# 绘制f、f'、f''的图像

> AP 微积分 BC · 微分的解析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-sketching-graphs-of-f-f/

本子主题关联了原函数、一阶导数和二阶导数的图像行为。你将学习如何在已知三个函数中任意一个的情况下绘制或匹配另外两个，并识别极值、拐点等关键特征，应对AP考试。

**先修:** 计算常见函数的一阶和二阶导数; 求代数函数和超越函数的零点; 临界点和拐点的正式定义

## 学习目标

- 将f的图像行为与f'和f''关联起来
- 已知任意一个函数，绘制或匹配导数的图像
- 从导数图像识别关键特征（极值、拐点）
- 避免与导数图像解读相关的常见考试陷阱

## f与f'的关系

$f'(x)$图像上的每一点都等于同一$x$值处$f(x)$切线的斜率。这个核心关系给出了连接f与f'行为的统一规则：

1. 当f在区间上单调递增时，$f'(x) > 0$，因此f'位于$x$轴上方
2. 当f在区间上单调递减时，$f'(x) < 0$，因此f'位于$x$轴下方
3. 在f的局部极值点处，$f'(x) = 0$，因此f'在该$x$值处穿过或接触$x$轴
4. 如果f是线性函数，它的斜率是常数，因此f'是一条水平线

**例题:** 已知 $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 18x + 10$，通过分析$f(x)$的行为绘制$f'(x)$的图像。

1. 求f的临界点，临界点满足$f'(x) = 0$。计算导数：
2. $$f'(x) = 3x^2 - 3x - 18 = 3(x-3)(x+2)$$
3. f的临界点在$x=-2$和$x=3$，因此$f'(x)$在这两个$x$值处穿过$x$轴。在每个区间测试f'的符号：
4. 对于$x < -2$，$f'(x) > 0$，因此f在此区间递增，说明$f'(x)$为正（位于$x$轴上方）
5. 对于$-2 < x < 3$，$f'(x) < 0$，因此f在此区间递减，说明$f'(x)$为负（位于$x$轴下方）
6. 对于$x > 3$，$f'(x) > 0$，因此f在此区间递增，说明$f'(x)$为正（位于$x$轴上方）
7. 因为f是三次函数，所以f'是首项系数为正的二次函数。最终绘制的图像是开口向上的抛物线，在$x=-2$和$x=3$处穿过$x$轴，与我们的符号区间结论一致。

> **tip**
>
> 做选择题从f'匹配f时，一定要先通过f'的符号排除选项。任何选项中，当f'为负时f递增的都可以立刻划掉，节省宝贵的考试时间。

*计算器:* forbidden

## f与f''的关系

正如f'描述f的斜率，f''描述f'的斜率，它直接对应f的凹凸性。凹凸性描述曲线的弯曲方向：凹向上的曲线像杯子一样向上弯，凹向下的曲线像帽子一样向下弯。核心规则如下：

1. 当f在区间上凹向上时，$f''(x) > 0$，因此f''位于$x$轴上方
2. 当f在区间上凹向下时，$f''(x) < 0$，因此f''位于$x$轴下方
3. 在连续f的拐点处（凹凸性改变的位置），$f''(x) = 0$，因此f''在该$x$值处穿过$x$轴
4. 如果f的凹凸性恒定，f''是常数，因此f''形成一条水平线

**例题:** $f(x)$的图像在$x=1$处有一个拐点，在$(-\infty, 1)$上凹向下，在$(1, \infty)$上凹向上。如果$f(x)$是三次多项式，$f''(x)$的图像是什么样的？

1. f的凹凸性直接对应f''的符号。因为当$x < 1$时f凹向下，所以对所有$x < 1$都有$f''(x) < 0$，因此f''在$(-\infty, 1)$上位于$x$轴下方
2. 对于$x > 1$，f凹向上，所以对所有$x > 1$都有$f''(x) > 0$，说明f''在$(1, \infty)$上位于$x$轴上方
3. f在$x=1$处有拐点，所以$f''(1) = 0$，因此f''在$(1, 0)$处穿过$x$轴
4. 因为f是三次多项式，它的二阶导数是一次函数。f''的符号在1左侧为负，右侧为正，因此这条直线的斜率为正。最终图像是斜率为正的直线，在$x=1$处穿过$x$轴。

> **tip**
>
> 在AP考试中，拐点只出现在f的凹凸性实际改变的位置，而不只是$f''(x) = 0$的位置。在判定$x=a$处是拐点前，一定要确认f''在$x=a$两侧符号改变。

*计算器:* forbidden

## 匹配和绘制三个函数的图像

AP考试中本主题的大多数题目会给出f、f'或f''中一个的图像，要求你识别或绘制另外两个。遵循以下标准化分步流程：

1. 在给定图像上标记所有关键$x$值：任何图像穿过$x$轴、存在局部极值或改变方向的$x$值
2. 将$x$轴按这些关键$x$值分割为多个区间
3. 对每个区间，确定给定图像的符号，这会告诉你目标函数是递增/递减（如果给定f'）还是凹向上/凹向下（如果给定f）
4. 连接关键点得到完整图像，检查当前图像的斜率是否与导数图像的值匹配

**例题:** 已知$f'(x)$是开口向下的二次函数，在$x=-1$和$x=2$处穿过$x$轴，在$-1 < x < 2$之间$f'(x) > 0$，在$x < -1$和$x > 2$时$f'(x) < 0$。识别$f(x)$和$f''(x)$的关键特征。

1. 首先从$f'(x)$分析$f(x)$：f'的零点在$x=-1$和$x=2$，因此f在这两个$x$值处有临界点
2. 对于$x < -1$，$f'(x) < 0$，因此f递减。对于$-1 < x < 2$，$f'(x) > 0$，因此f递增。对于$x > 2$，$f'(x) < 0$，因此f递减。因此f在$x=-1$处有局部极小值，在$x=2$处有局部极大值
3. 接下来从$f'(x)$分析$f''(x)$：f'是开口向下的二次函数，因此它的导数（$f''(x)$）是一次函数
4. f'的顶点（最大值）在$x=0.5$，也就是-1和2的中点。对于$x < 0.5$，f'递增，因此$f''(x) > 0$，说明f在$(-\infty, 0.5)$上凹向上
5. 对于$x > 0.5$，f'递减，因此$f''(x) < 0$，说明f在$(0.5, \infty)$上凹向下。f'在$x=0.5$处有最大值，所以$f''(0.5) = 0$，说明f在$x=0.5$处有拐点
6. 最终总结：f''是斜率为负的直线，在$x=0.5$处穿过$x$轴；f在$x=-1$（局部极小值）、$x=0.5$（拐点）、$x=2$（局部极大值）处有关键点，每个区间行为正确。

> **tip**
>
> 从给定图像解题时，先在每个区间上方写出给定函数的符号，再在下方写出目标函数对应的行为。这个简单的步骤可以消除90%常见的符号混淆错误。

*计算器:* forbidden

## AP风格概念检查

**概念自测**

用这道选择题测试你的理解：

1. 已知$y = f''(x)$的图像在$x=-2$，$x=1$，和$x=3$处穿过$x$轴。它在$(-\infty, -2)$上为负，在$(-2, 1)$上为正，在$(1, 3)$上为负，在$(3, \infty)$上为正。对于原函数$f(x)$，f有多少个拐点？

   - 1
   - 2
   - 3
   - 0

   *解析:* 拐点出现在f''符号改变的位置，本题中就是每个穿过$x$轴的位置。这三个点都发生了符号改变，因此f有3个拐点。

**例题:** 设$f'(x) = 2\sin x$，定义域为$0 \leq x \leq 2\pi$。(a) 求$f(x)$递增/递减的区间和所有局部极值。(b) 求凹凸区间和所有拐点。(c) 已知$f(0) = 2$，求绘制图像所需所有关键点的坐标。

1. (a)部分：求$f'(x)$的零点：$2\sin x = 0$在$x=0$，$x=\pi$，$x=2\pi$处成立
2. $f'(x) > 0$在$(0, \pi)$，因此f在$(0, \pi)$上递增。$f'(x) < 0$在$(\pi, 2\pi)$，因此f在$(\pi, 2\pi)$上递减。根据一阶导数测试，f在$x=\pi$处有局部极大值。
3. (b)部分：计算$f''(x)$：
4. $$f''(x) = \frac{d}{dx}[2\sin x] = 2\cos x$$
5. f''的零点在$x = \frac{\pi}{2}$和$x = \frac{3\pi}{2}$。$f''(x) > 0$在$\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$，因此f在这些区间凹向上。$f''(x) < 0$在$\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$，因此f在此区间凹向下。两个点都发生了符号改变，因此它们都是拐点。
6. (c)部分：求$f'(x)$的原函数：
7. $$f(x) = -2\cos x + C$$
8. 代入$f(0) = 2$：$-2(1) + C = 2 \implies C=4$，因此$f(x) = -2\cos x + 4$。关键点为$(0, 2)$，$\left(\frac{\pi}{2}, 4\right)$（拐点），$(\pi, 6)$（局部极大值），$\left(\frac{3\pi}{2}, 4\right)$（拐点），$(2\pi, 2)$。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 仅因为$f''(a) = 0$就判定f在$x=a$处有局部极值
  - 原因: 学生将拐点规则和极值规则混淆，搞混了f'和f''各自的含义
  - 正确做法: 只有当f'在a处符号改变时，才能得出f在a处有局部极值；$f''(a) = 0$只说明f可能在此处有拐点
- **错误做法:** 在f'穿过x轴的同一x位置，绘制f穿过x轴
  - 原因: 学生将f'的x轴交点与f的x轴交点混淆，把所有关键点都匹配到同一x位置，不管其含义
  - 正确做法: 记住f'的x轴交点对应f的局部极值（临界点），而不是f的x轴交点
- **错误做法:** 认为f在f'为正的位置凹向上
  - 原因: 学生混淆一阶导数和二阶导数符号的含义，将递增/递减和凹凸性混为一谈
  - 正确做法: 永远将f'的符号与f的递增/递减关联，f''的符号与f的凹凸性关联；解题时把这个对应关系写在草稿纸上
- **错误做法:** 当f的拐点处凹凸性改变时，绘制f''接触（不穿过）x轴
  - 原因: 学生记住了穿过意味着符号改变，但忘记拐点需要f''符号改变
  - 正确做法: 如果凹凸性在$x=a$处改变，那么f''一定在a处改变符号，因此f''在a处穿过x轴；只有不穿过的相切意味着没有符号改变，因此没有拐点
- **错误做法:** 已知f'，求f的拐点时，找f'穿过x轴的位置
  - 原因: 学生混淆f'值为零的位置和f'斜率为零的位置
  - 正确做法: f的拐点出现在f'的极值点，也就是f'斜率改变的位置，即f'有局部极大值或极小值的位置，而不是f'的x轴交点
- **错误做法:** 假设如果f处处递增，那么f'也处处递增
  - 原因: 学生认为递增的f意味着f'为正，因此正的f'一定递增
  - 正确做法: 递增的f可以有递减的正斜率（例如$x>0$时的$f(x) = \ln x$），因此一定要检查f'的斜率才能得到f''的行为

## 速查表

| 关系 | 规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| f, f' | 若$(a,b)$上$f'(x) > 0$，$f(x)$在$(a,b)$上递增 | 所有可导f |
| f, f' | 若$(a,b)$上$f'(x) < 0$，$f(x)$在$(a,b)$上递减 | 所有可导f |
| f, f' | 若$f'(c) = 0$且f'在c处符号改变，f在$x=c$处有局部极值 | f'的零点 = f的临界点 |
| f, f'' | 若$(a,b)$上$f''(x) > 0$，$f(x)$在$(a,b)$上凹向上 | 也意味着f'在$(a,b)$上递增 |
| f, f'' | 若$(a,b)$上$f''(x) < 0$，$f(x)$在$(a,b)$上凹向下 | 也意味着f'在$(a,b)$上递减 |
| f, f'' | 若$f''(c) = 0$且f''在c处符号改变，f在$x=c$处有拐点 | 仅$f''=0$不能保证存在拐点 |

## 下一步

本子主题是AP微积分BC考试中所有微分解析应用的核心基础技能。你在这里掌握的关系可以直接应用到优化问题、复杂函数的完整图像绘制，以及定期出现在选择题和自由问答题中的运动问题分析。理解f、f'和f''之间的关联也有助于积分问题的图像解读，而积分问题占考试分数的很大比例。熟练掌握这项技能会让导数的更高级应用更容易学习。

- [第5单元总览：微分的解析应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-overview/)
- [定性关联f、f'、f''](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-connecting-f-f-f-qualitatively/)
- [最优化问题简介](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-introduction-to-optimization-problems/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-sketching-graphs-of-f-f/