微积分基本定理与累积函数

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Integration and Accumulation of Change· 14 分钟阅读

1. 核心概念：累积函数与FTC概述★☆☆☆☆⏱ 2 min

微积分基本定理（FTC）是连接微积分两大支柱——微分和积分——的核心结论，证明了二者互为逆运算。该内容约占AP微积分BC考试总分的8-10%，在选择题和自由问答题部分均会考查。

📘 定义

累积函数

累积函数是定义为定积分的函数，积分限中至少有一个是变量，而非两个都是常数。它给出了从固定点到可变上限之间，被积函数下累积的净面积（或净变化）。

例:

$A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 是一个累积函数，表示从常数 $a$ 到变量 $x$ 的净累积面积。

FTC包含两个核心部分：第一部分给出累积函数的导数，第二部分给出使用原函数计算定积分的方法。该内容是BC微积分中几乎所有积分应用问题的核心，从物理量的净变化到FRQ图像题中变限积分的分析，都离不开它。

2. FTC第一部分：累积函数的导数★★☆☆☆⏱ 4 min

FTC第一部分正式确立了积分和微分的互逆关系。若 $f (t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且我们对 $a \leq x \leq b$ 定义 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，则 $A^{'} (x) = f (x)$ 。直观来说，到x点为止总累积面积的变化率恰好等于函数f在x点的高度。

利用链式法则，该法则可以很容易推广到复合变量限的累积函数。若上限是函数 $u (x)$ 而非x本身，则导数为：

\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x)

对于上下限都是变量的累积函数，我们在常数 $a$ 处拆分积分，翻转下限积分得到负号，然后对每个限应用链式法则：

\frac{d}{dx} \int_{l(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) u'(x) - f(l(x)) l'(x)

📐 例题

求 $\frac{d}{d x} [\int_{c o s x}^{x^{2}} ln (t^{2} + 1) d t]$ 。

1
确定各分量：变量下限 $l (x) = cos x$ ，变量上限 $u (x) = x^{2}$ ，被积函数 $f (t) = ln (t^{2} + 1)$ 。
2
计算积分限的导数： $u^{'} (x) = 2 x$ ， $l^{'} (x) = - sin x$ 。
3
应用双变量限导数法则： $\frac{d}{d x} = f (u (x)) u^{'} (x) - f (l (x)) l^{'} (x)$ 。
4
代入并化简：
5
$\ln\left((x^2)^2 + 1\right)(2x) - \ln\left((\cos x)^2 + 1\right)(-\sin x) = 2x \ln(x^4 + 1) + \sin x \ln(\cos^2 x + 1)$

✓ 快速检测

测试你对FTC第一部分的理解：

若 $f$ 是可导函数，满足 $f (2) = 5$ ， $f^{'} (2) = - 3$ ，且 $f (4) = 1$ ， $f^{'} (4) = 2$ ，则 $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{2 x} f (t) d t]$ 在 $x = 2$ 处的值是多少？
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显示答案
1 —
使用双变量限法则： $f (2 x) \cdot 2 - f (x) \cdot 1$ 。在 $x = 2$ 处，结果为 $1 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = - 3$ 。

Exam tip:

求导前务必明确标注 $f (t)$ 、上限函数和下限函数。这可以避免混淆项，也能避免本可避免的符号错误。

3. FTC第二部分：定积分的计算★★☆☆☆⏱ 3 min

FTC第二部分提供了一种直接计算定积分精确值的方法，无需计算黎曼和的极限。其正式表述为：若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的任意原函数（即 $F^{'} (x) = f (x)$ ），则：

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

这个结论的直观理解符合积分的净变化诠释：变化率 $F^{'} (x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分就是 $F (x)$ 在该区间上的总变化，即 $F (b) - F (a)$ 。我们在不定积分中添加的积分常数会在 $F (b) - F (a)$ 中抵消，因此计算定积分时不需要保留积分常数。

📐 例题

计算定积分 $\int_{0}^{π /2} (2 sin x + 4 x cos (x^{2})) d x$ 。

1
确认被积函数在 $[0, π /2]$ 上连续，因此可以应用FTC第二部分。
2
逐项求原函数： $2 sin x$ 的原函数是 $- 2 cos x$ 。对于 $4 x cos (x^{2})$ ，使用u换元法（ $u = x^{2}$ ， $d u = 2 x d x$ ）得到原函数 $2 sin (x^{2})$ 。完整原函数为 $F (x) = - 2 cos x + 2 sin (x^{2})$ 。
3
在上限处取值：
4
$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right) = 0 + 2 \sin\left(\frac{\pi^2}{4}\right)$
5
在下限处取值： $F (0) = - 2 cos (0) + 2 sin (0) = - 2 (1) + 0 = - 2$ 。
6
上限值减下限值得到最终结果：
7
$F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 2 \sin\left(\frac{\pi^2}{4}\right) - (-2) = 2 + 2 \sin\left(\frac{\pi^2}{4}\right)$

Exam tip:

务必明确写出 $F (b) - F (a)$ ，不要颠倒顺序。颠倒积分限会错误改变答案的符号，AP阅卷官会对该错误扣分。

4. 累积函数的分析★★★☆☆⏱ 5 min

考试中非常常见的一类问题要求你求累积函数的单调区间、局部极值、凹凸区间或拐点，题目通常会给出被积函数 $f (t)$ 的图像。根据FTC第一部分，我们可以直接从f得到累积函数的所有导数信息，不需要积分计算。

若 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，则 $A^{'} (x) = f (x)$ ：当 $f (x) > 0$ 时 $A (x)$ 单调递增，当 $f (x) < 0$ 时 $A (x)$ 单调递减， $f (x)$ 变号处是 $A (x)$ 的局部极值点。
对于二阶导数， $A^{''} (x) = f^{'} (x)$ ：当 $f (x)$ 单调递增时（ $f^{'} (x) > 0$ ） $A (x)$ 凹向上，当 $f (x)$ 单调递减时（ $f^{'} (x) < 0$ ） $A (x)$ 凹向下， $f (x)$ 斜率改变处（即 $f^{'} (x)$ 变号处）是 $A (x)$ 的拐点。

📐 例题

y = f(t) 的图像是分段线性函数，经过点 $(- 2, 3)$ 、 $(0, 3)$ 、 $(1.5, 0)$ 、 $(2, - 1)$ 、 $(3.5, 0)$ 、 $(4, 1)$ 。设 $A (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，找出 $A (x)$ 在 $(- 2, 4)$ 上所有的局部极大值点。

1
根据FTC第一部分， $A^{'} (x) = f (x)$ ，因此临界点出现在 $f (x) = 0$ 处，即 $x = 1.5$ 和 $x = 3.5$ 。
2
在 $x = 1.5$ 处应用一阶导数测试：当 $0 < x < 1.5$ 时， $f (x) > 0$ ，因此 $A^{'} (x) > 0$ ，A单调递增。当 $1.5 < x < 3.5$ 时， $f (x) < 0$ ，因此 $A^{'} (x) < 0$ ，A单调递减。因此 $x = 1.5$ 是局部极大值点。
3
在 $x = 3.5$ 处应用一阶导数测试：当 $1.5 < x < 3.5$ 时， $f (x) < 0$ ，因此A单调递减。当 $x > 3.5$ 时， $f (x) > 0$ ，因此A单调递增。因此 $x = 3.5$ 是局部极小值点。
4
对于 $- 2 < x < 0$ ， $f (x) = 3 > 0$ ，因此 $A (x)$ 在整个区间单调递增，f没有变号，因此此处没有极值。
5
结论： $A (x)$ 在 $(- 2, 4)$ 上唯一的局部极大值点是 $x = 1.5$ 。

📐 例题

设对所有实数t都有 $f (t) = 2 t e^{- t^{2}}$ 。设 $A (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ 。(a) 用x表示 $A^{'} (x)$ 和 $A^{''} (x)$ 。(b) 找出 $A (x)$ 在 $(- \infty, \infty)$ 上所有拐点的x坐标，并证明你的结论。(c) 计算 $A (2)$ 的精确值。

1
(a) 根据FTC第一部分， $A^{'} (x) = f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ 。使用乘积法则求导得到 $A^{''} (x)$ ：
2
$A''(x) = 2e^{-x^2} + 2x(-2x e^{-x^2}) = 2e^{-x^2}(1 - 2x^2)$
3
(b) 拐点出现在 $A^{''} (x)$ 变号处。令 $A^{''} (x) = 0$ ：由于对所有实数x， $e^{- x^{2}}$ 都不为零，因此解方程 $1 - 2 x^{2} = 0$ 得到 $x = \pm \frac{2}{2}$ 。符号检查确认 $A^{''}$ 在这两个点都变号，因此它们都是拐点。
4
(c) 根据FTC第二部分， $A (2) = F (2) - F (0)$ ，其中 $F (x)$ 是 $2 t e^{- t^{2}}$ 的原函数。使用u换元法得到 $F (x) = - e^{- x^{2}}$ 。计算得：
5
$A(2) = (-e^{-4}) - (-e^{0}) = 1 - e^{-4} = 1 - \frac{1}{e^4}$

📐 例题

某水库在12小时内，水量体积的变化率为 $r (t) = 100 cos (\frac{π t}{6})$ ，单位为立方米每小时，其中t是从 $t = 0$ 开始计算的小时数。在 $t = 0$ 时，水库中的水量为2000立方米。将体积V(t)写为累积函数，然后计算t = 6小时时水库中的水量，并解释你的结果。

1
t时刻的体积等于初始体积加上从0到t变化率的净累积，因此：
2
$V(t) = 2000 + \int_0^t 100 \cos\left(\frac{\pi s}{6}\right) ds$
3
求 $V (6)$ ，应用FTC第二部分。 $100 cos (\frac{π s}{6})$ 的原函数是 $\frac{600}{π} sin (\frac{π s}{6})$ ，在0到6上计算：
4
$\frac{600}{\pi} \sin(\pi) - \frac{600}{\pi} \sin(0) = 0$
5
所以 $V (6) = 2000 + 0 = 2000$ 立方米。结合语境，前6小时的净体积变化为零，因此体积和初始值相等。

Exam tip:

当根据f的图像分析累积函数时，记住 $A^{'} = f$ ， $A^{''} = f^{'}$ 。不要将A的凹凸性和f的符号混淆——凹凸性取决于f图像的斜率。

5. 常见陷阱

错误做法:

求 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{u (x)} f (t) d t$ 时，将结果写为 $f^{'} (u (x)) u^{'} (x)$ ，而非正确的 $f (u (x)) u^{'} (x)$ 。

原因:

学生混淆了对f求导和仅在积分限处计算f的值，将FTC第一部分和常规链式法则搞混。

正确做法:

永远记住：FTC第一部分给出积分的导数等于f在积分限处的取值，而不是f的导数。开始计算前先明确写下公式。

错误做法:

当下限是变量时，忘记负号：将 $\frac{d}{d x} \int_{v (x)}^{b} f (t) d t$ 写为 $f (v (x)) v^{'} (x)$ ，而非正确的 $- f (v (x)) v^{'} (x)$ 。

原因:

学生在应用链式法则前没有重写积分来翻转积分限，记错了推广后的公式。

正确做法:

当下限是变量时，求导前务必翻转积分限并添加负号。

错误做法:

用FTC第二部分计算 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 时，保留了积分常数 $C$ ，得到 $F (b) - F (a) + C$ ，而非正确的 $F (b) - F (a)$ 。

原因:

学生习惯了在不定积分中添加C，因此习惯性地带入了定积分计算。

正确做法:

要知道C在定积分计算中会抵消，因此计算 $F (b) - F (a)$ 时可以完全省略C。

错误做法:

求累积函数 $A (x)$ 凹向上的区间时，使用了被积函数 $f (x)$ 的符号，而非 $f^{'} (x)$ 的符号。

原因:

学生忘记了关系 $A^{'} = f$ ， $A^{''} = f^{'}$ ，因此混淆了一阶和二阶导数的信息。

正确做法:

明确标注导数： $A^{'} (x) = f (x)$ ，因此 $A^{''} (x) = \frac{d}{d x} A^{'} (x) = f^{'} (x)$ 。使用该标注来检查凹凸性对应的符号。

错误做法:

将 $\frac{d}{d x} \int_{0}^{2 x} sin (t) d t$ 计算为 $sin (2 x)$ ，而非正确的 $2 sin (2 x)$ 。

原因:

学生忘记了对上限求导的链式法则步骤，仅在积分限处计算了f，省略了积分限的导数。

正确做法:

在积分限处计算完f后，一定要计算积分限函数的导数并相乘，没有例外。

错误做法:

当被积函数在积分区间内存在间断点时，仍然直接应用FTC第二部分计算 $F (b) - F (a)$ 。

原因:

学生误以为FTC第二部分对所有积分都成立，但该定理要求f在积分限之间的整个闭区间上连续。

正确做法:

如果f在 $[a, b]$ 内存在间断点，将积分拆分为多个f连续的子区间，对每个子区间应用FTC第二部分，再将结果相加。

6. 速查表

类别	公式	注释
累积函数	$A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$	$f$ 在包含a和x的区间上连续；表示从a到x的净累积变化/面积
FTC第一部分（常数下限）	如果 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ，则 $A^{'} (x) = f (x)$	要求f连续；适用于任意常数下限 $a$
FTC第一部分（一般变限）	$\frac{d}{d x} \int_{l (x)}^{u (x)} f (t) d t = f (u (x)) u^{'} (x) - f (l (x)) l^{'} (x)$	负号来自翻转下限积分；一定要乘以每个积分限的导数
FTC第二部分（定积分计算）	如果 $F^{'} (x) = f (x)$ 且f在 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$	积分常数C会抵消，因此定积分计算中省略C
累积函数的一阶导数	$A^{'} (x) = f (x)$ 对 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$	用于求 $A (x)$ 的单调区间和局部极值
累积函数的二阶导数	$A^{''} (x) = f^{'} (x)$ 对 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$	用于求 $A (x)$ 的凹凸区间和拐点；不要与 $f (x)$ 混淆
常限积分的导数	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{b} f (t) d t = 0$	选择题常见陷阱：常限积分的结果是常数，因此导数为零

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
变限积分的导数
2022 · FRQ
根据f的图像分析累积函数

下一步

该内容是AP微积分BC中所有后续积分学习的基础。学完本内容后，你将马上学习积分技巧（u换元法、分部积分法、部分分式分解），这些技巧完全依赖微积分基本定理来计算定积分和不定积分。你还会应用累积函数来计算区间内物理量的净变化、曲线的弧长和旋转体体积，所有这些内容都依赖FTC确立的微分和积分之间的互逆关系。掌握FTC是正确解决大多数涉及这些进阶内容的FRQ题的必要条件，而这些内容占AP BC考试的很大比例。