反常积分（仅BC）

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 积分与变化的累积· 14 分钟阅读

1. 什么是反常积分？★★☆☆☆⏱ 3 min

本知识点仅属于AP微积分BC，不会出现在AP微积分AB考试中。它约占AP微积分BC考试总分的6-8%，同时出现在选择题和自由作答题部分，通常与积分技巧、无穷级数等其他知识点结合考查。

📘 定义

反常积分

不满足正常定积分至少一项要求的定积分：要么积分区间是无穷区间，要么被积函数在积分区间内某点存在无穷间断点（垂直渐近线）。反常积分通过正常定积分的极限来计算。

例:

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{2}} d x$ (infinite bound), $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x$ (discontinuity at 0)

2. 无穷区间反常积分（第一类）★★☆☆☆⏱ 4 min

第一类反常积分至少有一个积分限为无穷，被积函数在整个区间上连续。根据定义：

如果 $f$ 在 $[a, \infty)$ 上连续：

\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx

如果 $f$ 在 $(- \infty, b]$ 上连续：

\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx

如果 $f$ 在 $(- \infty, \infty)$ 上连续，将积分在任意有限点 $c$ 处拆分：

\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx

原积分收敛 仅当两个拆分后的积分都收敛。

📐 例题

计算 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{3}} d x$ 并说明它收敛还是发散。

1
根据定义，将反常积分改写为正常积分的极限：
2
$\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-3} dx$
3
求 $x^{- 3}$ 的原函数：
4
$\int x^{-3} dx = -\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$
5
计算从 1 到 $b$ 的定积分：
6
$\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2b^2} - \left(-\frac{1}{2(1)^2}\right) \right] = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2b^2} \right)$
7
计算极限：当 $b \to \infty$ ， $\frac{1}{2 b ^{2}} \to 0$ ，所以极限等于 $\frac{1}{2}$ 。
8
该积分收敛到 $\frac{1}{2}$ 。

3. 被积函数不连续的反常积分（第二类）★★★☆☆⏱ 4 min

第二类反常积分的积分限是有限的，但被积函数在区间内一个或多个点存在无穷间断点（垂直渐近线）。我们使用同样的基于极限的方法，只不过是趋近间断点，而不是将积分限推向无穷。

如果 $f$ 在 $(a, b]$ 上连续，在 $a$ 处存在无穷间断点：

\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) dx

如果 $f$ 在 $[a, b)$ 上连续，在 $b$ 处存在无穷间断点：

\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^-} \int_a^c f(x) dx

如果间断点在区间内部点 $c \in (a, b)$ ，在 $c$ 处将积分拆分为两个反常积分；原积分收敛要求两个拆分积分都收敛。

📐 例题

计算 $\int_{0}^{8} \frac{1}{3 x} d x$ 并说明它收敛还是发散。

1
确定间断点： $\frac{1}{3 x}$ 在区间左端点 $x = 0$ 处存在无穷间断点。
2
根据定义，将反常积分改写为右极限：
3
$\int_0^8 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_a^8 x^{-1/3} dx$
4
求 $x^{- 1/3}$ 的原函数：
5
$\int x^{-1/3} dx = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$
6
计算从 $a$ 到 8 的定积分：
7
$\lim_{a \to 0^+} \left[ \frac{3}{2}(8^{2/3}) - \frac{3}{2}(a^{2/3}) \right] = \lim_{a \to 0^+} \left( 6 - \frac{3}{2}a^{2/3} \right)$
8
计算极限：当 $a \to 0^{+}$ ， $a^{2/3} \to 0$ ，所以极限等于 6。
9
该积分收敛到 6。

4. 收敛判别：p检验和比较判别法★★★☆☆⏱ 3 min

在很多AP考试题目中，你只需要判断反常积分是否收敛，不需要计算它的精确值。两个核心工具是幂函数的p检验和一般正被积函数的比较判别法。

无穷区间的p检验 ( $a > 0$ ): $\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x ^{p}} d x$ 当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散。函数需要随着 $x$ 增大衰减足够快，才能得到有限面积。
0点间断的p检验 ( $a > 0$ ): $\int_{0}^{a} \frac{1}{x ^{p}} d x$ 当 $p < 1$ 时收敛，当 $p \geq 1$ 时发散。函数在 $x = 0$ 附近不能增长太快，才能得到有限面积。

比较判别法适用于正函数：如果对区间内所有 $x$ 都有 $0 \leq f (x) \leq g (x)$ ，则：

如果 $\int g (x) d x$ 收敛，那么 $\int f (x) d x$ 也收敛。
如果 $\int f (x) d x$ 发散，那么 $\int g (x) d x$ 也发散。

📐 例题

不计算积分，使用比较判别法和p检验判断 $\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x ( x + 1 )} d x$ 收敛还是发散。

1
对所有 $x \geq 1$ ， $x + 1 > x$ ，因此我们可以得到被积函数的上界：
2
$0 < \frac{3}{\sqrt{x}(x+1)} < \frac{3}{\sqrt{x} \cdot x} = \frac{3}{x^{3/2}}$
3
可知 $\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x ^{3/2}} d x$ 是p积分， $p = 3/2 > 1$ 。
4
根据无穷区间的p检验， $\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x ^{3/2}} d x$ 收敛。
5
根据比较判别法，由于原被积函数为正且小于收敛的被积函数，因此原积分收敛。

✓ 快速检测

测试你对p检验的理解：

关于 $\int_{0}^{1} \frac{e ^{- x}}{x ^{0.8}} d x$ ，下列哪个说法正确？
- A)
  积分收敛，因为 $p = 0.8 < 1$ 符合p检验。
- B)
  积分收敛，因为 $p = 0.8 > 1$ 符合p检验。
- C)
  积分发散，因为 $p = 0.8 < 1$ 符合p检验。
- D)
  积分发散，因为 $p = 0.8 > 1$ 符合p检验。
显示答案
A —
正确！该积分在 $x = 0$ 处存在无穷间断点，因此有限区间的p检验告诉我们，当 $p < 1$ 时收敛。由于 $0 < \frac{e ^{- x}}{x ^{0.8}} \leq \frac{1}{x ^{0.8}}$ ，比较判别法确认了收敛性。

5. 混合型和应用类反常积分问题★★★★☆⏱ 4 min

📐 例题

设 $f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ( x - 3 )}$ 。(a) 解释为什么 $\int_{0}^{4} f (x) d x$ 是反常积分。(b) 将积分拆分为正常积分极限的和。(c) 判断该积分收敛还是发散。

1
(a) 被积函数在 $x = 1$ 和 $x = 3$ 处都存在无穷间断点（垂直渐近线），两个点都在积分区间 $[0, 4]$ 内，因此根据定义该积分是反常积分。
2
(b) 在两个间断点处拆分积分，得到四个独立的极限：
3
$\int_0^4 f(x) dx = \lim_{a \to 1^-} \int_0^a f(x) dx + \lim_{b \to 1^+} \int_b^2 f(x) dx + \lim_{c \to 3^-} \int_2^c f(x) dx + \lim_{d \to 3^+} \int_d^4 f(x) dx$
4
(c) 部分分式分解得 $f (x) = - \frac{1}{2 ( x - 1 )} + \frac{1}{2 ( x - 3 )}$ 。计算第一个极限：
5
$\lim_{a \to 1^-} \int_0^a \left(-\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}\right) dx = \lim_{a \to 1^-} \left[ -\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x-3| \right]_0^a$
6
当 $a \to 1^{-}$ ， $ln (1 - a) \to - \infty$ ，因此 $- \frac{1}{2} ln (1 - a) \to + \infty$ 。第一个极限发散，所以整个积分发散。

📐 例题

将质量1000kg的航天器从地球表面移动到无穷远处所需的总功由下式给出： $W = \int_{R}^{\infty} \frac{GM m}{r ^{2}} d r$ ，其中 $G = 6.67 \times 1 0^{- 11}$ ， $M = 5.97 \times 1 0^{24}$ ， $m = 1000$ ， $R = 6.37 \times 1 0^{6}$ 。计算总功，单位为焦耳。

1
根据定义，将反常积分改写为极限：
2
$W = GMm \lim_{b \to \infty} \int_R^b r^{-2} dr$
3
$r^{- 2}$ 的原函数是 $- r^{- 1} = - \frac{1}{r}$ 。计算极限：
4
$\lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{R}\right) = 0 + \frac{1}{R} = \frac{1}{R}$
5
代入给定数值：
6
$W = \frac{GMm}{R} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})(1000)}{6.37 \times 10^6} \approx 6.25 \times 10^{10}$
7
总功（逃逸能量）约为 $6.25 \times 1 0^{10}$ 焦耳。

6. 常见陷阱

错误做法:

将 $\int_{- \infty}^{\infty} x d x$ 计算为 $lim_{b \to \infty} \int_{- b}^{b} x d x = 0$ ，并得出收敛结论。

原因:

将柯西主值和AP考试中对两端无穷反常积分收敛的正式定义混淆。

正确做法:

始终在有限点拆分积分，计算两个独立的极限。对于本题，两个极限都发散，因此原积分发散。

错误做法:

对 $\int_{0}^{2} \frac{1}{x ^{3}} d x$ 应用p检验，因为 $p = 3 > 1$ 得出收敛结论。

原因:

混淆了无穷区间和0点间断的p检验条件。

正确做法:

记住0点间断的p检验： $\int_{0}^{a} \frac{1}{x ^{p}} d x$ 仅当 $p < 1$ 时收敛，因此该积分发散。

错误做法:

忽略 $x = 0$ 处的间断点，直接用微积分基本定理计算 $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x ^{2}} d x$ 得到 $- 2$ 。

原因:

积分限有限时，忘记检查区间内部的垂直渐近线。

正确做法:

积分前始终检查被积函数的定义域限制和无穷间断点；在 $x = 0$ 处拆分积分，计算两个极限，本题中两个极限都发散。

错误做法:

因为 $0 < \frac{1}{x + 1} < \frac{1}{x}$ 且 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$ 发散，得出 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x + 1} d x$ 收敛。

原因:

错误应用了收敛和发散的比较判别法规则。

正确做法:

若你的函数小于一个发散积分，你无法得出任何结论。对于本题，找下界： $\frac{1}{x + 1} > \frac{1}{2 x}$ ，因此和发散积分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x} d x$ 比较，得出发散结论。

错误做法:

一个发散和一个收敛的反常积分相加，因为其中一部分收敛，得出整个积分收敛。

原因:

错误假设一部分的收敛可以抵消另一部分的发散。

正确做法:

如果反常积分拆分后的任何一个极限不存在或为无穷，无论其他部分如何，整个反常积分都发散。

7. 速查表

类别	公式/法则	注释
无穷上限	$\int_{a}^{\infty} f (x) d x = lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f (x) d x$	收敛当且仅当极限有限； $f$ 连续在 $[a, \infty)$
无穷下限	$\int_{- \infty}^{b} f (x) d x = lim_{a \to - \infty} \int_{a}^{b} f (x) d x$	收敛当且仅当极限有限； $f$ 连续在 $(- \infty, b]$
两端无穷	$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{\infty} f (x) d x$	仅当两个积分都收敛时才收敛；拆分在任意有限 $c$
左端点间断	$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{c \to a^{+}} \int_{c}^{b} f (x) d x$	$f$ 连续在 $(a, b]$ ，无穷间断点在 $a$
右端点间断	$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{c \to b^{-}} \int_{a}^{c} f (x) d x$	$f$ 连续在 $[a, b)$ ，无穷间断点在 $b$
p检验（无穷区间， $a > 0$ ）	收敛： $p > 1$ ；发散： $p \leq 1$	适用于 $\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x ^{p}} d x$
p检验（0点间断， $a > 0$ ）	收敛： $p < 1$ ；发散： $p \geq 1$	适用于 $\int_{0}^{a} \frac{1}{x ^{p}} d x$
比较判别法（正 $f, g$ ）	如果 $0 \leq f (x) \leq g (x)$ ：(1) $\int g$ 收敛 $⟹ \int f$ 收敛；(2) $\int f$ 发散 $⟹ \int g$ 发散	仅适用于正被积函数；如果 $f < g$ 且 $\int g$ 发散则无法得出结论

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC MCQ
p检验收敛性题目
2022 · BC FRQ
反常积分的工程应用

下一步

反常积分是AP微积分BC核心知识点的重要前提，尤其是无穷级数。你会用反常积分应用级数收敛的积分判别法，分析幂级数的收敛性，因此掌握本知识点对避免后续级数题目失分至关重要。不理解如何识别、检验和计算反常积分，你会很难应用大多数常见的级数收敛判别法，处理函数的幂级数表示。本知识点还将积分和极限结合，解决无界区间或函数的实际问题，出现在功、概率和微分方程等应用中。