# 原函数与不定积分（基本法则）

> AP 微积分 BC · CED — 积分与变化的累积
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-antiderivatives-and-indefinite-integrals/

本指南涵盖原函数与不定积分的核心定义、基本初等函数的积分法则、常见考试陷阱，以及符合AP 微积分 BC 要求的例题。

**先修:** 所有初等函数的求导法则; 多项式与有理函数的代数变形; 导数的基本函数符号

## 学习目标

- 用正确符号定义原函数和不定积分
- 对代数函数、指数函数、对数函数和三角函数应用基本原函数法则
- 识别并规避AP考试常考的常见积分错误
- 使用基本原函数求解初值问题和应用运动问题

## 核心定义与符号

函数 $f(x)$ 的原函数是可导函数 $F(x)$，满足在 $f$ 的定义域内所有 $x$ 都有 $F'(x) = f(x)$。$f(x)$ 的不定积分是 $f$ 所有原函数的一般形式，这些原函数构成一族仅相差竖直平移的函数。

**不定积分** — $f(x)$ 的一般原函数，包含任意积分常数 $C$ 以表示 $f$ 所有可能的原函数。

*记法:* $\int f(x) dx$

*例:* $\int 2x dx = x^2 + C$，其中 $x^2$ 的所有竖直平移都是 $2x$ 的原函数。

本内容是AP 微积分 BC 所有积分内容的基础，占考试总分的1-3%。它是所有更复杂问题（包括微分方程、面积/体积计算、变化累积）的基石。

> **info**
>
> 定积分求值得到代表净变化的数值，与之不同，不定积分描述的是整个函数族。

## 核心代数原函数法则

所有基本原函数法则都由对应的求导法则逆推得到。常数倍法则和和差法则允许我们将常数提出积分号，逐项积分：

$$\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$$

$$\int \left(f(x) \pm g(x)\right) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$$

积分的幂法则是求导幂法则的逆运算，但对 $n=-1$ 有一个关键例外：

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$$

当 $n=-1$ 时，被积函数是 $\frac{1}{x}$，幂法则会导致除以零。这种情况下原函数为 $\ln|x| + C$，因为对所有非零 $x$，$\ln|x|$ 的导数都是 $\frac{1}{x}$。

**例题:** 求一般不定积分 $\int \left(4x^3 - \frac{2}{x^2} + 5\right) dx$。

1. 首先，将所有项改写为指数形式，符合幂法则要求：
2. $$\frac{2}{x^2} = 2x^{-2}, \quad 5 = 5x^0$$
3. 应用和差法则与常数倍法则拆分积分：
4. $$\int 4x^3 dx - \int 2x^{-2} dx + \int 5x^0 dx = 4\int x^3 dx - 2\int x^{-2} dx + 5\int x^0 dx$$
5. 对每一项应用幂法则：第一项：$4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$。第二项：$-2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 2x^{-1} = \frac{2}{x}$。第三项：$5 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} = 5x$。
6. 加上任意积分常数 $C$，得到最终结果：
7. $$\int \left(4x^3 - \frac{2}{x^2} + 5\right) dx = x^4 + \frac{2}{x} + 5x + C$$

> **考试提示:** 应用幂法则前，一定要将根式和有理项改写为 $x^n$ 的形式，避免负指数和分数指数出错。

## 指数函数与对数函数的原函数法则

将指数函数和对数函数的求导法则逆推，得到应用微积分问题中经常使用的核心法则。最简单的是自然指数函数的法则，它是自身的原函数：

$$\int e^x dx = e^x + C$$

对于底数为常数 $a \neq e$ 的一般指数函数，我们对求导法则 $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a$ 逆推，除以 $\ln a$ 即可：

$$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a>0, a \neq 1$$

对于自然对数本身，原函数可由求导的乘积法则推导得到：

$$\int \ln x dx = x \ln x - x + C, \quad x>0$$

> **warning**
>
> 常见错误是混淆幂函数（$x^n$，底数为变量，指数为常数）和指数函数（$a^x$，底数为常数，指数为变量），导致误用错误法则。

**例题:** 计算不定积分 $\int \left(3e^x + 2^x - \frac{4}{x}\right) dx$。

1. 用和差法则拆分积分：
2. $$3\int e^x dx + \int 2^x dx - 4 \int \frac{1}{x} dx$$
3. 对每一项应用对应法则：$\int e^x dx = e^x$，$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2}$，$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$。
4. 回代、乘以常数、加上 $C$ 得到最终结果：
5. $$\int \left(3e^x + 2^x - \frac{4}{x}\right) dx = 3e^x + \frac{2^x}{\ln 2} - 4 \ln|x| + C$$

> **考试提示:** 积分前一定要确认函数是幂函数还是指数函数；如果变量在指数位置，使用指数法则，而非幂法则。

## 三角函数的原函数法则

所有基本三角函数原函数法则都直接由求导法则逆推得到，AP微积分公式表不提供这些内容，因此需要记忆：

- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
- $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
- $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
- $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

> **tip**
>
> 符号错误是这里最常见的错误来源。花10秒对你的最终结果求导验证，就能确认它是否和原被积函数一致。

**例题:** 求 $f(x) = 2 \sin x - \sec^2 x + 3 \sec x \tan x$ 的一般原函数。

1. 用和法则拆分为多个积分：
2. $$2 \int \sin x dx - \int \sec^2 x dx + 3 \int \sec x \tan x dx$$
3. 对每一项应用三角函数原函数法则：$2 \int \sin x dx = 2(-\cos x) = -2 \cos x$，$- \int \sec^2 x dx = - \tan x$，$3 \int \sec x \tan x dx = 3 \sec x$。
4. 合并项，加上任意常数 $C$ 得到最终结果：
5. $$\int (2 \sin x - \sec^2 x + 3 \sec x \tan x) dx = -2 \cos x - \tan x + 3 \sec x + C$$

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 下列哪一个是 $f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} + 5\cos x$ 的一般原函数？

   - $\frac{4}{3}x^{3/2} - 6\sqrt{x} + 5 \sin x + C$
   - $\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{3}{2}\sqrt{x} + 5 \sin x + C$
   - $2x^{3/2} - 3x^{1/2} + 5 \sin x + C$
   - $\frac{4}{3}x^{3/2} - 6\sqrt{x} - 5 \sin x + C$

   *答案:* $\frac{4}{3}x^{3/2} - 6\sqrt{x} + 5 \sin x + C$

   *解析:* 回答正确！将 $2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$、$-\frac{3}{\sqrt{x}} = -3x^{-1/2}$ 改写后，应用幂法则和三角函数法则即可得到正确结果。

> **考试提示:** 继续解题前，对最终得到的原函数求导，就能发现符号错误。

## 常见错误

- **错误做法:** $\int x^{-1} dx = \frac{x^{0}}{0} + C$，结果无定义，或错误将其写为 $1 + C$。
  - 原因: 学生直接套用幂法则，忘记了 $n \neq -1$ 这个例外。
  - 正确做法: 应用幂法则前一定要检查 $n$ 是否等于 $-1$，这种情况使用 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$。
- **错误做法:** $\int 3^x dx = \frac{3^{x+1}}{x+1} + C$，将底数3当作$x$的幂，误用了幂法则。
  - 原因: 混淆了指数函数（指数为变量，底数为常数）和幂函数（指数为常数，底数为变量）。
  - 正确做法: 积分前明确区分函数是幂函数（$x^n$）还是指数函数（$a^x$），对 $a^x$ 使用指数原函数法则 $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$。
- **错误做法:** 求一般原函数时省略 $+C$，例如写为 $\int 2 \cos x dx = 2 \sin x$。
  - 原因: 学生忘记不定积分需要任意常数，尤其是将结果带入题目后续部分时更容易遗漏。
  - 正确做法: 积分完成后，立刻给每个不定积分结果加上 $+C$，再进行题目下一步。
- **错误做法:** $\int \sin x dx = \cos x + C$，遗漏了负号。
  - 原因: 学生只记住了求导法则，积分时忘记正确反转符号。
  - 正确做法: 积分任意三角函数后，对结果求导确认它和原被积函数一致；例如 $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x \neq \sin x$，因此你就知道符号错了。
- **错误做法:** $\int \frac{1}{x^3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C$，随后错误改写为 $-2x^{-2} + C = -\frac{2}{x^2} + C$。
  - 原因: 学生应用幂法则后化简分数时出现代数错误。
  - 正确做法: 计算出 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 后，再次检查分母的计算：对于 $n=-3$，$n+1=-2$，因此 $\frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$，而非 $-\frac{2}{x^2}$。
- **错误做法:** $\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$，省略了 $x$ 周围的绝对值符号。
  - 原因: 学生在例题中只处理正的 $x$，忘记 $\frac{1}{x}$ 在负 $x$ 处有定义，而 $\ln x$ 没有。
  - 正确做法: 积分 $\frac{1}{x}$ 时，一定要在对数中写上绝对值；AP考试中要求这个才能得满分。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 幂法则 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | 仅适用于 $n \neq -1$ |
| 倒数法则 | $\int \frac{1}{x} dx = \ln\|x\| + C$ | 必须加绝对值 |
| 常数倍法则 | $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ | 任意常数都可以提出 |
| 和差法则 | $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ | 逐项积分 |
| 自然指数 | $\int e^x dx = e^x + C$ | 对所有实数 $x$ 成立 |
| 一般指数 | $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ | 适用于 $a>0, a \neq 1$ |
| 自然对数 | $\int \ln x dx = x \ln x - x + C$ | 适用于 $x>0$ |
| 正弦 | $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | 记住负号 |
| 余弦 | $\int \cos x dx = \sin x + C$ | 此处没有负号 |
| 正割平方 | $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ | 所有积分问题中都常见 |

## 下一步

掌握这些基本原函数法则是你接下来在AP 微积分 BC 中学习所有积分技巧的必要基础。所有高级积分方法（包括换元法、分部积分、部分分式）最终都依赖于将复杂被积函数改写为符合这些基本法则的形式。如果不能熟练回忆这些法则，你就无法在应用高级技巧后识别化简后的形式，让所有后续积分工作难得多。除了积分技巧，这些法则还是求解可分离微分方程、计算累积函数、面积、体积、弧长所必需的——所有这些内容在AP考试中都占很大比重。

- [分部积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-by-parts/)
- [换元积分法（u换元法）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-by-substitution/)
- [长除法与配方法积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-integration-with-long-division-and/)

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