]$ 上的定积分，加上上下限得到修正后的公式：
$\int_a^b u \, dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v \, du$

结果:

使用该公式最关键的一步是正确选择哪个函数是 $u$ ，哪个是 $d v$ ，LIATE助记法可以简化这个选择。

📐 例题

计算不定积分 $\int 3 x ln x d x$

1
根据LIATE规则，对数排在代数之前，因此设 $u = ln x$ ， $d v = 3 x d x$ 。
2
计算 $d u$ 和 $v$ ：
$du = \frac{1}{x}dx, \quad v = \int 3x dx = \frac{3}{2}x^2$
3
代入分部积分核心公式：
$\int 3x \ln x dx = uv - \int v du = \frac{3}{2}x^2 \ln x - \int \frac{3}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx$
4
化简并计算剩余项的积分：
$\frac{3}{2}x^2 \ln x - \frac{3}{2}\int x dx = \frac{3}{2}x^2 \ln x - \frac{3}{4}x^2 + C$
5
因式分解得到更简洁的最终结果：
$\frac{3x^2}{4}\left(2 \ln x - 1\right) + C$

Exam tip:

当积分单个函数（如 $ln x$ 或 $arctan x$ ，不是显式乘积）时，将其改写为 $f (x) \cdot 1 d x$ ，设 $u = f (x)$ ， $d v = 1 d x$ ，即可转化为标准问题求解。

2. 重复与循环分部积分★★★☆☆BC 专属⏱ 4 min

大多数涉及高次多项式，或指数函数与三角函数乘积的积分，都需要多次应用分部积分。对于n次多项式 $u$ ，每次应用都会使 $u$ 的次数降低1，因此需要应用n次才能将 $u$ 化简为常数。

BC专属的一种特殊情况是循环分部积分，它出现在积分 $e^{a x} sin (b x)$ 或 $e^{a x} cos (b x)$ 这类形式的乘积时。两次应用后，原积分会重新出现在等式右侧，你可以通过代数方法求解原积分。这是AP考试中非常常见的题型。

📐 例题

计算 $\int e^{3 x} cos 2 x d x$

1
根据LIATE规则，三角函数排在指数函数之前，因此设 $u = cos 2 x$ ， $d v = e^{3 x} d x$ 。计算 $d u$ 和 $v$ ：
$du = -2 \sin 2x dx, \quad v = \frac{1}{3}e^{3x}$
2
第一次应用分部积分：
$\int e^{3x} \cos 2x dx = \frac{1}{3}e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{3}\int e^{3x} \sin 2x dx$
3
对新积分第二次应用分部积分，设 $u = sin 2 x$ ， $d v = e^{3 x} d x$ ：
$\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}e^{3x} \sin 2x - \frac{4}{3}\int e^{3x} \cos 2x dx\right) = \frac{2}{9}e^{3x} \sin 2x - \frac{4}{9}\int e^{3x} \cos 2x dx$
4
设 $I = \int e^{3 x} cos 2 x d x$ ，代回原方程：
$I = \frac{1}{3}e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{9}e^{3x} \sin 2x - \frac{4}{9}I$
5
将含 $I$ 的项移到左侧并求解：
$\frac{13}{9}I = \frac{e^{3x}}{9}\left(3 \cos 2x + 2 \sin 2x\right) \implies I = \frac{e^{3x}(3 \cos 2x + 2 \sin 2x)}{13} + C$

Exam tip:

积分常数 $+ C$ 只能在你将原积分 $I$ 分离到左侧后再添加。过早添加 $C$ 会导致最终结果中的常数倍数错误。

3. 表格积分法（DI法）★★★☆☆BC 专属⏱ 3 min

表格积分法是重复分部积分的省时捷径，仅适用于其中一个函数（u项）经过有限次求导后变为零的情况，这种情况几乎都是任意次数的多项式。该方法将计算整理为两列： $D$ 列（反复对u求导）和 $I$ 列（反复对dv积分）。当D列变为零时停止，然后将交替符号的对角乘积相加得到原函数。

📐 例题

计算 $\int (2 x^{2} - 5 x) e^{2 x} d x$

1
根据LIATE规则，将 $u = 2 x^{2} - 5 x$ 分配到D列， $d v = e^{2 x} d x$ 分配到I列。对D列求导直到得到0，对I列积分相同次数：
2
行号 D（对u求导） I（对dv积分）
1 $2 x^{2} - 5 x$ $e^{2 x}$
2 $4 x - 5$ $\frac{1}{2} e^{2 x}$
3 $4$ $\frac{1}{4} e^{2 x}$
4 $0$ $\frac{1}{8} e^{2 x}$
3
从第一行开始交替符号，第一个为 $+$ ： $+, -, +$ 。将每个D项乘以下一行的I项，乘以符号，然后将所有项相加：
$+(2x^2 - 5x)\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) - (4x - 5)\left(\frac{1}{4}e^{2x}\right) + 4\left(\frac{1}{8}e^{2x}\right) + C$
4
提取公因式化简：
$\frac{e^{2x}}{4}\left(2(2x^2 - 5x) - (4x - 5) + 2\right) + C = \frac{e^{2x}}{4}(4x^2 - 14x +7) + C$

行号	D（对u求导）	I（对dv积分）
1	$2 x^{2} - 5 x$	$e^{2 x}$
2	$4 x - 5$	$\frac{1}{2} e^{2 x}$
3	$4$	$\frac{1}{4} e^{2 x}$
4	$0$	$\frac{1}{8} e^{2 x}$

Exam tip:

绝对不要对 $e^{x} sin x$ 这类循环情况使用表格积分法。你永远得不到零导数，因此该方法不适用，会导致错误结果。

4. AP风格练习题★★★★☆⏱ 4 min

📐 例题

选择题：计算 $\int_{0}^{π} x sin x d x$ ，哪个是正确结果？

1
设 $u = x$ ， $d v = sin x d x$ ，因此 $d u = d x$ ， $v = - cos x$ 。应用定积分的分部积分公式：
$\int_0^\pi x \sin x dx = \left[-x \cos x\right]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) dx$
2
先计算边界项，再计算剩余项的积分：
$(-\pi \cos \pi - 0) + \int_0^\pi \cos x dx = \pi + \left[\sin x\right]_0^\pi = \pi + 0 = \pi$
3
正确结果是 $π$ 。

📐 例题

自由问答题：设 $f (x) = x^{2} cos x$ 定义在 $[0, 2 π]$ 上。(a) 计算 $\int x^{2} cos x d x$ (b) 计算 $\int_{0}^{2 π} x^{2} cos x d x$

1
(a) 使用表格积分法： $u = x^{2}$ ， $d v = cos x d x$ 。从 $+$ 开始交替符号，求和得到：
$x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$
2
(b) 在上下限 $0$ 和 $2 π$ 处计算原函数的值：
$\left[x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x\right]_0^{2\pi} = (0 + 2(2\pi)(1) - 0) - 0 = 4\pi$

5. 常见陷阱

错误做法:

对 $\int x ln x d x$ 选择 $u = x$ 和 $d v = ln x d x$

原因:

学生混淆了LIATE顺序，需要对 $ln x$ 积分得到v，这会不必要地复杂化问题

正确做法:

遵循LIATE规则：对数排在代数函数之前，因此设 $u = ln x$ ， $d v = x d x$

错误做法:

循环积分中得到 $I = ... - k I$ 后，将 $- k I$ 留在等式右侧

原因:

学生忘记原积分重新出现，必须通过代数方法求解

正确做法:

一开始就将原积分记为占位符 $I$ ，然后合并同类项分离出 $I$

错误做法:

定积分分部积分中，没有计算边界项 $[uv]_{a}^{b}$ ，将其保留为x的函数

原因:

学生专注于对 $\int v d u$ 项积分，完全忘记了边界项

正确做法:

在对第二项积分之前，先计算并化简 $[uv]_{a}^{b}$

错误做法:

表格积分中，交替符号第一个项就取负

原因:

学生混淆了核心公式中 $- \int v d u$ 项的符号变化

正确做法:

在表格每一行旁边明确写出符号，第一个非零D项从 $+$ 开始

错误做法:

声称 $\int arctan x d x$ 不能用分部积分求解，因为它不是乘积

原因:

学生错误地认为分部积分仅适用于显式乘积

正确做法:

将积分改写为 $\int 1 \cdot arctan x d x$ ，设 $u = arctan x$ ， $d v = 1 d x$ ，然后继续求解即可

6. 速查表

类别	公式	说明
不定积分分部积分	$\int u d v = uv - \int v d u$	反转乘积法则得到的核心公式
定积分分部积分	$\int_{a}^{b} u d v = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u$	先计算 $[uv]_{a}^{b} = u (b) v (b) - u (a) v (a)$
LIATE选择u	对数 > 反三角 > 代数 > 三角 > 指数	列表中排在前面 = $u$ ，另一个 = $d v$
单个函数积分	$\int f (x) d x = \int f (x) \cdot 1 d x, u = f (x), d v = 1 d x$	适用于 $ln x$ 、 $arctan x$ 等
循环积分	设 $I =$ 原积分，代数求解 $I$	仅在分离出 $I$ 后添加 $+ C$
表格积分	和 = $\sum (符号) \times D_{i} \times I_{i + 1}$	仅当u求导后得到零时使用（多项式）
表格符号顺序	$+, -, +, -, ...$ 从第一个D项开始	第一个项取负是表格积分最常见的错误

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
不定积分分部积分
2022 · FRQ
循环分部积分

下一步

分部积分法是你接下来在AP微积分BC第6单元学习的所有高级积分方法的基础技巧，包括部分分式积分和反常积分计算。AP考试中许多多步骤题目都需要将分部积分与换元法或部分分式结合，因此掌握u/dv的选择并避免常见的符号错误对于高效正确地解决这些问题至关重要。除了积分之外，分部积分法还用于推导幂积分的降次公式（偶尔会出现在选择题中），也是解决BC考试中许多应用微分方程问题所必需的。扎实掌握这一技巧对于在AP微积分BC考试中获得高分必不可少。