求f的临界点，临界点满足$f^{\prime }(x)=0$。计算导数：

f的临界点在$x=-2$和$x=3$，因此$f^{\prime }(x)$在这两个$x$值处穿过$x$轴。在每个区间测试f'的符号：

对于$x<-2$，$f^{\prime }(x)>0$，因此f在此区间递增，说明$f^{\prime }(x)$为正（位于$x$轴上方）

对于$-2<x<3$，$f^{\prime }(x)<0$，因此f在此区间递减，说明$f^{\prime }(x)$为负（位于$x$轴下方）

对于$x>3$，$f^{\prime }(x)>0$，因此f在此区间递增，说明$f^{\prime }(x)$为正（位于$x$轴上方）

因为f是三次函数，所以f'是首项系数为正的二次函数。最终绘制的图像是开口向上的抛物线，在$x=-2$和$x=3$处穿过$x$轴，与我们的符号区间结论一致。

f的凹凸性直接对应f''的符号。因为当$x<1$时f凹向下，所以对所有$x<1$都有$f^{\prime \prime }(x)<0$，因此f''在$(-\infty ,1)$上位于$x$轴下方

对于$x>1$，f凹向上，所以对所有$x>1$都有$f^{\prime \prime }(x)>0$，说明f''在$(1,\infty )$上位于$x$轴上方

f在$x=1$处有拐点，所以$f^{\prime \prime }(1)=0$，因此f''在$(1,0)$处穿过$x$轴

因为f是三次多项式，它的二阶导数是一次函数。f''的符号在1左侧为负，右侧为正，因此这条直线的斜率为正。最终图像是斜率为正的直线，在$x=1$处穿过$x$轴。

首先从$f^{\prime }(x)$分析$f(x)$：f'的零点在$x=-1$和$x=2$，因此f在这两个$x$值处有临界点

对于$x<-1$，$f^{\prime }(x)<0$，因此f递减。对于$-1<x<2$，$f^{\prime }(x)>0$，因此f递增。对于$x>2$，$f^{\prime }(x)<0$，因此f递减。因此f在$x=-1$处有局部极小值，在$x=2$处有局部极大值

接下来从$f^{\prime }(x)$分析$f^{\prime \prime }(x)$：f'是开口向下的二次函数，因此它的导数（$f^{\prime \prime }(x)$）是一次函数

f'的顶点（最大值）在$x=0.5$，也就是-1和2的中点。对于$x<0.5$，f'递增，因此$f^{\prime \prime }(x)>0$，说明f在$(-\infty ,0.5)$上凹向上

对于$x>0.5$，f'递减，因此$f^{\prime \prime }(x)<0$，说明f在$(0.5,\infty )$上凹向下。f'在$x=0.5$处有最大值，所以$f^{\prime \prime }(0.5)=0$，说明f在$x=0.5$处有拐点

最终总结：f''是斜率为负的直线，在$x=0.5$处穿过$x$轴；f在$x=-1$（局部极小值）、$x=0.5$（拐点）、$x=2$（局部极大值）处有关键点，每个区间行为正确。

(a)部分：求$f^{\prime }(x)$的零点：$2\sin x=0$在$x=0$，$x=\pi$，$x=2\pi$处成立

$f^{\prime }(x)>0$在$(0,\pi )$，因此f在$(0,\pi )$上递增。$f^{\prime }(x)<0$在$(\pi ,2\pi )$，因此f在$(\pi ,2\pi )$上递减。根据一阶导数测试，f在$x=\pi$处有局部极大值。

(b)部分：计算$f^{\prime \prime }(x)$：

f''的零点在$x=\frac{\pi }{2}$和$x=\frac{3\pi }{2}$。$f^{\prime \prime }(x)>0$在$\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$，因此f在这些区间凹向上。$f^{\prime \prime }(x)<0$在$\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$，因此f在此区间凹向下。两个点都发生了符号改变，因此它们都是拐点。

(c)部分：求$f^{\prime }(x)$的原函数：

代入$f(0)=2$：$-2(1)+C=2⟹C=4$，因此$f(x)=-2\cos x+4$。关键点为$(0,2)$，$\left(\frac{\pi }{2},4\right)$（拐点），$(\pi ,6)$（局部极大值），$\left(\frac{3\pi }{2},4\right)$（拐点），$(2\pi ,2)$。