# 微积分基本定理与累积函数

> AP 微积分 BC · 积分与变化的累积
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-fundamental-theorem-of-calculus-and/

本模块涵盖累积函数定义、微积分基本定理（FTC）的两部分内容、变限累积函数的导数以及累积函数的分析，符合AP微积分BC课程与考试描述（CED）要求。

**先修:** 包括复合函数链式法则在内的求导法则; 定积分作为黎曼和极限的定义; 常见函数的基本原函数公式

## 学习目标

- 定义累积函数，并阐述微积分基本定理的两部分内容
- 对单变量或双变量限的累积函数求导
- 使用微积分基本定理第二部分计算定积分
- 分析累积函数的单调性、极值、凹凸性和拐点

## 核心概念：累积函数与FTC概述

微积分基本定理（FTC）是连接微积分两大支柱——微分和积分——的核心结论，证明了二者互为逆运算。该内容约占AP微积分BC考试总分的8-10%，在选择题和自由问答题部分均会考查。

**累积函数** — 累积函数是定义为定积分的函数，积分限中至少有一个是变量，而非两个都是常数。它给出了从固定点到可变上限之间，被积函数下累积的净面积（或净变化）。

*例:* $A(x) = \int_a^x f(t) dt$ 是一个累积函数，表示从常数$a$到变量$x$的净累积面积。

FTC包含两个核心部分：第一部分给出累积函数的导数，第二部分给出使用原函数计算定积分的方法。该内容是BC微积分中几乎所有积分应用问题的核心，从物理量的净变化到FRQ图像题中变限积分的分析，都离不开它。

## FTC第一部分：累积函数的导数

FTC第一部分正式确立了积分和微分的互逆关系。若 $f(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且我们对 $a \leq x \leq b$ 定义 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $A'(x) = f(x)$。直观来说，到x点为止总累积面积的变化率恰好等于函数f在x点的高度。

利用链式法则，该法则可以很容易推广到复合变量限的累积函数。若上限是函数 $u(x)$ 而非x本身，则导数为：

$$\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$$

对于上下限都是变量的累积函数，我们在常数 $a$ 处拆分积分，翻转下限积分得到负号，然后对每个限应用链式法则：

$$\frac{d}{dx} \int_{l(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) u'(x) - f(l(x)) l'(x)$$

**例题:** 求 $\frac{d}{dx} \left[ \int_{\cos x}^{x^2} \ln(t^2 + 1) dt \right]$。

1. 确定各分量：变量下限 $l(x) = \cos x$，变量上限 $u(x) = x^2$，被积函数 $f(t) = \ln(t^2 + 1)$。
2. 计算积分限的导数：$u'(x) = 2x$，$l'(x) = -\sin x$。
3. 应用双变量限导数法则：$\frac{d}{dx} = f(u(x))u'(x) - f(l(x))l'(x)$。
4. 代入并化简：
5. $$\ln\left((x^2)^2 + 1\right)(2x) - \ln\left((\cos x)^2 + 1\right)(-\sin x) = 2x \ln(x^4 + 1) + \sin x \ln(\cos^2 x + 1)$$

**概念自测**

测试你对FTC第一部分的理解：

1. 若 $f$ 是可导函数，满足 $f(2) = 5$，$f'(2) = -3$，且 $f(4) = 1$，$f'(4) = 2$，则 $\frac{d}{dx} \left[ \int_{x}^{2x} f(t) dt \right]$ 在 $x = 2$ 处的值是多少？

   - -8
   - -3
   - 2
   - 7

   *答案:* -3

   *解析:* 使用双变量限法则：$f(2x) \cdot 2 - f(x) \cdot 1$。在 $x=2$ 处，结果为 $1 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = -3$。

> **考试提示:** 求导前务必明确标注 $f(t)$、上限函数和下限函数。这可以避免混淆项，也能避免本可避免的符号错误。

## FTC第二部分：定积分的计算

FTC第二部分提供了一种直接计算定积分精确值的方法，无需计算黎曼和的极限。其正式表述为：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则：

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

这个结论的直观理解符合积分的净变化诠释：变化率 $F'(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分就是 $F(x)$ 在该区间上的总变化，即 $F(b) - F(a)$。我们在不定积分中添加的积分常数会在 $F(b) - F(a)$ 中抵消，因此计算定积分时不需要保留积分常数。

**例题:** 计算定积分 $\int_0^{\pi/2} \left(2 \sin x + 4x \cos(x^2)\right) dx$。

1. 确认被积函数在 $[0, \pi/2]$ 上连续，因此可以应用FTC第二部分。
2. 逐项求原函数：$2 \sin x$ 的原函数是 $-2 \cos x$。对于 $4x \cos(x^2)$，使用u换元法（$u = x^2$，$du = 2x dx$）得到原函数 $2 \sin(x^2)$。完整原函数为 $F(x) = -2 \cos x + 2 \sin(x^2)$。
3. 在上限处取值：
4. $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right) = 0 + 2 \sin\left(\frac{\pi^2}{4}\right)$$
5. 在下限处取值： $F(0) = -2 \cos(0) + 2 \sin(0) = -2(1) + 0 = -2$。
6. 上限值减下限值得到最终结果：
7. $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 2 \sin\left(\frac{\pi^2}{4}\right) - (-2) = 2 + 2 \sin\left(\frac{\pi^2}{4}\right)$$

> **考试提示:** 务必明确写出 $F(b) - F(a)$，不要颠倒顺序。颠倒积分限会错误改变答案的符号，AP阅卷官会对该错误扣分。

## 累积函数的分析

考试中非常常见的一类问题要求你求累积函数的单调区间、局部极值、凹凸区间或拐点，题目通常会给出被积函数 $f(t)$ 的图像。根据FTC第一部分，我们可以直接从f得到累积函数的所有导数信息，不需要积分计算。

- 若 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $A'(x) = f(x)$：当 $f(x) > 0$ 时 $A(x)$ 单调递增，当 $f(x) < 0$ 时 $A(x)$ 单调递减，$f(x)$ 变号处是 $A(x)$ 的局部极值点。
- 对于二阶导数，$A''(x) = f'(x)$：当 $f(x)$ 单调递增时（$f'(x) > 0$）$A(x)$ 凹向上，当 $f(x)$ 单调递减时（$f'(x) < 0$）$A(x)$ 凹向下，$f(x)$ 斜率改变处（即 $f'(x)$ 变号处）是 $A(x)$ 的拐点。

**例题:** y = f(t) 的图像是分段线性函数，经过点 $(-2, 3)$、$(0, 3)$、$(1.5, 0)$、$(2, -1)$、$(3.5, 0)$、$(4, 1)$。设 $A(x) = \int_0^x f(t) dt$，找出 $A(x)$ 在 $(-2, 4)$ 上所有的局部极大值点。

1. 根据FTC第一部分，$A'(x) = f(x)$，因此临界点出现在 $f(x) = 0$ 处，即 $x = 1.5$ 和 $x = 3.5$。
2. 在 $x = 1.5$ 处应用一阶导数测试：当 $0 < x < 1.5$ 时，$f(x) > 0$，因此 $A'(x) > 0$，A单调递增。当 $1.5 < x < 3.5$ 时，$f(x) < 0$，因此 $A'(x) < 0$，A单调递减。因此 $x = 1.5$ 是局部极大值点。
3. 在 $x = 3.5$ 处应用一阶导数测试：当 $1.5 < x < 3.5$ 时，$f(x) < 0$，因此A单调递减。当 $x > 3.5$ 时，$f(x) > 0$，因此A单调递增。因此 $x = 3.5$ 是局部极小值点。
4. 对于 $-2 < x < 0$，$f(x) = 3 > 0$，因此 $A(x)$ 在整个区间单调递增，f没有变号，因此此处没有极值。
5. 结论：$A(x)$ 在 $(-2, 4)$ 上唯一的局部极大值点是 $x = 1.5$。

**例题:** 设对所有实数t都有 $f(t) = 2t e^{-t^2}$。设 $A(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$。(a) 用x表示 $A'(x)$ 和 $A''(x)$。(b) 找出 $A(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上所有拐点的x坐标，并证明你的结论。(c) 计算 $A(2)$ 的精确值。

1. (a) 根据FTC第一部分，$A'(x) = f(x) = 2x e^{-x^2}$。使用乘积法则求导得到 $A''(x)$：
2. $$A''(x) = 2e^{-x^2} + 2x(-2x e^{-x^2}) = 2e^{-x^2}(1 - 2x^2)$$
3. (b) 拐点出现在 $A''(x)$ 变号处。令 $A''(x) = 0$：由于对所有实数x，$e^{-x^2}$ 都不为零，因此解方程 $1 - 2x^2 = 0$ 得到 $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。符号检查确认 $A''$ 在这两个点都变号，因此它们都是拐点。
4. (c) 根据FTC第二部分，$A(2) = F(2) - F(0)$，其中 $F(x)$ 是 $2t e^{-t^2}$ 的原函数。使用u换元法得到 $F(x) = -e^{-x^2}$。计算得：
5. $$A(2) = (-e^{-4}) - (-e^{0}) = 1 - e^{-4} = 1 - \frac{1}{e^4}$$

**例题:** 某水库在12小时内，水量体积的变化率为 $r(t) = 100 \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$，单位为立方米每小时，其中t是从 $t = 0$ 开始计算的小时数。在 $t = 0$ 时，水库中的水量为2000立方米。将体积V(t)写为累积函数，然后计算t = 6小时时水库中的水量，并解释你的结果。

1. t时刻的体积等于初始体积加上从0到t变化率的净累积，因此：
2. $$V(t) = 2000 + \int_0^t 100 \cos\left(\frac{\pi s}{6}\right) ds$$
3. 求 $V(6)$，应用FTC第二部分。$100 \cos\left(\frac{\pi s}{6}\right)$ 的原函数是 $\frac{600}{\pi} \sin\left(\frac{\pi s}{6}\right)$，在0到6上计算：
4. $$\frac{600}{\pi} \sin(\pi) - \frac{600}{\pi} \sin(0) = 0$$
5. 所以 $V(6) = 2000 + 0 = 2000$ 立方米。结合语境，前6小时的净体积变化为零，因此体积和初始值相等。

> **考试提示:** 当根据f的图像分析累积函数时，记住 $A' = f$，$A'' = f'$。不要将A的凹凸性和f的符号混淆——凹凸性取决于f图像的斜率。

## 常见错误

- **错误做法:** 求 $\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt$ 时，将结果写为 $f'(u(x)) u'(x)$，而非正确的 $f(u(x)) u'(x)$。
  - 原因: 学生混淆了对f求导和仅在积分限处计算f的值，将FTC第一部分和常规链式法则搞混。
  - 正确做法: 永远记住：FTC第一部分给出积分的导数等于f在积分限处的取值，而不是f的导数。开始计算前先明确写下公式。
- **错误做法:** 当下限是变量时，忘记负号：将 $\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^b f(t) dt$ 写为 $f(v(x)) v'(x)$，而非正确的 $-f(v(x)) v'(x)$。
  - 原因: 学生在应用链式法则前没有重写积分来翻转积分限，记错了推广后的公式。
  - 正确做法: 当下限是变量时，求导前务必翻转积分限并添加负号。
- **错误做法:** 用FTC第二部分计算 $\int_a^b f(x) dx$ 时，保留了积分常数 $C$，得到 $F(b) - F(a) + C$，而非正确的 $F(b) - F(a)$。
  - 原因: 学生习惯了在不定积分中添加C，因此习惯性地带入了定积分计算。
  - 正确做法: 要知道C在定积分计算中会抵消，因此计算 $F(b) - F(a)$ 时可以完全省略C。
- **错误做法:** 求累积函数 $A(x)$ 凹向上的区间时，使用了被积函数 $f(x)$ 的符号，而非 $f'(x)$ 的符号。
  - 原因: 学生忘记了关系 $A' = f$，$A'' = f'$，因此混淆了一阶和二阶导数的信息。
  - 正确做法: 明确标注导数：$A'(x) = f(x)$，因此 $A''(x) = \frac{d}{dx} A'(x) = f'(x)$。使用该标注来检查凹凸性对应的符号。
- **错误做法:** 将 $\frac{d}{dx} \int_0^{2x} \sin(t) dt$ 计算为 $\sin(2x)$，而非正确的 $2 \sin(2x)$。
  - 原因: 学生忘记了对上限求导的链式法则步骤，仅在积分限处计算了f，省略了积分限的导数。
  - 正确做法: 在积分限处计算完f后，一定要计算积分限函数的导数并相乘，没有例外。
- **错误做法:** 当被积函数在积分区间内存在间断点时，仍然直接应用FTC第二部分计算 $F(b) - F(a)$。
  - 原因: 学生误以为FTC第二部分对所有积分都成立，但该定理要求f在积分限之间的整个闭区间上连续。
  - 正确做法: 如果f在 $[a,b]$ 内存在间断点，将积分拆分为多个f连续的子区间，对每个子区间应用FTC第二部分，再将结果相加。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 累积函数 | $A(x) = \int_a^x f(t) dt$ | $f$ 在包含a和x的区间上连续；表示从a到x的净累积变化/面积 |
| FTC第一部分（常数下限） | 如果 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $A'(x) = f(x)$ | 要求f连续；适用于任意常数下限 $a$ |
| FTC第一部分（一般变限） | $\frac{d}{dx} \int_{l(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x))u'(x) - f(l(x))l'(x)$ | 负号来自翻转下限积分；一定要乘以每个积分限的导数 |
| FTC第二部分（定积分计算） | 如果 $F'(x) = f(x)$ 且f在 $[a,b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ | 积分常数C会抵消，因此定积分计算中省略C |
| 累积函数的一阶导数 | $A'(x) = f(x)$ 对 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$ | 用于求 $A(x)$ 的单调区间和局部极值 |
| 累积函数的二阶导数 | $A''(x) = f'(x)$ 对 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$ | 用于求 $A(x)$ 的凹凸区间和拐点；不要与 $f(x)$ 混淆 |
| 常限积分的导数 | $\frac{d}{dx} \int_a^b f(t) dt = 0$ | 选择题常见陷阱：常限积分的结果是常数，因此导数为零 |

## 下一步

该内容是AP微积分BC中所有后续积分学习的基础。学完本内容后，你将马上学习积分技巧（u换元法、分部积分法、部分分式分解），这些技巧完全依赖微积分基本定理来计算定积分和不定积分。你还会应用累积函数来计算区间内物理量的净变化、曲线的弧长和旋转体体积，所有这些内容都依赖FTC确立的微分和积分之间的互逆关系。掌握FTC是正确解决大多数涉及这些进阶内容的FRQ题的必要条件，而这些内容占AP BC考试的很大比例。

- [分部积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-by-parts/)
- [累积函数的性质分析](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-interpreting-behavior-of-accumulation-functions/)
- [定积分的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-properties-of-definite-integrals/)

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