原函数与不定积分（基本法则）

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 积分与变化的累积· 14 分钟阅读

1. 核心定义与符号★☆☆☆☆⏱ 3 min

函数 $f (x)$ 的原函数是可导函数 $F (x)$ ，满足在 $f$ 的定义域内所有 $x$ 都有 $F^{'} (x) = f (x)$ 。 $f (x)$ 的不定积分是 $f$ 所有原函数的一般形式，这些原函数构成一族仅相差竖直平移的函数。

📘 定义

不定积分

$\int f (x) d x$

$f (x)$ 的一般原函数，包含任意积分常数 $C$ 以表示 $f$ 所有可能的原函数。

例:

$\int 2 x d x = x^{2} + C$ ，其中 $x^{2}$ 的所有竖直平移都是 $2 x$ 的原函数。

本内容是AP 微积分 BC 所有积分内容的基础，占考试总分的1-3%。它是所有更复杂问题（包括微分方程、面积/体积计算、变化累积）的基石。

2. 核心代数原函数法则★★☆☆☆⏱ 4 min

所有基本原函数法则都由对应的求导法则逆推得到。常数倍法则和和差法则允许我们将常数提出积分号，逐项积分：

\int k f(x) dx = k \int f(x) dx

\int \left(f(x) \pm g(x)\right) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

积分的幂法则是求导幂法则的逆运算，但对 $n = - 1$ 有一个关键例外：

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

当 $n = - 1$ 时，被积函数是 $\frac{1}{x}$ ，幂法则会导致除以零。这种情况下原函数为 $ln ∣ x ∣ + C$ ，因为对所有非零 $x$ ， $ln ∣ x ∣$ 的导数都是 $\frac{1}{x}$ 。

📐 例题

求一般不定积分 $\int (4 x^{3} - \frac{2}{x ^{2}} + 5) d x$ 。

1
首先，将所有项改写为指数形式，符合幂法则要求：
2
$\frac{2}{x^2} = 2x^{-2}, \quad 5 = 5x^0$
3
应用和差法则与常数倍法则拆分积分：
4
$\int 4x^3 dx - \int 2x^{-2} dx + \int 5x^0 dx = 4\int x^3 dx - 2\int x^{-2} dx + 5\int x^0 dx$
5
对每一项应用幂法则：第一项： $4 \cdot \frac{x ^{3 + 1}}{3 + 1} = 4 \cdot \frac{x ^{4}}{4} = x^{4}$ 。第二项： $- 2 \cdot \frac{x ^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} = - 2 \cdot \frac{x ^{- 1}}{- 1} = 2 x^{- 1} = \frac{2}{x}$ 。第三项： $5 \cdot \frac{x ^{0 + 1}}{0 + 1} = 5 x$ 。
6
加上任意积分常数 $C$ ，得到最终结果：
7
$\int \left(4x^3 - \frac{2}{x^2} + 5\right) dx = x^4 + \frac{2}{x} + 5x + C$

Exam tip:

应用幂法则前，一定要将根式和有理项改写为 $x^{n}$ 的形式，避免负指数和分数指数出错。

3. 指数函数与对数函数的原函数法则★★☆☆☆⏱ 3 min

将指数函数和对数函数的求导法则逆推，得到应用微积分问题中经常使用的核心法则。最简单的是自然指数函数的法则，它是自身的原函数：

\int e^x dx = e^x + C

对于底数为常数 $a \neq = e$ 的一般指数函数，我们对求导法则 $\frac{d}{d x} [a^{x}] = a^{x} ln a$ 逆推，除以 $ln a$ 即可：

\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a>0, a \neq 1

对于自然对数本身，原函数可由求导的乘积法则推导得到：

\int \ln x dx = x \ln x - x + C, \quad x>0

📐 例题

计算不定积分 $\int (3 e^{x} + 2^{x} - \frac{4}{x}) d x$ 。

1
用和差法则拆分积分：
2
$3\int e^x dx + \int 2^x dx - 4 \int \frac{1}{x} dx$
3
对每一项应用对应法则： $\int e^{x} d x = e^{x}$ ， $\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{l n 2}$ ， $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣$ 。
4
回代、乘以常数、加上 $C$ 得到最终结果：
5
$\int \left(3e^x + 2^x - \frac{4}{x}\right) dx = 3e^x + \frac{2^x}{\ln 2} - 4 \ln|x| + C$

Exam tip:

积分前一定要确认函数是幂函数还是指数函数；如果变量在指数位置，使用指数法则，而非幂法则。

4. 三角函数的原函数法则★★★☆☆⏱ 4 min

所有基本三角函数原函数法则都直接由求导法则逆推得到，AP微积分公式表不提供这些内容，因此需要记忆：

$\int cos x d x = sin x + C$
$\int sin x d x = - cos x + C$
$\int sec^{2} x d x = tan x + C$
$\int csc^{2} x d x = - cot x + C$
$\int sec x tan x d x = sec x + C$
$\int csc x cot x d x = - csc x + C$

📐 例题

求 $f (x) = 2 sin x - sec^{2} x + 3 sec x tan x$ 的一般原函数。

1
用和法则拆分为多个积分：
2
$2 \int \sin x dx - \int \sec^2 x dx + 3 \int \sec x \tan x dx$
3
对每一项应用三角函数原函数法则： $2 \int sin x d x = 2 (- cos x) = - 2 cos x$ ， $- \int sec^{2} x d x = - tan x$ ， $3 \int sec x tan x d x = 3 sec x$ 。
4
合并项，加上任意常数 $C$ 得到最终结果：
5
$\int (2 \sin x - \sec^2 x + 3 \sec x \tan x) dx = -2 \cos x - \tan x + 3 \sec x + C$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪一个是 $f (x) = 2 x - \frac{3}{x} + 5 cos x$ 的一般原函数？
- $\frac{4}{3} x^{3/2} - 6 x + 5 sin x + C$
- $\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{3}{2} x + 5 sin x + C$
- $2 x^{3/2} - 3 x^{1/2} + 5 sin x + C$
- $\frac{4}{3} x^{3/2} - 6 x - 5 sin x + C$

Exam tip:

继续解题前，对最终得到的原函数求导，就能发现符号错误。

5. 常见陷阱

错误做法:

$\int x^{- 1} d x = \frac{x ^{0}}{0} + C$ ，结果无定义，或错误将其写为 $1 + C$ 。

原因:

学生直接套用幂法则，忘记了 $n \neq = - 1$ 这个例外。

正确做法:

应用幂法则前一定要检查 $n$ 是否等于 $- 1$ ，这种情况使用 $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ 。

错误做法:

$\int 3^{x} d x = \frac{3 ^{x + 1}}{x + 1} + C$ ，将底数3当作 $x$ 的幂，误用了幂法则。

原因:

混淆了指数函数（指数为变量，底数为常数）和幂函数（指数为常数，底数为变量）。

正确做法:

积分前明确区分函数是幂函数（ $x^{n}$ ）还是指数函数（ $a^{x}$ ），对 $a^{x}$ 使用指数原函数法则 $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{l n a} + C$ 。

错误做法:

求一般原函数时省略 $+ C$ ，例如写为 $\int 2 cos x d x = 2 sin x$ 。

原因:

学生忘记不定积分需要任意常数，尤其是将结果带入题目后续部分时更容易遗漏。

正确做法:

积分完成后，立刻给每个不定积分结果加上 $+ C$ ，再进行题目下一步。

错误做法:

$\int sin x d x = cos x + C$ ，遗漏了负号。

原因:

学生只记住了求导法则，积分时忘记正确反转符号。

正确做法:

积分任意三角函数后，对结果求导确认它和原被积函数一致；例如 $\frac{d}{d x} [cos x] = - sin x \neq = sin x$ ，因此你就知道符号错了。

错误做法:

$\int \frac{1}{x ^{3}} d x = \frac{x ^{- 2}}{- 2} + C$ ，随后错误改写为 $- 2 x^{- 2} + C = - \frac{2}{x ^{2}} + C$ 。

原因:

学生应用幂法则后化简分数时出现代数错误。

正确做法:

计算出 $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ 后，再次检查分母的计算：对于 $n = - 3$ ， $n + 1 = - 2$ ，因此 $\frac{x ^{- 2}}{- 2} = - \frac{1}{2 x ^{2}}$ ，而非 $- \frac{2}{x ^{2}}$ 。

错误做法:

$\int \frac{1}{x} d x = ln x + C$ ，省略了 $x$ 周围的绝对值符号。

原因:

学生在例题中只处理正的 $x$ ，忘记 $\frac{1}{x}$ 在负 $x$ 处有定义，而 $ln x$ 没有。

正确做法:

积分 $\frac{1}{x}$ 时，一定要在对数中写上绝对值；AP考试中要求这个才能得满分。

6. 速查表

类别	公式	备注
幂法则	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	仅适用于 $n \neq = - 1$
倒数法则	$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$	必须加绝对值
常数倍法则	$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$	任意常数都可以提出
和差法则	$\int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$	逐项积分
自然指数	$\int e^{x} d x = e^{x} + C$	对所有实数 $x$ 成立
一般指数	$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{l n a} + C$	适用于 $a > 0, a \neq = 1$
自然对数	$\int ln x d x = x ln x - x + C$	适用于 $x > 0$
正弦	$\int sin x d x = - cos x + C$	记住负号
余弦	$\int cos x d x = sin x + C$	此处没有负号
正割平方	$\int sec^{2} x d x = tan x + C$	所有积分问题中都常见

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
基础不定积分选择题
2022 · FRQ
原函数初值问题

下一步

掌握这些基本原函数法则是你接下来在AP 微积分 BC 中学习所有积分技巧的必要基础。所有高级积分方法（包括换元法、分部积分、部分分式）最终都依赖于将复杂被积函数改写为符合这些基本法则的形式。如果不能熟练回忆这些法则，你就无法在应用高级技巧后识别化简后的形式，让所有后续积分工作难得多。除了积分技巧，这些法则还是求解可分离微分方程、计算累积函数、面积、体积、弧长所必需的——所有这些内容在AP考试中都占很大比重。