# 微积分基本定理与定积分

> AP 微积分 BC · 积分与变化的累积
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-ftc-and-definite-integrals/

本子主题涵盖微积分基本定理（FTC）的两个部分、累积函数的导数、定积分的计算以及净变化定理，占AP微积分BC考试分值的7-10%。

**先修:** 定积分的黎曼和极限; 基本求导与原函数法则; 判断函数的连续性

## 学习目标

- 运用微积分基本定理第一部分对可变限累积函数求导
- 运用微积分基本定理第二部分计算定积分
- 将净变化定理应用于实际情境的变化率问题
- 识别应用微积分基本定理法则时的常见错误

## 微积分基本定理第一部分：累积函数的导数

微积分基本定理第一部分建立了求导与曲线下面积累积之间的联系，它指出：累积函数（由带可变限的积分定义的函数）的导数恰好等于原被积函数。

**微积分基本定理第一部分（累积函数）** — 若$f$在区间$[a, b]$上连续，则对所有$x ∈ [a,b]$，$F$在$(a,b)$上可导，且$F'(x) = f(x)$。对于可变上限$u(x)$，结合链式法则可得：$\frac{d}{dx} \left( \int_a^{u(x)} f(t) dt \right) = f(u(x)) \cdot u'(x)$。对于可变下限，先交换积分限得到负号，再应用上述法则。

*记法:* F(x) = \int_a^x f(t) dt

**例题:** 求$\frac{d}{dx} \left( \int_{2}^{x^2} \cos\left(\sqrt{t}\right) dt \right)$

1. 首先，确认对所有非负$x$，被积函数在2和$x^2$之间的区间上连续，因此微积分基本定理第一部分适用。本题下限为常数，上限是可导函数$u(x) = x^2$。
2. 确定被积函数$f(t)$：
3. $$f(t) = \cos\left(\sqrt{t}\right)$$
4. 应用微积分基本定理第一部分的链式法则形式：将$u(x)$代入$f(t)$，再乘以$u(x)$的导数：
5. $$f(u(x)) \cdot u'(x) = \cos\left(\sqrt{x^2}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)$$
6. 化简：$\sqrt{x^2} = |x|$，又因为余弦是偶函数，因此$\cos(|x|) = \cos(x)$，而$x^2$的导数是$2x$。
7. $$2x \cos(x)$$

> **考试提示:** 如果积分上下限都是可变的，可在上下限之间任意取一个常数拆分积分，再对每一部分应用微积分基本定理第一部分。这种情况不要仅依赖死记硬背公式。

## 微积分基本定理第二部分：定积分的计算

微积分基本定理第二部分允许我们通过原函数计算定积分，无需再进行繁琐的黎曼和极限计算，它是AP微积分中计算定积分的核心方法。

**微积分基本定理第二部分（定积分计算）** — 若$f$在$[a, b]$上连续，$F$是$f$的任意一个原函数（$F'(x) = f(x)$），则有：$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。不定积分的积分常数会在减法中抵消，因此计算定积分时可以省略积分常数。

**例题:** 计算$\int_0^{\pi/4} \left( \sec^2 x - 2x \right) dx$

1. 确认被积函数$f(x) = \sec^2 x - 2x$在$[0, \pi/4]$上连续，因此微积分基本定理第二部分适用。
2. 求$f(x)$的原函数，省略积分常数：
3. $$F(x) = \tan x - x^2$$
4. 代入上限$x = \pi/4$计算$F$的值：
5. $$F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = 1 - \frac{\pi^2}{16}$$
6. 代入下限$x = 0$计算$F$的值：
7. $$F(0) = \tan(0) - 0^2 = 0$$
8. 用上限值减去下限值得到最终结果：
9. $$\left(1 - \frac{\pi^2}{16}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi^2}{16}$$

> **考试提示:** 一定要先计算上限代入的值，再减去下限代入的值。颠倒顺序是定积分问题中符号错误的最常见来源。

## 净变化定理

净变化定理是微积分基本定理第二部分的直接应用解释，在AP微积分涉及变化率的自由问答题中极为常见。

**净变化定理** — 若$Q(t)$是可微量，其变化率为$r(t) = Q'(t)$，则$Q$在区间$[a, b]$上的总净变化为：$\text{Net Change} = Q(b) - Q(a) = \int_a^b r(t) dt$。净变化同时考虑了正变化和负变化；而总变化（例如总路程）需要对变化率的绝对值积分。

**例题:** 一个质点沿x轴运动，在$0 ≤ t ≤ 4$时间段内速度为$v(t) = t^2 - 4t + 3$米每秒，求质点在区间$[0, 4]$上的净位移。

1. 速度是位置的变化率，因此根据净变化定理，净位移等于速度在该区间上的积分。
2. 求$v(t)$的原函数：
3. $$F(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t$$
4. 应用微积分基本定理第二部分：净位移 = $F(4) - F(0)$
5. 计算得：$F(4) = \frac{64}{3} - 32 + 12 = \frac{4}{3}$，$F(0) = 0$。
6. 最终结果：净位移为$\frac{4}{3}$米。

> **考试提示:** 对于实际情境中的净变化问题，最终答案一定要带上单位。AP阅卷官通常会因单位缺失或错误扣1分。

## 额外AP风格例题

**例题:** 若$h(x) = \int_{1}^{e^x} \ln(t^2 + 1) dt$，求$h'(2)$的值？<br>选项: (A) $e^2 \ln(e^4 + 1)$, (B) $\ln(e^4 + 1)$, (C) $e^2 \ln(2e^2 + 1)$, (D) $e^2 \ln(e^{2x} + 1)$

1. 本题考察结合链式法则的微积分基本定理第一部分。对于$h(x) = \int_a^{u(x)} f(t) dt$，有$h'(x) = f(u(x)) u'(x)$。本题中，$u(x) = e^x$，因此$u'(x) = e^x$，被积函数$f(t) = \ln(t^2 + 1)$。
2. 将$u(x)$代入$f$：$f(e^x) = \ln((e^x)^2 + 1) = \ln(e^{2x} + 1)$
3. 乘以$u'(x)$得：$h'(x) = e^x \ln(e^{2x} + 1)$
4. 代入$x=2$计算：$h'(2) = e^2 \ln(e^4 + 1)$，对应选项A。正确答案: A

**例题:** 设$f(x) = 2x + \sin x$，$g(y) = \int_0^y f(x) dx$，求 (a) $g(\pi)$, (b) $g'\left(\frac{\pi}{2}\right)$, (c) $f(x)$在$[0, \pi]$上的平均值。

1. (a) 求$f(x)$的一个原函数：
2. $$F(x) = x^2 - \cos x$$
3. 应用微积分基本定理第二部分：
4. $$g(\pi) = F(\pi) - F(0) = (\pi^2 - \cos \pi) - (0 - \cos 0) = \pi^2 + 2$$
5. (b) 根据微积分基本定理第一部分，$g'(y) = f(y)$，代入$y = \frac{\pi}{2}$：
6. $$g'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi + 1$$
7. (c) 平均值公式为$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$，使用(a)问的结果：
8. $$\text{Average value} = \frac{1}{\pi} (\pi^2 + 2) = \pi + \frac{2}{\pi}$$

**例题:** 一家面包店开展4小时的早市促销，饼干的销售速率为$r(t) = -t^3 + 5t^2 + 10t$块/小时（$0 ≤ t ≤ 4$），求整个促销活动总共卖出多少块饼干？结果保留整数。

1. 卖出饼干的总数就是总饼干数的净变化，因此根据净变化定理，我们对销售速率从$t=0$到$t=4$积分。
2. 求$r(t)$的原函数：
3. $$R(t) = -\frac{t^4}{4} + \frac{5t^3}{3} + 5t^2$$
4. 应用微积分基本定理第二部分：
5. $$R(4) - R(0) = -64 + \frac{320}{3} + 80 = \frac{368}{3} ≈ 122.67$$
6. 四舍五入取整：整个4小时促销活动大约卖出123块饼干。

## 常见错误

- **错误做法:** 对$\int_{g(x)}^b f(t) dt$求导时，直接写出导数为$f(g(x)) \cdot g'(x)$，未添加负号。
  - 原因: 混淆了可变上限与可变下限，忘记交换积分限会改变积分的符号。
  - 正确做法: 应用微积分基本定理第一部分前，一定要先改写为$\int_{g(x)}^b f(t) dt = -\int_b^{g(x)} f(t) dt$，计算过程中保留负号。
- **错误做法:** 计算$\int_a^b f(x) dx$时，计算为$F(a) - F(b)$而非$F(b) - F(a)$。
  - 原因: 未仔细查看上下限就急于代入数值，混淆了微积分基本定理第二部分的表述。
  - 正确做法: 代入任何数值前，先在草稿纸上明确写下"F(上限)减F(下限)"。
- **错误做法:** 对$\int_{0}^{x} t f(t) dt$求导时，将导数写为$x f(t)$，仍然保留变量$t$。
  - 原因: 混淆了积分哑变量与可变限变量，将积分变量当作常数处理。
  - 正确做法: 应用微积分基本定理第一部分后，将所有哑变量$t$替换为限变量，因此正确导数是$x f(x)$。
- **错误做法:** 在定积分的最终数值答案后添加积分常数(+C)。
  - 原因: 混淆了定积分（结果为单个数值）与不定积分（原函数族）。
  - 正确做法: 应用微积分基本定理第二部分时省略积分常数，因为它会在减法步骤中抵消。
- **错误做法:** 忽略$x=0$处的不连续性，直接应用微积分基本定理计算得$\int_{-1}^1 \frac{1}{x} dx = \ln|1| - \ln|-1| = 0$。
  - 原因: 忘记微积分基本定理仅当被积函数在两个限之间的整个区间上连续时才可应用。
  - 正确做法: 应用微积分基本定理前，先检查区间内是否存在不连续点、垂直渐近线或其他非连续点；如果存在，该积分是反常积分，需要用其他方法计算。
- **错误做法:** 将速度对时间的积分解释为总路程而非净位移。
  - 原因: 混淆了净变化（变化率的积分）与总变化（变化率绝对值的积分）。
  - 正确做法: 一定要仔细读题：如果题目问净变化或位移，直接对变化率积分；如果问总变化或总路程，对变化率的绝对值积分。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 微积分基本定理第一部分（下限为常数） | \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x) | f在$[a,x]$上连续时适用；t为哑变量 |
| 微积分基本定理第一部分（上限可变） | \frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) u'(x) | 一定要乘以上限的导数 |
| 微积分基本定理第一部分（下限可变） | \frac{d}{dx} \int_{l(x)}^b f(t) dt = -f(l(x)) l'(x) | 交换上下限得到负号 |
| 微积分基本定理第二部分（计算定积分） | \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x) | 要求f在整个$[a,b]$上连续；不需要积分常数 |
| 净变化定理 | \int_a^b Q'(t) dt = Q(b) - Q(a) | 变化率的积分等于Q的净变化 |
| 上下限均可变 | \frac{d}{dx} \int_{l(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x))u'(x) - f(l(x))l'(x) | 可在任意常数处拆分积分推导得到该法则 |

## 下一步

掌握微积分基本定理和定积分是学习AP微积分BC所有后续积分内容不可或缺的基础。学完本主题后，你接下来会学习换元积分法，换元后完全依赖微积分基本定理计算最终结果。如果不能扎实掌握微积分基本定理的法则和规范，你在学习分部积分、部分分式、反常积分等更复杂内容时会非常吃力，这些都是BC考试的重点考察内容。微积分基本定理也是本课程后续微分方程、面积、体积中用到的累积函数的核心基础。

- [分部积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-by-parts/)
- [反常积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-improper-integrals/)
- [原函数与不定积分（基本法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-antiderivatives-and-indefinite-integrals/)

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