最优化问题简介

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — 第五单元：微分的解析应用· 14 分钟阅读

1. 最优化的核心概念★★☆☆☆⏱ 3 min

最优化问题是一类应用型极值问题，要求你在给定一个或多个可用输入约束的条件下，找到使得目标输出量最大化或最小化的输入（例如：最小化生产成本、最大化围合面积、最大化商业利润）。在AP微积分BC考试中，该主题占总分的8-10%，同时出现在选择题和自由问答题部分，且经常整合体积、隐函数求导等其他主题。

📘 定义

最优化问题

一类应用型极值问题，要求在输入值满足固定约束的条件下，找到使得目标输出取得最大值或最小值的输入。

2. 通用四步最优化框架★★☆☆☆⏱ 4 min

所有AP最优化问题都遵循标准化四步框架，这能减少错误并保证你在FRQ中获得全部方法分。框架如下：

定义所有变量，识别目标函数（需要优化的量）和关联变量的约束条件。
利用约束条件将目标函数改写为单变量函数，然后根据物理/情境约束写出可行定义域。
通过求导并令一阶导数等于零，找到目标函数在定义域内的所有临界点。
将临界点分类为绝对最大值或最小值，然后计算原题要求的量。

📐 例题

一块矩形花园需要沿着笔直的河岸围篱笆，河岸一侧不需要篱笆。我们总共有120米篱笆，求使得花园面积最大的尺寸。

1
1. 定义变量：设 $x$ = 垂直于河岸的边长， $y$ = 平行于河岸的边长。目标：最大化面积 $A = x y$ 。约束：总篱笆长度 = $2 x + y = 120$ 。
2
1. 将目标改写为单变量函数：从约束解出 $y = 120 - 2 x$ ，代入面积公式：
3
$A(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$
4
求定义域：边长为正，所以 $x > 0$ 且 $120 - 2 x > 0 ⟹ 0 < x < 60$ 。
5
1. 求临界点：对 $A (x)$ 求导并令导数等于零：
6
$A'(x) = 120 - 4x = 0 \implies x = 30$
7
1. 分类并作答：一阶导数检验显示，当 $x < 30$ 时 $A^{'} (x) > 0$ ，当 $x > 30$ 时 $A^{'} (x) < 0$ ，因此 $x = 30$ 是绝对最大值。回代得 $y = 120 - 2 (30) = 60$ 。
8
使得面积最大的尺寸是 30 米（垂直于河岸）和 60 米（平行于河岸）。

Exam tip:

找到临界点后一定要重新读题：很多学生在题目要求输出量（比如总面积或总成本）时，只回答了输入变量，因此丢分。

3. 定义域约束与闭区间法★★★☆☆⏱ 4 min

当目标函数的可行定义域是闭有界区间（包含端点，由输入的硬上下界约束导致）时，你必须使用极值定理中的闭区间法来求绝对极值。

极值定理保证了闭有界区间上的连续函数一定同时存在绝对最大值和绝对最小值，它们可以出现在内部临界点或端点处。跳过端点评估是AP考试最常见的错误之一。

📐 例题

一根10英寸长的电线被剪成两段。一段弯成正方形，另一段弯成等边三角形。总面积和至少为3平方英寸。求最小的可能总面积。

1
1. 定义变量：设 $x$ = 用于正方形的电线长度，因此 $10 - x$ = 用于三角形的长度。 $x$ 的硬边界给出闭定义域 $0 \leq x \leq 10$ 。目标函数：最小化总面积：
2
$A(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{10 - x}{3}\right)^2$
3
1. 通过求导并令导数等于零找到临界点：
4
$A'(x) = \frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}(10 - x)}{54} = 0 \implies x \approx 2.04$
5
1. 计算所有候选点的面积： $A (0) \approx 4.81$ 平方英寸， $A (2.04) \approx 2.72$ 平方英寸， $A (10) \approx 6.25$ 平方英寸。题目要求 $A (x) \geq 3$ ，因此内部临界点不可行。
6
1. 可行定义域边界出现在 $A (x) = 3$ 处，解得 $x \approx 1.2$ 和 $x \approx 7.8$ ，两者都满足 $A (x) = 3$ 。因此最小可行总面积是3平方英寸。

Exam tip:

当定义域为闭区间时，AP阅卷官会主动给跳过端点评估的答题扣分。闭区间一定要评估端点。

4. 复杂最优化问题的隐函数求导★★★★☆⏱ 4 min

对于带有非线性约束的最优化问题或3D形状问题，将目标函数整理为显式单变量函数可能非常困难甚至不可能。这种情况下，我们可以使用隐函数求导来得到导数，无需显式求解因变量，同时仍然遵循核心四步框架。

📐 例题

求总表面积为 $100 π$ 平方厘米的直圆柱，使得其体积最大的尺寸。

1
1. 定义变量： $r$ = 半径， $h$ = 高。目标：最大化体积 $V = π r^{2} h$ 。约束：总表面积 = $2 π r^{2} + 2 π r h = 100 π$ ，化简得 $r^{2} + r h = 50$ 。
2
1. 对约束关于 $r$ 隐函数求导：
3
$2r + h + r \frac{dh}{dr} = 0 \implies \frac{dh}{dr} = -\frac{2r + h}{r}$
4
1. 对体积隐函数求导并令导数等于零（极值点要求）：
5
$\frac{dV}{dr} = 2\pi r h + \pi r^2 \frac{dh}{dr} = 0$
6
除以 $π r$ （因为 $r > 0$ ，该操作合法）：
7
$2h + r \frac{dh}{dr} = 0$
8
1. 代入从约束得到的 $\frac{d h}{d r}$ 并求解：
9
$2h + r\left(-\frac{2r + h}{r}\right) = 0 \implies h = 2r$
10
1. 回代到原约束得到尺寸：
11
$r^2 + r(2r) = 50 \implies r = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.08 \text{ cm}, \quad h \approx 8.16 \text{ cm}$
12
该临界点对应圆柱的最大体积。

Exam tip:

不要误将约束的导数设为零。只有目标函数的导数在极值点处等于零。

5. AP风格练习例题★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 快速检测

用这道选择题测试你对基础最优化的理解：

两个正数的和为30。其中一个数是 $x$ ，另一个是 $30 - x$ 。一个数乘以另一个数的平方的最大值是多少？
- A) 2000
- B) 3000
- C) 4000
- D) 4500
显示答案
C) 4000 —
需要最大化的目标函数是 $P (x) = x^{2} (30 - x)$ ，临界点在 $x = 20$ ，得 $P (20) = 2 0^{2} \cdot 10 = 4000$ 。一阶导数检验确认这是绝对最大值。

📐 例题

一个带正方形底面的无顶长方体盒子用500平方厘米的纸板制作，无浪费。设 $x$ 是底面边长， $h$ 是高。(a) 写出 $V (x)$ 并说明定义域。(b) 找到临界点并证明它是绝对最大值。(c) 求最大体积。

1
(a) 总表面积（无顶）是 $x^{2} + 4 x h = 500$ 。解得 $h = \frac{500 - x ^{2}}{4 x}$ 。体积为：
2
$V(x) = x^2 h = \frac{x(500 - x^2)}{4} = 125x - \frac{1}{4}x^3$
3
定义域： $x > 0$ 且 $h > 0 ⟹ 0 < x < 105$ 。
4
(b) 求导并令导数等于零：
5
$V'(x) = 125 - \frac{3}{4}x^2 = 0 \implies x = \sqrt{\frac{500}{3}} \approx 12.91$
6
当 $0 < x < \frac{500}{3}$ 时 $V^{'} (x) > 0$ ，当 $x > \frac{500}{3}$ 时 $V^{'} (x) < 0$ ，因此函数先增后减，确认这是绝对最大值。
7
(c) 回代得到最大体积：
8
$V\left(\sqrt{\frac{500}{3}}\right) \approx 1076 \text{ cm}^3$

📐 例题

一家面包店每天生产 $x$ 个酸面包，日利润为 $P (x) = - 0.001 x^{3} + 0.15 x^{2} + 2 x - 100$ 美元，定义域为 $0 \leq x \leq 150$ 。生产多少个面包能最大化日利润，最大利润是多少？

1
定义域是闭区间 $[0, 150]$ ，因此使用闭区间法。首先找临界点：
2
$P'(x) = -0.003x^2 + 0.3x + 2 = 0$
3
用二次公式求解，定义域内只有一个正根： $x \approx 106.3$ 。
4
计算所有候选点的利润： $P (0) = - $100$ ， $P (106.3) \approx $794.50$ ， $P (150) = $200$ 。
5
面包店每天应该生产约106个面包，最大日利润约为794.50美元。

6. 常见陷阱

错误做法:

找到临界点 $x$ 后就停止，当题目要求最大面积、最小成本或其他输出量时，只报告 $x$ 。

原因:

学生专注于找临界点的微积分步骤，忘记读题末确认要求的输出是什么。

正确做法:

分类极值后，重新读原题，确认你需要报告的量，计算完该值再结束答题。

错误做法:

使用闭区间法时，忘记在定义域端点处评估目标函数，只报告临界点的值。

原因:

学生假设极值一定出现在内部临界点，忘记闭区间上端点可能给出更极端的值。

正确做法:

只要你的定义域是闭区间 $[a, b]$ ，一定要把 $f (a)$ 和 $f (b)$ 加入候选值列表进行比较。

错误做法:

目标函数定义错误，混淆了需要优化的量和固定约束。

原因:

题目通常先描述约束，导致学生误将固定约束量当作需要优化的目标。

正确做法:

读完题目后，在你需要最大化/最小化的量下划线，圈出固定约束量，再写方程。

错误做法:

将负值纳入长度、面积等物理量的定义域中。

原因:

学生急于求导，跳过了正确书写定义域的步骤，导致得到非物理的临界点。

正确做法:

写完单变量目标函数后，立即根据物理约束写出定义域，排除所有不可能为负的量的非正值。

错误做法:

未经证明就将局部极值认定为绝对极值，尤其是在开区间上。

原因:

学生假设唯一的临界点自动就是绝对极值，不需要证明。

正确做法:

在只有一个临界点的开区间上，使用一阶导数检验证明导数的符号变化，确认它是绝对极值。

7. 速查表

分类	法则 / 公式	注释
四步最优化框架	定义目标+约束 2. 将目标改写为单变量 3. 找临界点 4. 分类并答题	适用于所有AP最优化问题
目标函数	$f (x)$	需要最大化/最小化的量；不要和约束混淆
约束条件	变量间的固定关系	用于将目标函数约简为单变量
物理定义域法则	$x > 0$ 对应长度、面积、体积	负值永远不符合物理意义，应排除
开区间最优化	如果一阶导数变号，一个临界点就是绝对极值	需要符号变化证明才能得满分
闭区间法	在所有临界点 and 端点处评估 $f (x)$	选择最大/最小值得出最大/最小值
隐函数最优化	对目标和约束求导，令 $\frac{df}{d x} = 0$ ，解方程组	用于无法显式求解因变量的情况
一阶导数检验	$f^{'}$ 正变负 = 最大值；负变正 = 最小值	是开区间上绝对极值的推荐证明方法

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC
FRQ：体积最优化问题
2022 · BC
MCQ：定义域约束识别
2021 · BC
FRQ：利润最优化

下一步

最优化问题是AP微积分BC第五单元「微分的解析应用」的顶点应用技能，掌握四步框架对后续AP微积分BC中很多应用问题的求解至关重要。接下来，你会将该框架扩展到相关变化率问题，这类问题需要找到最大或最小的变化率，之后你会将最优化应用到参数曲线和极坐标曲线，最大化弧长或围合面积。最优化也是牛顿法等数值方法的基础，同时在积分应用中，你也需要在区间上找到最大或最小量。熟练掌握从情境到微积分模型的转化步骤，能帮助你在整合多个AP主题的多部分FRQ中获得满分。