# 反常积分（仅BC）

> AP 微积分 BC · 第6单元：积分与变化的累积
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-improper-integrals/

本指南涵盖AP微积分BC的无穷区间反常积分、不连续被积函数反常积分、收敛定义、p检验和比较判别法。掌握这个仅BC要求知识点的计算和收敛判别方法。

**先修:** [通过微积分基本定理计算定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u5-fundamental-theorem-calculus/); [有限点和无穷远点的极限计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-ab-u1-limits-continuity/); [常用函数的基本积分法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-basic-integration-rules/)

## 学习目标

- 定义反常积分，区分第一类（无穷区间）和第二类（被积函数不连续）反常积分
- 通过正常定积分的极限计算反常积分
- 应用p检验和比较判别法判断收敛/发散
- 避免反常积分相关的常见考试陷阱

## 什么是反常积分？

本知识点仅属于AP微积分BC，不会出现在AP微积分AB考试中。它约占AP微积分BC考试总分的6-8%，同时出现在选择题和自由作答题部分，通常与积分技巧、无穷级数等其他知识点结合考查。

**反常积分** — 不满足正常定积分至少一项要求的定积分：要么积分区间是无穷区间，要么被积函数在积分区间内某点存在无穷间断点（垂直渐近线）。反常积分通过正常定积分的极限来计算。

*例:* $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx$ (infinite bound), $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ (discontinuity at 0)

## 无穷区间反常积分（第一类）

第一类反常积分至少有一个积分限为无穷，被积函数在整个区间上连续。根据定义：

如果 $f$ 在 $[a, \infty)$ 上连续：

$$\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$$

如果 $f$ 在 $(-\infty, b]$ 上连续：

$$\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx$$

如果 $f$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上连续，将积分在任意有限点 $c$ 处拆分：

$$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$$

原积分收敛 **仅当两个拆分后的积分都收敛**。

**例题:** 计算 $\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx$ 并说明它收敛还是发散。

1. 根据定义，将反常积分改写为正常积分的极限：
2. $$\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-3} dx$$
3. 求 $x^{-3}$ 的原函数：
4. $$\int x^{-3} dx = -\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$
5. 计算从 1 到 $b$ 的定积分：
6. $$\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2b^2} - \left(-\frac{1}{2(1)^2}\right) \right] = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2b^2} \right)$$
7. 计算极限：当 $b \to \infty$，$\frac{1}{2b^2} \to 0$，所以极限等于 $\frac{1}{2}$。
8. 该积分收敛到 $\frac{1}{2}$。

> **tip**
>
> 如果反常积分两端都是无穷区间，你必须计算两个独立的极限。柯西主值（$\lim_{b \to \infty} \int_{-b}^b f(x)dx$）在AP考试中不被承认为有效的收敛判别方法。

## 被积函数不连续的反常积分（第二类）

第二类反常积分的积分限是有限的，但被积函数在区间内一个或多个点存在无穷间断点（垂直渐近线）。我们使用同样的基于极限的方法，只不过是趋近间断点，而不是将积分限推向无穷。

如果 $f$ 在 $(a, b]$ 上连续，在 $a$ 处存在无穷间断点：

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) dx$$

如果 $f$ 在 $[a, b)$ 上连续，在 $b$ 处存在无穷间断点：

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^-} \int_a^c f(x) dx$$

如果间断点在区间内部点 $c \in (a,b)$，在 $c$ 处将积分拆分为两个反常积分；原积分收敛要求两个拆分积分都收敛。

**例题:** 计算 $\int_0^8 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ 并说明它收敛还是发散。

1. 确定间断点：$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 在区间左端点 $x=0$ 处存在无穷间断点。
2. 根据定义，将反常积分改写为右极限：
3. $$\int_0^8 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_a^8 x^{-1/3} dx$$
4. 求 $x^{-1/3}$ 的原函数：
5. $$\int x^{-1/3} dx = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$$
6. 计算从 $a$ 到 8 的定积分：
7. $$\lim_{a \to 0^+} \left[ \frac{3}{2}(8^{2/3}) - \frac{3}{2}(a^{2/3}) \right] = \lim_{a \to 0^+} \left( 6 - \frac{3}{2}a^{2/3} \right)$$
8. 计算极限：当 $a \to 0^+$，$a^{2/3} \to 0$，所以极限等于 6。
9. 该积分收敛到 6。

> **tip**
>
> 即使积分限有限，积分前也要始终检查被积函数是否存在间断点。AP考试题目经常在区间内部隐藏垂直渐近线，考查你是否会先检查定义域。

## 收敛判别：p检验和比较判别法

在很多AP考试题目中，你只需要判断反常积分是否收敛，不需要计算它的精确值。两个核心工具是幂函数的p检验和一般正被积函数的比较判别法。

- **无穷区间的p检验 ($a>0$):** $\int_a^\infty \frac{1}{x^p} dx$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散。函数需要随着 $x$ 增大衰减足够快，才能得到有限面积。
- **0点间断的p检验 ($a>0$):** $\int_0^a \frac{1}{x^p} dx$ 当 $p<1$ 时收敛，当 $p \geq 1$ 时发散。函数在 $x=0$ 附近不能增长太快，才能得到有限面积。

比较判别法适用于正函数：如果对区间内所有 $x$ 都有 $0 \leq f(x) \leq g(x)$，则：

- 如果 $\int g(x) dx$ 收敛，那么 $\int f(x) dx$ 也收敛。
- 如果 $\int f(x) dx$ 发散，那么 $\int g(x) dx$ 也发散。

**例题:** 不计算积分，使用比较判别法和p检验判断 $\int_1^\infty \frac{3}{\sqrt{x}(x+1)} dx$ 收敛还是发散。

1. 对所有 $x \geq 1$，$x+1 > x$，因此我们可以得到被积函数的上界：
2. $$0 < \frac{3}{\sqrt{x}(x+1)} < \frac{3}{\sqrt{x} \cdot x} = \frac{3}{x^{3/2}}$$
3. 可知 $\int_1^\infty \frac{3}{x^{3/2}} dx$ 是p积分，$p = 3/2 > 1$。
4. 根据无穷区间的p检验，$\int_1^\infty \frac{3}{x^{3/2}} dx$ 收敛。
5. 根据比较判别法，由于原被积函数为正且小于收敛的被积函数，因此原积分收敛。

> **tip**
>
> 记住两个相反的p检验条件：无穷区间收敛要求 $p>1$；0点间断收敛要求 $p<1$。AP选择题的干扰项几乎总是混淆这两个条件。

**概念自测**

测试你对p检验的理解：

1. 关于 $\int_0^1 \frac{e^{-x}}{x^{0.8}} dx$，下列哪个说法正确？

   - 积分收敛，因为 $p=0.8 < 1$ 符合p检验。
   - 积分收敛，因为 $p=0.8 > 1$ 符合p检验。
   - 积分发散，因为 $p=0.8 < 1$ 符合p检验。
   - 积分发散，因为 $p=0.8 > 1$ 符合p检验。

   *解析:* 正确！该积分在 $x=0$ 处存在无穷间断点，因此有限区间的p检验告诉我们，当 $p<1$ 时收敛。由于 $0 < \frac{e^{-x}}{x^{0.8}} \leq \frac{1}{x^{0.8}}$，比较判别法确认了收敛性。

## 混合型和应用类反常积分问题

**例题:** 设 $f(x) = \frac{1}{(x-1)(x-3)}$。(a) 解释为什么 $\int_0^4 f(x) dx$ 是反常积分。(b) 将积分拆分为正常积分极限的和。(c) 判断该积分收敛还是发散。

1. (a) 被积函数在 $x=1$ 和 $x=3$ 处都存在无穷间断点（垂直渐近线），两个点都在积分区间 $[0,4]$ 内，因此根据定义该积分是反常积分。
2. (b) 在两个间断点处拆分积分，得到四个独立的极限：
3. $$\int_0^4 f(x) dx = \lim_{a \to 1^-} \int_0^a f(x) dx + \lim_{b \to 1^+} \int_b^2 f(x) dx + \lim_{c \to 3^-} \int_2^c f(x) dx + \lim_{d \to 3^+} \int_d^4 f(x) dx$$
4. (c) 部分分式分解得 $f(x) = -\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}$。计算第一个极限：
5. $$\lim_{a \to 1^-} \int_0^a \left(-\frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-3)}\right) dx = \lim_{a \to 1^-} \left[ -\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x-3| \right]_0^a$$
6. 当 $a \to 1^-$，$\ln(1-a) \to -\infty$，因此 $-\frac{1}{2}\ln(1-a) \to +\infty$。第一个极限发散，所以整个积分发散。

**例题:** 将质量1000kg的航天器从地球表面移动到无穷远处所需的总功由下式给出：$W = \int_R^\infty \frac{GMm}{r^2} dr$，其中 $G = 6.67 \times 10^{-11}$，$M = 5.97 \times 10^{24}$，$m = 1000$，$R = 6.37 \times 10^6$。计算总功，单位为焦耳。

1. 根据定义，将反常积分改写为极限：
2. $$W = GMm \lim_{b \to \infty} \int_R^b r^{-2} dr$$
3. $r^{-2}$ 的原函数是 $-r^{-1} = -\frac{1}{r}$。计算极限：
4. $$\lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + \frac{1}{R}\right) = 0 + \frac{1}{R} = \frac{1}{R}$$
5. 代入给定数值：
6. $$W = \frac{GMm}{R} = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})(1000)}{6.37 \times 10^6} \approx 6.25 \times 10^{10}$$
7. 总功（逃逸能量）约为 $6.25 \times 10^{10}$ 焦耳。

## 常见错误

- **错误做法:** 将 $\int_{-\infty}^\infty x dx$ 计算为 $\lim_{b \to \infty} \int_{-b}^b x dx = 0$，并得出收敛结论。
  - 原因: 将柯西主值和AP考试中对两端无穷反常积分收敛的正式定义混淆。
  - 正确做法: 始终在有限点拆分积分，计算两个独立的极限。对于本题，两个极限都发散，因此原积分发散。
- **错误做法:** 对 $\int_0^2 \frac{1}{x^3} dx$ 应用p检验，因为 $p=3>1$ 得出收敛结论。
  - 原因: 混淆了无穷区间和0点间断的p检验条件。
  - 正确做法: 记住0点间断的p检验：$\int_0^a \frac{1}{x^p} dx$ 仅当 $p<1$ 时收敛，因此该积分发散。
- **错误做法:** 忽略 $x=0$ 处的间断点，直接用微积分基本定理计算 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx$ 得到 $-2$。
  - 原因: 积分限有限时，忘记检查区间内部的垂直渐近线。
  - 正确做法: 积分前始终检查被积函数的定义域限制和无穷间断点；在 $x=0$ 处拆分积分，计算两个极限，本题中两个极限都发散。
- **错误做法:** 因为 $0 < \frac{1}{\sqrt{x} + 1} < \frac{1}{\sqrt{x}}$ 且 $\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 发散，得出 $\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x} + 1} dx$ 收敛。
  - 原因: 错误应用了收敛和发散的比较判别法规则。
  - 正确做法: 若你的函数小于一个发散积分，你无法得出任何结论。对于本题，找下界：$\frac{1}{\sqrt{x}+1} > \frac{1}{2\sqrt{x}}$，因此和发散积分 $\int_1^\infty \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$ 比较，得出发散结论。
- **错误做法:** 一个发散和一个收敛的反常积分相加，因为其中一部分收敛，得出整个积分收敛。
  - 原因: 错误假设一部分的收敛可以抵消另一部分的发散。
  - 正确做法: 如果反常积分拆分后的任何一个极限不存在或为无穷，无论其他部分如何，整个反常积分都发散。

## 速查表

| 类别 | 公式/法则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 无穷上限 | $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx$ | 收敛当且仅当极限有限；$f$ 连续在 $[a, \infty)$ |
| 无穷下限 | $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) dx$ | 收敛当且仅当极限有限；$f$ 连续在 $(-\infty, b]$ |
| 两端无穷 | $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$ | 仅当两个积分都收敛时才收敛；拆分在任意有限 $c$ |
| 左端点间断 | $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) dx$ | $f$ 连续在 $(a, b]$，无穷间断点在 $a$ |
| 右端点间断 | $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^-} \int_a^c f(x) dx$ | $f$ 连续在 $[a, b)$，无穷间断点在 $b$ |
| p检验（无穷区间，$a>0$） | 收敛：$p>1$；发散：$p \leq 1$ | 适用于 $\int_a^\infty \frac{1}{x^p} dx$ |
| p检验（0点间断，$a>0$） | 收敛：$p<1$；发散：$p \geq 1$ | 适用于 $\int_0^a \frac{1}{x^p} dx$ |
| 比较判别法（正 $f,g$） | 如果 $0 \leq f(x) \leq g(x)$：(1) $\int g$ 收敛 $\implies \int f$ 收敛；(2) $\int f$ 发散 $\implies \int g$ 发散 | 仅适用于正被积函数；如果 $f<g$ 且 $\int g$ 发散则无法得出结论 |

## 下一步

反常积分是AP微积分BC核心知识点的重要前提，尤其是无穷级数。你会用反常积分应用级数收敛的积分判别法，分析幂级数的收敛性，因此掌握本知识点对避免后续级数题目失分至关重要。不理解如何识别、检验和计算反常积分，你会很难应用大多数常见的级数收敛判别法，处理函数的幂级数表示。本知识点还将积分和极限结合，解决无界区间或函数的实际问题，出现在功、概率和微分方程等应用中。

- [反导数求解方法的选择](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-selecting-techniques-for-antidifferentiation/)
- [微分方程概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-overview/)
- [用微分方程对实际场景建模](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u7-modeling-situations-with-differential-equations/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-improper-integrals/