二阶导数测试

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Analytical Applications of Differentiation· 14 分钟阅读

1. 核心定义与适用条件★★☆☆☆⏱ 5 min

二阶导数测试是一种基于凹性的快速方法，用于对二阶可微函数的内部临界点进行分类。它比一阶导数测试更快，因为你只需要在临界点处计算二阶导数，而不需要检查临界点两侧一阶导数的符号。该内容占AP微积分BC考试总分的约4-5%，会同时出现在选择题和自由作答题部分。

📘 定义

二阶导数测试

For function $f (x)$ with critical point $c$

If $f$ is twice differentiable on an open interval containing $c$ , and $f^{'} (c) = 0$ : 1. $f^{''} (c) < 0 \to$ local maximum at $x = c$ ; 2. $f^{''} (c) > 0 \to$ local minimum at $x = c$ ; 3. $f^{''} (c) = 0 \to$ test is inconclusive

例:

带有简单二阶导数的多项式可以使用该方法快速分类。

📐 例题

使用二阶导数测试对 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ 的所有局部极值进行分类。

1
求一阶导数并解出临界点：
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$
2
令 $f^{'} (x) = 0$ 得到临界点在 $x = 1$ 和 $x = 3$ ，两处都满足 $f^{'} (c) = 0$ ，因此符合测试条件。
3
计算二阶导数：
$f''(x) = 6x - 12$
4
在每个临界点处计算 $f^{''}$ 的值：
- $f^{''} (1) = 6 (1) - 12 = - 6 < 0$ ，因此 $f$ 在 $x = 1$ 处存在局部极大值
- $f^{''} (3) = 6 (3) - 12 = 6 > 0$ ，因此 $f$ 在 $x = 3$ 处存在局部极小值
5
极值分别为 $f (1) = 6$ 和 $f (3) = 2$ ，因此局部极大值在 $(1, 6)$ ，局部极小值在 $(3, 2)$ 。

Exam tip:

应用二阶导数测试前请务必确认 $f^{'} (c) = 0$ 。该测试仅适用于一阶导数为零的临界点，不适用于端点或一阶导数不存在的临界点。

2. 处理不确定测试结果★★★☆☆⏱ 6 min

当符合条件的临界点处 $f^{''} (c) = 0$ 时，二阶导数测试结果不确定。这意味着我们无法得出是否存在极值的结论，因为该点的曲率为零，凹性可能改变也可能不改变。例如， $f (x) = x^{4}$ 、 $f (x) = - x^{4}$ 和 $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处都满足 $f^{'} (0) = 0$ 且 $f^{''} (0) = 0$ ，但 $x = 0$ 分别是局部极小值、局部极大值和不是极值。

处理不确定结果唯一可靠的方法是回归一阶导数测试：检查 $c$ 左右两侧 $f^{'} (x)$ 的符号。符号改变说明存在极值，符号不变说明不存在极值。

📐 例题

对 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ 在 $x = 3$ 处的临界点进行分类，如果可以使用二阶导数测试就使用；如果不行，使用合适的替代方法。

1
确认 $x = 3$ 是符合条件的临界点：
$f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x = 4x(x-3)^2 \\ f'(3) = 0$
2
计算二阶导数：
$f''(x) = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x-1)(x-3)$
3
在 $x = 3$ 处求值： $f^{''} (3) = 12 (2) (0) = 0$ ，因此二阶导数测试结果不确定。
4
使用一阶导数测试检查 $x = 3$ 附近 $f^{'} (x)$ 的符号：
- 3的左侧（在 $x = 2$ 处）： $f^{'} (2) = 4 (2) (- 1)^{2} = 8 > 0$
- 3的右侧（在 $x = 4$ 处）： $f^{'} (4) = 4 (4) (1)^{2} = 16 > 0$
5
由于 $f^{'} (x)$ 在 $x = 3$ 处符号没有改变，因此 $x = 3$ 处不存在局部极值。

Exam tip:

永远不要自动假设二阶导数测试不确定就意味着没有极值，或者该点自动就是拐点。请务必使用一阶导数测试确认。

3. 使用二阶导数测试证明最优化问题★★★☆☆⏱ 5 min

在AP微积分BC的自由作答题中，最优化问题要求你证明你找到的临界点确实是你要找的极大值或极小值。二阶导数测试是获得全部证明分数最快的方法，尤其是对于只有一个内部临界点的应用问题。

对于大多数应用最优化问题，目标函数的定义域是开区间 $(a, b)$ ，端点处的函数值都不是最优的（例如，当 $x = 0$ 或在最大端点处，盒子的体积为零）。如果你有一个内部临界点 $c$ ，且二阶导数测试确认它是局部极大值，那么它一定是该区间上的绝对极大值。相同的逻辑适用于局部极小值成为绝对极小值。

📐 例题

一个无盖长方体盒子由一块12 cm×12 cm的硬纸板制成，从每个角切去边长为 $x$ 的正方形后折起侧边。使用二阶导数测试确认使盒子体积最大的 $x$ 值。

1
写出体积目标函数，定义域为 $0 < x < 6$ ：
$V(x) = x(12-2x)^2$
2
求一阶导数并找出临界点：
$V'(x) = (12-2x)^2 - 4x(12-2x) = 12(6-x)(2-x)$
3
在 $(0, 6)$ 上唯一的内部临界点是 $x = 2$ ； $x = 6$ 是端点，不符合测试条件。
4
计算二阶导数：
$V''(x) = 24x - 96$
5
在 $x = 2$ 处求值： $V^{''} (2) = 48 - 96 = - 48 < 0$ ，因此 $V (x)$ 在 $x = 2$ 处存在局部极大值。由于 $V (0) = V (6) = 0 < V (2) = 128$ ，因此 $x = 2$ cm处是体积的绝对最大值。

Exam tip:

在自由作答题最优化问题中，使用二阶导数测试证明极值比测试端点或检查一阶导数符号变化更快，如果操作正确可以获得全部证明分数。

4. 概念检测★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格的问题测试你对二阶导数测试的理解：

函数 $h (x) = e^{2 x} - 6 x$ 在 $x = \frac{l n 3}{2}$ 处有一个临界点。根据二阶导数测试，正确的分类是什么？
- 局部极大值，因为 $h^{''} (\frac{l n 3}{2}) < 0$
- 局部极小值，因为 $h^{''} (\frac{l n 3}{2}) > 0$
- 局部极大值，因为 $h^{''} (\frac{l n 3}{2}) > 0$
- 二阶导数测试对该点结果不确定
显示答案
1 —
正确！ $h^{''} (x) = 4 e^{2 x}$ ，所以 $h^{''} (\frac{l n 3}{2}) = 12 > 0$ ，说明是局部极小值。
当在 $f^{'} (c) = 0$ 的临界点 $c$ 处，二阶导数测试得到 $f^{''} (c) = 0$ 时，你下一步应该做什么？
- 得出 $c$ 处不存在极值的结论
- 得出 $c$ 是拐点的结论
- 使用一阶导数测试检查 $f^{'}$ 的符号变化
- 得出 $c$ 是局部极值的结论
显示答案
2 —
正确！结果不确定的二阶导数测试需要用一阶导数测试来处理，因为 $f^{''} (c) = 0$ 无法告诉我们 $f^{'}$ 在 $c$ 周围是否改变符号。

5. 常见陷阱

错误做法:

将二阶导数测试应用于 $f^{'} (c) \neq = 0$ 或 $f^{'} (c)$ 不存在的临界点。

原因:

学生混淆了 $f^{'} (c) = 0$ 的要求，认为任何临界点都可以，经常不小心测试拐点候选点。

正确做法:

在计算 $f^{''} (c)$ 之前始终验证 $f^{'} (c) = 0$ ；仅对符合条件的临界点进行测试。

错误做法:

当二阶导数测试结果不确定（ $f^{''} (c) = 0$ ）时得出不存在极值的结论。

原因:

学生认为结果不确定就意味着没有极值，但很多函数在 $f^{''} (c) = 0$ 的点存在极值，例如 $f (x) = x^{4}$ 在 $x = 0$ 处。

正确做法:

每当 $f^{''} (c) = 0$ 或 $f^{''} (c)$ 不存在时，回归一阶导数测试检查 $f^{'}$ 的符号变化。

错误做法:

断言 $f^{''} (c) = 0$ 的点自动就是拐点。

原因:

学生将二阶导数测试的不确定结果与拐点条件混淆，拐点条件要求的不仅仅是 $f^{''} (c) = 0$ 。

正确做法:

要确认拐点，需要检查 $f^{''}$ 在 $c$ 周围是否改变符号；永远不要仅用 $f^{''} (c) = 0$ 作为充分证明。

错误做法:

使用二阶导数测试对闭区间上的端点极值进行分类。

原因:

端点不可能是局部极值（它们在定义域内只有一侧），因此该测试不适用。

正确做法:

使用极值定理比较所有临界点和端点处的函数值，找出闭区间上的绝对极值。

错误做法:

在临界点处计算原函数 $f (c)$ 而不是 $f^{''} (c)$ 来分类极值。

原因:

学生在快速解决多步问题（尤其是选择题）时会混淆步骤。

正确做法:

从 $f^{'} (x) = 0$ 找到临界点后，明确写出 $f^{''} (x)$ 并在每个临界点处求值，然后再进行分类。

6. 速查表

分类	规则/公式	注释
二阶导数测试核心结论	If $f^{'} (c) = 0$ and $f^{''} (c)$ exists: 1. $f^{''} (c) < 0 \to$ local max 2. $f^{''} (c) > 0 \to$ local min 3. $f^{''} (c) = 0 \to$ inconclusive	Only for interior critical points with $f^{'} (c) = 0$ ; no endpoints or undefined $f^{'} (c)$
不确定结果处理流程	Check sign of $f^{'} (x)$ around $c$ : + to - = local max; - to + = local min; no change = no extremum	Always use this when $f^{''} (c) = 0$
最优化问题证明	One interior critical point $c$ on $(a, b)$ : $f^{''} (c) < 0 \to$ absolute max; $f^{''} (c) > 0 \to$ absolute min	Valid for applied problems where endpoint values are non-optimal
临界点适用条件	Eligible only if $f^{'} (c) = 0$	Critical points with undefined $f^{'} (c)$ cannot be tested with this method
拐点规则	Inflection point requires $f^{''}$ changes sign around $c$	$f^{''} (c) = 0$ is necessary but not sufficient; do not confuse with extremum classification
闭区间求极值	Compare $f (c)$ at all critical points and endpoints	Never use the second derivative test for endpoint extrema

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · BC FRQ
最优化问题的极值证明
2023 · BC MCQ
临界点分类

下一步

掌握二阶导数测试是曲线绘图的关键先决条件，在曲线绘图中你需要结合一阶和二阶导数信息绘制函数图像，这是几乎每次AP微积分BC考试都会考察的技能。它也是应用最优化问题中证明极值的基础，应用最优化是自由作答题的常见考点。如果没有掌握测试条件和不确定结果的处理方法，你会丢失自由作答题中本可轻松获得的证明分数，而自由作答题占考试总分的一半。该主题还与AP BC课程后面泰勒多项式的高阶导数测试相关，建立在二阶导数测试的核心逻辑之上。