# 求解最优化问题

> AP 微积分 BC · 第5单元：微分的分析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-solving-optimization-problems/

本指南讲解AP微积分BC中求解最优化问题的核心方法，包括标准四步框架、基于情境的定义域限制、在开区间和闭区间上寻找绝对极值，以及几何和经济学中的应用问题。

**先修:** 计算所有基本函数类型的导数; [寻找临界点并应用极值定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-extreme-value-theorem/); 使用一阶和二阶导数检验法分类局部极值

## 学习目标

- 应用四步最优化框架解决实际情境问题
- 确定目标函数符合情境的定义域限制
- 在开区间和闭区间上寻找并证明绝对极值
- 求解几何和经济学情境下的应用最优化问题

## 什么是最优化？

求解最优化问题利用微分，在情境或抽象问题的固定约束下，找到目标量的最大或最小可能值。该知识点占AP微积分BC考试总分的2-4%，会同时出现在选择题和自由问答题部分。

**最优化** — 在情境定义的定义域上，寻找目标函数的绝对（全局）最大值或最小值的过程。

*例:* 在周长固定时最大化矩形面积，或最小化商品的生产成本。

AP考试题目会使用诸如“求最大可能值”“确定最小尺寸”“最大化利润”或“最小化成本”这类表述来表示最优化问题，所有这类题目都遵循相同的核心解题流程。

## 通用四步最优化框架

所有最优化问题都有两个核心组成部分：目标函数（你想要最大化或最小化的量）和约束条件（变量之间的固定关系，用于将问题简化为单变量问题）。这个四步框架符合AP考试的评分标准。

1. 标记所有未知量，明确写出你的目标量，将约束条件写为变量之间的等式。
2. 利用约束条件消去多余变量，只保留一个自变量，得到单变量目标函数 $f(x)$。*关键：* 根据问题情境定义$x$的定义域，而不是只使用$f(x)$的数学定义域。大多数问题的定义域是闭区间$[a,b]$，此时极值定理可以保证绝对极值存在。
3. 计算$f'(x)$，令其等于零，求解$x$，从而得到$(a,b)$上$f(x)$的所有临界点。记住，临界点也包括$f'(x)$无定义的点。
4. 在每个内部临界点和两个端点处计算$f(x)$的值；最大的值就是绝对最大值，最小的值就是绝对最小值。始终要结合原问题情境作答。

> **tip**
>
> AP题目通常要求你给出得到极值的输入值（例如尺寸），而不是极值本身（例如面积）。给出最终答案前一定要重读题目。

**例题:** 一个矩形周长为120cm，求能使矩形面积最大的边长。

1. 定义变量和约束条件：设 $x$ = 一条边的长度，$y$ = 邻边长度，$A$ = 面积（需要最大化的目标）。约束条件：$2x + 2y = 120$。
2. 消去$y$，写出带定义域的目标函数：从约束条件解出$y$得$y = 60 - x$，代入面积公式得：
3. $$A(x) = x(60 - x) = 60x - x^2$$
4. 两条边长都非负，因此定义域为$[0, 60]$。
5. 寻找临界点：
6. $$A'(x) = 60 - 2x \\ 60 - 2x = 0 \implies x = 30$$
7. 求值并得出结论：$A(0) = 0$，$A(30) = 900$，$A(60) = 0$。最大面积出现在$x=30$，因此$y = 60 - 30 = 30$。最优尺寸为30 cm×30 cm（正方形）。

> **考试提示:** 即使最终答案错误，遵循这个明确的步骤顺序也能获得部分分数

## 开区间上绝对极值的分类

许多最优化问题的定义域是开区间（例如$x>0$，情境中没有上界），因此极值定理不能保证极值存在。如果在定义域上只找到一个临界点，你可以使用一阶或二阶导数检验来确认该局部极值也是全局（绝对）极值，这种证明方式在AP自由问答题中可获得全分。

**例题:** 求$x>0$范围内，使和$S = x + \frac{32}{x^2}$最小的正数$x$。

1. 定义目标和定义域：我们需要最小化$S(x) = x + 32x^{-2}$，定义域为$x \in (0, \infty)$（开区间，无其他约束）。
2. 寻找临界点：
3. $$S'(x) = 1 - \frac{64}{x^3} \\ 1 - \frac{64}{x^3} = 0 \implies x^3 = 64 \implies x = 4$$
4. 定义域内只有x=4这一个临界点，使用二阶导数检验法分类：
5. $$S''(x) = \frac{192}{x^3}$$
6. 对于所有$x>0$，$S''(x)$始终为正，因此$S''(4) = 3>0$，说明$x=4$是局部最小值。
7. 结论：由于开区间上只有一个临界点，因此$x=4$就是绝对最小值。

> **tip**
>
> 在开区间定义域上，你必须明确证明你的临界点是绝对极值，才能在AP自由问答题中获得全分。

## 情境化应用最优化

AP考试非常重视真实情境下的应用最优化问题，常见场景包括几何（最大化体积/最小化表面积）、经济学（最大化利润/最小化成本）和工程（最小化材料或行程成本）。对大多数学生来说，最大的挑战是将文字描述正确转化为有效的目标函数和约束条件。

> **tip**
>
> 解几何问题时，在写表面积公式前一定要确认容器是开口还是闭口：这会完全改变函数形式。经济学问题中，记住利润 = 收入 - 总成本。

**例题:** 一家小企业每周生产$x$个定制背包，每周总成本（美元）为$C(x) = 5000 + 20x + 0.01x^2$，收入为$R(x) = 80x$。求企业每周应生产多少个背包才能最大化周利润。

1. 定义目标：周利润$P(x)$是需要最大化的量，定义域$x \geq 0$。
2. 写出目标函数：
3. $$P(x) = 80x - (5000 + 20x + 0.01x^2) = -0.01x^2 + 60x - 5000$$
4. 定义域为$[0, 5915]$，对应利润非负的范围。
5. 寻找临界点：
6. $$P'(x) = -0.02x + 60 \\ -0.02x + 60 = 0 \implies x = 3000$$
7. $x=3000$在定义域内。分类：对于所有$x$，$P''(x) = -0.02 < 0$，因此$x=3000$是局部最大值，也就是绝对最大值。
8. 结论：最大周利润为$P(3000) = \$85000$，因此企业每周应生产3000个背包。

> **tip**
>
> 经济学最优化的一个实用捷径：当边际收入等于边际成本（$MR = MC$）时利润最大，这能在选择题中节省时间。

**例题:** 一个开口盒子由一张10英寸×15英寸的长方形硬纸板，每个角切去大小相等的正方形，然后折起侧边制成。求该盒子的最大可能体积。

1. 写出体积函数和定义域：切去边长为$x$的正方形后，底面尺寸为$(10-2x)$和$(15-2x)$，高为$x$。
2. $$V(x) = x(10-2x)(15-2x) = 4x^3 - 50x^2 + 150x$$
3. 所有边长都必须为正，因此定义域为$[0, 5]$。
4. 寻找临界点：
5. $$V'(x) = 12x^2 - 100x + 150 = 0 \\ 6x^2 - 50x + 75 = 0$$
6. 用二次公式求解，定义域内只有一个临界点：$x = \frac{25 - 5\sqrt{7}}{6} \approx 1.96$。
7. 计算候选点的值：$V(0) = 0$，$V(5) = 0$，$V(1.96) \approx 132$立方英寸。因此最大体积约为$132 \text{ in}^3$。

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 以下哪个选项给出了体积固定为$1000 \text{ cm}^3$的闭口正圆柱，使其表面积最小的半径$r$？（表面积$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$，体积$V = \pi r^2h$）

   - $r = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}}$
   - $r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$
   - $r = \sqrt{\frac{1000}{\pi}}$
   - $r = \frac{500}{\pi}$

   *答案:* $r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$

   *解析:* 正确！利用体积约束将$h = \frac{1000}{\pi r^2}$代入$S(r)$，求导后解出$r$即可得到该结果。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 找到临界点$x=c$后就停止，当题目要求目标函数的最大值时却报告了$x=c$，反之亦然。
  - 原因: 学生找到临界点后仓促作答，忘记检查题目实际要求的是什么。
  - 正确做法: 找到所有极值后，重读题目题干，确认你需要报告哪个量，然后明确计算出该量。
- **错误做法:** 使用目标函数的数学定义域，而非情境要求的定义域，导致得到无效的负长度或不可能的产量。
  - 原因: 学生通常会完全省略写定义域的步骤，导致得到有效范围外的多余临界点。
  - 正确做法: 定义目标函数后，一定要明确写出它的定义域，根据情境给自变量设置范围。
- **错误做法:** 定义域为闭区间时忘记检查端点值，假设极值一定出现在内部临界点。
  - 原因: 学生习惯在临界点找极值，忘记端点也能产生绝对极值。
  - 正确做法: 对于任何闭区间定义域，在选出绝对最大值/最小值前，一定要在两个端点和所有内部临界点处计算目标函数的值。
- **错误做法:** 在只有一个临界点的开区间定义域上，没有证明该临界点是绝对极值。
  - 原因: 学生认为找到临界点就足够了，但AP评分要求明确证明它是全局极值。
  - 正确做法: 应用一阶或二阶导数检验证明临界点是局部极值，然后指出由于它是唯一的临界点，因此它一定是全局极值。
- **错误做法:** 整理约束条件消去变量时出现代数错误，导致目标函数错误。
  - 原因: 学生为了尽快进行求导，仓促完成代数步骤，微小的符号或系数错误就会改变整个问题。
  - 正确做法: 写出目标函数后，代入一个测试值检查它是否满足原约束条件，在求导前就发现错误。

## 速查表

| 类别 | 流程 / 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 通用四步框架 | 1. 定义变量 → 2. 写出目标函数+定义域 → 3. 寻找临界点 → 4. 求值得到绝对极值 | 符合AP评分标准，可获得全部过程分 |
| 闭区间$[a,b]$上的绝对极值 | 在所有内部临界点和端点处计算$f(x)$的值 | 对于连续函数$f$，极值定理保证绝对极值存在 |
| 开区间定义域的绝对极值（1个临界点） | 若$f''(c)<0$ → $c$处为绝对最大值；若$f''(c)>0$ → $c$处为绝对最小值 | 必须包含该证明才能获得AP全分 |
| 利润最大化 | $P(x) = R(x) - C(x)$, 最大值在$P'(x)=0 \implies MR = MC$ | $MR$ = 边际收入, $MC$ = 边际成本 |
| 闭口圆柱 | $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$, $V = \pi r^2 h$ | 开口圆柱需要减去$\pi r^2$ |
| 开口切角盒子 | $V(x) = x(L-2x)(W-2x)$ | 定义域: $0 < x < \frac{\min(L,W)}{2}$ |
| 混合路径成本最小化 | $C(x) = c_1x + c_2\sqrt{(D-x)^2 + d^2}$ | 除临界点外，一定要检查端点 |

## 下一步

求解最优化问题是第5单元「微分的分析应用」的顶点技能，它是下一个核心主题相关变化率的基础。这两个主题都要求你将文字情境描述转化为多变量数学方程，然后简化为单变量来应用微分技巧。掌握这里学到的变量定义、约束条件书写和定义域限制技巧，会让求解相关变化率问题简单很多。最优化也经常出现在多概念自由问答题中，通常和积分或曲线绘图结合，因此练习四步框架直到它成为习惯非常重要。

- [第5单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-overview/)
- [隐函数关系的性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-behaviors-of-implicit-relations/)
- [积分与变化的累积 概览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u6-overview/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-solving-optimization-problems/