求解最优化问题

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 微分的分析应用· 14 分钟阅读

1. 什么是最优化？★★☆☆☆⏱ 2 min

求解最优化问题利用微分，在情境或抽象问题的固定约束下，找到目标量的最大或最小可能值。该知识点占AP微积分BC考试总分的2-4%，会同时出现在选择题和自由问答题部分。

📘 定义

最优化

在情境定义的定义域上，寻找目标函数的绝对（全局）最大值或最小值的过程。

例:

在周长固定时最大化矩形面积，或最小化商品的生产成本。

AP考试题目会使用诸如“求最大可能值”“确定最小尺寸”“最大化利润”或“最小化成本”这类表述来表示最优化问题，所有这类题目都遵循相同的核心解题流程。

2. 通用四步最优化框架★★☆☆☆⏱ 4 min

所有最优化问题都有两个核心组成部分：目标函数（你想要最大化或最小化的量）和约束条件（变量之间的固定关系，用于将问题简化为单变量问题）。这个四步框架符合AP考试的评分标准。

标记所有未知量，明确写出你的目标量，将约束条件写为变量之间的等式。
利用约束条件消去多余变量，只保留一个自变量，得到单变量目标函数 $f (x)$ 。关键： 根据问题情境定义 $x$ 的定义域，而不是只使用 $f (x)$ 的数学定义域。大多数问题的定义域是闭区间 $[a, b]$ ，此时极值定理可以保证绝对极值存在。
计算 $f^{'} (x)$ ，令其等于零，求解 $x$ ，从而得到 $(a, b)$ 上 $f (x)$ 的所有临界点。记住，临界点也包括 $f^{'} (x)$ 无定义的点。
在每个内部临界点和两个端点处计算 $f (x)$ 的值；最大的值就是绝对最大值，最小的值就是绝对最小值。始终要结合原问题情境作答。

📐 例题

一个矩形周长为120cm，求能使矩形面积最大的边长。

1
定义变量和约束条件：设 $x$ = 一条边的长度， $y$ = 邻边长度， $A$ = 面积（需要最大化的目标）。约束条件： $2 x + 2 y = 120$ 。
2
消去 $y$ ，写出带定义域的目标函数：从约束条件解出 $y$ 得 $y = 60 - x$ ，代入面积公式得：
3
$A(x) = x(60 - x) = 60x - x^2$
4
两条边长都非负，因此定义域为 $[0, 60]$ 。
5
寻找临界点：
6
$A'(x) = 60 - 2x \\ 60 - 2x = 0 \implies x = 30$
7
求值并得出结论： $A (0) = 0$ ， $A (30) = 900$ ， $A (60) = 0$ 。最大面积出现在 $x = 30$ ，因此 $y = 60 - 30 = 30$ 。最优尺寸为30 cm×30 cm（正方形）。

Exam tip:

即使最终答案错误，遵循这个明确的步骤顺序也能获得部分分数

3. 开区间上绝对极值的分类★★★☆☆⏱ 3 min

许多最优化问题的定义域是开区间（例如 $x > 0$ ，情境中没有上界），因此极值定理不能保证极值存在。如果在定义域上只找到一个临界点，你可以使用一阶或二阶导数检验来确认该局部极值也是全局（绝对）极值，这种证明方式在AP自由问答题中可获得全分。

📐 例题

求 $x > 0$ 范围内，使和 $S = x + \frac{32}{x ^{2}}$ 最小的正数 $x$ 。

1
定义目标和定义域：我们需要最小化 $S (x) = x + 32 x^{- 2}$ ，定义域为 $x \in (0, \infty)$ （开区间，无其他约束）。
2
寻找临界点：
3
$S'(x) = 1 - \frac{64}{x^3} \\ 1 - \frac{64}{x^3} = 0 \implies x^3 = 64 \implies x = 4$
4
定义域内只有x=4这一个临界点，使用二阶导数检验法分类：
5
$S''(x) = \frac{192}{x^3}$
6
对于所有 $x > 0$ ， $S^{''} (x)$ 始终为正，因此 $S^{''} (4) = 3 > 0$ ，说明 $x = 4$ 是局部最小值。
7
结论：由于开区间上只有一个临界点，因此 $x = 4$ 就是绝对最小值。

4. 情境化应用最优化★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

AP考试非常重视真实情境下的应用最优化问题，常见场景包括几何（最大化体积/最小化表面积）、经济学（最大化利润/最小化成本）和工程（最小化材料或行程成本）。对大多数学生来说，最大的挑战是将文字描述正确转化为有效的目标函数和约束条件。

📐 例题

一家小企业每周生产 $x$ 个定制背包，每周总成本（美元）为 $C (x) = 5000 + 20 x + 0.01 x^{2}$ ，收入为 $R (x) = 80 x$ 。求企业每周应生产多少个背包才能最大化周利润。

1
定义目标：周利润 $P (x)$ 是需要最大化的量，定义域 $x \geq 0$ 。
2
写出目标函数：
3
$P(x) = 80x - (5000 + 20x + 0.01x^2) = -0.01x^2 + 60x - 5000$
4
定义域为 $[0, 5915]$ ，对应利润非负的范围。
5
寻找临界点：
6
$P'(x) = -0.02x + 60 \\ -0.02x + 60 = 0 \implies x = 3000$
7
$x = 3000$ 在定义域内。分类：对于所有 $x$ ， $P^{''} (x) = - 0.02 < 0$ ，因此 $x = 3000$ 是局部最大值，也就是绝对最大值。
8
结论：最大周利润为 $P (3000) = $85000$ ，因此企业每周应生产3000个背包。

📐 例题

一个开口盒子由一张10英寸×15英寸的长方形硬纸板，每个角切去大小相等的正方形，然后折起侧边制成。求该盒子的最大可能体积。

1
写出体积函数和定义域：切去边长为 $x$ 的正方形后，底面尺寸为 $(10 - 2 x)$ 和 $(15 - 2 x)$ ，高为 $x$ 。
2
$V(x) = x(10-2x)(15-2x) = 4x^3 - 50x^2 + 150x$
3
所有边长都必须为正，因此定义域为 $[0, 5]$ 。
4
寻找临界点：
5
$V'(x) = 12x^2 - 100x + 150 = 0 \\ 6x^2 - 50x + 75 = 0$
6
用二次公式求解，定义域内只有一个临界点： $x = \frac{25 - 5 7}{6} \approx 1.96$ 。
7
计算候选点的值： $V (0) = 0$ ， $V (5) = 0$ ， $V (1.96) \approx 132$ 立方英寸。因此最大体积约为 $132 in^{3}$ 。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

以下哪个选项给出了体积固定为 $1000 cm^{3}$ 的闭口正圆柱，使其表面积最小的半径 $r$ ？（表面积 $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ ，体积 $V = π r^{2} h$ ）
- $r = 3 \frac{1000}{π}$
- $r = 3 \frac{500}{π}$
- $r = \frac{1000}{π}$
- $r = \frac{500}{π}$
显示答案
1 —
正确！利用体积约束将 $h = \frac{1000}{π r ^{2}}$ 代入 $S (r)$ ，求导后解出 $r$ 即可得到该结果。

5. 常见陷阱

错误做法:

找到临界点 $x = c$ 后就停止，当题目要求目标函数的最大值时却报告了 $x = c$ ，反之亦然。

原因:

学生找到临界点后仓促作答，忘记检查题目实际要求的是什么。

正确做法:

找到所有极值后，重读题目题干，确认你需要报告哪个量，然后明确计算出该量。

错误做法:

使用目标函数的数学定义域，而非情境要求的定义域，导致得到无效的负长度或不可能的产量。

原因:

学生通常会完全省略写定义域的步骤，导致得到有效范围外的多余临界点。

正确做法:

定义目标函数后，一定要明确写出它的定义域，根据情境给自变量设置范围。

错误做法:

定义域为闭区间时忘记检查端点值，假设极值一定出现在内部临界点。

原因:

学生习惯在临界点找极值，忘记端点也能产生绝对极值。

正确做法:

对于任何闭区间定义域，在选出绝对最大值/最小值前，一定要在两个端点和所有内部临界点处计算目标函数的值。

错误做法:

在只有一个临界点的开区间定义域上，没有证明该临界点是绝对极值。

原因:

学生认为找到临界点就足够了，但AP评分要求明确证明它是全局极值。

正确做法:

应用一阶或二阶导数检验证明临界点是局部极值，然后指出由于它是唯一的临界点，因此它一定是全局极值。

错误做法:

整理约束条件消去变量时出现代数错误，导致目标函数错误。

原因:

学生为了尽快进行求导，仓促完成代数步骤，微小的符号或系数错误就会改变整个问题。

正确做法:

写出目标函数后，代入一个测试值检查它是否满足原约束条件，在求导前就发现错误。

6. 速查表

类别	流程 / 公式	说明
通用四步框架	定义变量 → 2. 写出目标函数+定义域 → 3. 寻找临界点 → 4. 求值得到绝对极值	符合AP评分标准，可获得全部过程分
闭区间 $[a, b]$ 上的绝对极值	在所有内部临界点和端点处计算 $f (x)$ 的值	对于连续函数 $f$ ，极值定理保证绝对极值存在
开区间定义域的绝对极值（1个临界点）	若 $f^{''} (c) < 0$ → $c$ 处为绝对最大值；若 $f^{''} (c) > 0$ → $c$ 处为绝对最小值	必须包含该证明才能获得AP全分
利润最大化	$P (x) = R (x) - C (x)$ , 最大值在 $P^{'} (x) = 0 ⟹ M R = M C$	$M R$ = 边际收入, $M C$ = 边际成本
闭口圆柱	$S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ , $V = π r^{2} h$	开口圆柱需要减去 $π r^{2}$
开口切角盒子	$V (x) = x (L - 2 x) (W - 2 x)$	定义域: $0 < x < \frac{m i n ( L , W )}{2}$
混合路径成本最小化	$C (x) = c_{1} x + c_{2} (D - x)^{2} + d^{2}$	除临界点外，一定要检查端点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Multiple Choice
最小化圆柱的表面积
2022 · Free Response
最小化建造成本

深入阅读

unit overviewAP 微积分 BC 第5单元总览完整单元课程大纲

下一步

求解最优化问题是第5单元「微分的分析应用」的顶点技能，它是下一个核心主题相关变化率的基础。这两个主题都要求你将文字情境描述转化为多变量数学方程，然后简化为单变量来应用微分技巧。掌握这里学到的变量定义、约束条件书写和定义域限制技巧，会让求解相关变化率问题简单很多。最优化也经常出现在多概念自由问答题中，通常和积分或曲线绘图结合，因此练习四步框架直到它成为习惯非常重要。