# 一阶导数判别法判断相对极值

> AP 微积分 BC · 第5单元：微分的分析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-first-derivative-test-for-relative/

本模块涵盖临界点识别、一阶导数的符号分析、内部和端点相对极值分类，以及AP微积分BC考试备考中常见函数类型的应用。

**先修:** 导数的定义; 常见函数的导数计算; 相对（局部）极值的定义

## 学习目标

- 在给定定义域上识别函数的临界点
- 使用一阶导数判别法将内部临界点分类为相对极大值、相对极小值或两者都不是
- 对闭区间上的端点相对极值进行分类
- 为AP微积分BC自由作答题（FRQ）中的极值分类提供证明

## 一阶导数判别法的核心概念

一阶导数判别法（也称为局部/相对极值判别法）是AP微积分BC第5单元的核心方法，在选择题和自由作答题中都会出现，占考试总分的4-7%。

该方法利用一阶导数的几何意义：$f'(x)$告诉我们$f(x)$是递增（$f'(x) > 0$）还是递减（$f'(x) < 0$）。通过分析临界点周围$f'(x)$的符号变化，我们可以将该点分类为相对极大值、相对极小值或两者都不是。

**临界点** — 函数$f$定义域的一个内点$c$，满足要么$f'(c) = 0$，要么$f'(c)$不存在。临界点是相对极值仅可能出现的位置。

*记法:* $c \in \text{dom}(f)$, $c$ interior

> **tip**
>
> 与二阶导数判别法不同，一阶导数判别法适用于所有临界点，包括二阶导数为零或不存在的情况，因此适用范围更广。

> **考试提示:** 在AP自由作答题中，你必须明确提及一阶导数的符号变化，才能获得极值分类的全部证明分数。

## 内部临界点的符号分析

要对内部临界点应用一阶导数判别法，将$f'$的定义域按临界点分割为多个区间，在每个区间内取一点测试$f'(x)$的符号，然后使用以下符号变化规则进行分类：

1. 如果$f'$在$c$处由正变负，则$f$在$x=c$处有一个**相对极大值**
2. 如果$f'$在$c$处由负变正，则$f$在$x=c$处有一个**相对极小值**
3. 如果$f'$在$c$处符号不变，则$f$在$x=c$处**没有相对极值**

**例题:** 求$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$的所有临界点，并使用一阶导数判别法对每个临界点分类。

1. 计算一阶导数：

   $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$$
2. 识别临界点：$f'(x)$对所有实数$x$都有定义，因此令$f'(x)=0$得到临界点$x=1$和$x=3$，两者都在$f$定义域内部。
3. 符号分析：将定义域分为$(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, $(3, \infty)$，在每个区间测试一个点：
4. - At $x=0$: $f'(0)=9>0$<br>- At $x=2$: $f'(2)=-3<0$<br>- At $x=4$: $f'(4)=9>0$
5. 根据符号变化分类：在$x=1$处，$f'$由正变负 → $(1, 6)$处为相对极大值。在$x=3$处，$f'$由负变正 → $(3, 2)$处为相对极小值。

> **考试提示:** 仅说明$f'(c)=0$不足以证明自由作答题中的极值存在。

## $f'$不存在处的临界点

只要$c$在$f$的定义域中，即使$f'(c)$不存在，也可能是临界点。一阶导数判别法对这些点的处理流程与$f'(c)=0$的点完全相同。这种情况常见于绝对值函数、根式函数和分段函数，在AP考试中经常出现。

> **warning**
>
> 如果$c$不在$f$的定义域中，它就不可能是临界点或相对极值，因此必须立即排除。

**例题:** Let $f(x) = x^{2/3}(x - 4)$. Find all critical points and classify each using the First Derivative Test.

1. 使用乘积法则计算$f'(x)$：

   $$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x - 4) + x^{2/3} = \frac{5x - 8}{3x^{1/3}}$$
2. 识别临界点：$f'(x)$在$x=0$处不存在，且$f(0)=0$（因此$x=0$在$f$的定义域中），所以它是一个有效的临界点。令分子等于零得到$x=8/5$，此处$f'=0$且$f$有定义，因此$x=8/5$也是一个临界点。
3. 对区间$(-\infty, 0)$, $(0, 8/5)$, $(8/5, \infty)$进行符号分析：
4. - At $x=-1$: $f'(-1) = \frac{-13}{-3} > 0$<br>- At $x=1$: $f'(1) = \frac{-3}{3} < 0$<br>- At $x=2$: $f'(2) = \frac{2}{3 \cdot 2^{1/3}} > 0$
5. 分类：在$x=0$处，$f'$由正变负 → $(0, 0)$处为相对极大值。在$x=8/5$处，$f'$由负变正 → $(1.6, \approx -3.28)$处为相对极小值。

> **考试提示:** 在将$f'$不存在的点称为临界点之前，一定要确认该点在$f$的定义域中。

## 端点极值的一阶导数判别法

在闭区间$[a, b]$上，端点$x=a$和$x=b$可以是相对极值，因为定义相对极值时我们只考虑区间内的函数值。一阶导数判别法可以自然推广到端点，只需检查端点内侧$f'$的符号即可：

- Left endpoint $x=a$: If $f'(x) < 0$ just right of $a$, $f(a)$ is a relative maximum. If $f'(x) > 0$ just right of $a$, $f(a)$ is a relative minimum.
- Right endpoint $x=b$: If $f'(x) > 0$ just left of $b$, $f(b)$ is a relative maximum. If $f'(x) < 0$ just left of $b$, $f(b)$ is a relative minimum.

**例题:** Find all relative extrema of $f(x) = 2x^3 - 3x^2$ on the closed interval $[-1, 2]$, including endpoints.

1. Find interior critical points: $f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$, so interior critical points at $x=0$ and $x=1$.
2. Sign analysis for interior points: Intervals $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$. Testing gives $f'(-0.5) > 0$, $f'(0.5) < 0$, $f'(1.5) > 0$. So $x=0$ is a relative maximum, $x=1$ is a relative minimum.
3. Classify endpoints: Left endpoint $x=-1$ has $f'(x)$ positive just right of $-1$, so $f$ increases away from $x=-1$ → relative minimum at $(-1, -5)$. Right endpoint $x=2$ has $f'(x)$ positive just left of $2$, so $f$ increases towards $x=2$ → relative maximum at $(2, 4)$.
4. Final result: Relative minima at $(-1, -5)$ and $(1, -1)$; relative maxima at $(0, 0)$ and $(2, 4)$.

> **考试提示:** When asked to find all relative extrema on a closed interval, don't forget to classify endpoints—this is a common AP exam point trap.

## AP风格的额外例题

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. Let $f(x) = \sin x + \cos x$ on the interval $[0, 2\pi]$. How many relative extrema does $f$ have on this interval, including endpoints?

   - 1
   - 2
   - 3
   - 4

   *解析:* 回答正确：共有2个内部极值加上2个端点极值，总计4个。如果你得到2，说明你忘记对端点分类了。

**例题:** Let $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$.
(a) Find all critical points of $f$. Justify your answer.
(b) Classify each critical point as a relative maximum, relative minimum, or neither using the First Derivative Test. Justify your answer.
(c) Identify all relative extrema of $f$ on the interval $[0, 4]$, including endpoints.

1. (a) Use the quotient rule to compute the first derivative:

   $$f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$$
2. The domain of $f$ excludes $x=2$, so even though $f'$ is undefined at $x=2$, it is not a critical point. $f'(x)=0$ at $x=0$ and $x=4$, both in the domain of $f$, so critical points are $x=0$ and $x=4$.
3. (b) The denominator $(x-2)^2$ is always positive for $x \neq 2$, so the sign of $f'$ matches the sign of $x(x-4)$. Testing intervals: $f'>0$ for $x<0$, $f'<0$ for $0<x<2$ and $2<x<4$, and $f'>0$ for $x>4$. At $x=0$, $f'$ changes from positive to negative → relative maximum. At $x=4$, $f'$ changes from negative to positive → relative minimum.
4. (c) On $[0,4]$, endpoints are $x=0$ and $x=4$, which we already classified, and $x=2$ is not in the domain. The relative extrema are: relative maximum at $(0, 0)$ and relative minimum at $(4, 8)$.

**例题:** A small business models its daily profit from selling $x$ units of a product as $P(x) = -0.001x^3 + 0.12x^2 + 3x - 80$, where $P(x)$ is measured in dollars, and $0 \leq x \leq 100$. Use the First Derivative Test to find the production level that gives a relative maximum daily profit, and interpret your result.

1. Compute the first derivative:

   $$P'(x) = -0.003x^2 + 0.24x + 3$$
2. Find critical points: Set $P'(x)=0$, which simplifies to $x^2 - 80x - 1000 = 0$. Solving with the quadratic formula gives one positive critical point at $x \approx 91$, which is inside the interval $[0, 100]$.
3. Sign analysis: Test $x=10$: $P'(10) = 5.1 > 0$. Test $x=95$: $P'(95) \approx -1.28 < 0$.
4. Classification: $P'$ changes from positive to negative at $x \approx 91$, so this is a relative maximum. $P(91) \approx 482$ dollars.
5. Interpretation: Producing approximately 91 units per day gives the business a relative maximum daily profit of roughly \$482.

## 常见错误

- **错误做法:** 将$f'(c)$不存在且$f(c)$也不存在的$x=c$称为临界点
  - 原因: 学生自动将任何$f'$不存在的点标记为临界点，而不检查$f$的定义域
  - 正确做法: 对于任何$f'$不存在的点，在将其标记为待测试的临界点之前，确认$f(c)$存在
- **错误做法:** 仅通过说明$f'(c) = 0$来证明相对极值存在，而不提及$f'$的符号变化
  - 原因: 学生混淆了临界点的条件和极值的证明要求
  - 正确做法: 在所有自由作答题中，明确说明$c$周围一阶导数的符号变化，才能获得全部证明分数
- **错误做法:** 在闭区间上求解时，忘记检查端点处的相对极值
  - 原因: 学生学到临界点是内点，因此在分类相对极值时完全忽略端点
  - 正确做法: 当定义域给定为闭区间时，一定要将端点添加到需要用推广的一阶导数判别法分类的点列表中
- **错误做法:** 因为测试点的$f'$值为零就得出符号没有变化的结论
  - 原因: 学生有时会不小心测试了临界点而非区间内的点，得到导数为零，错误得出符号不变的结论
  - 正确做法: 测试两个临界点之间的区间时，一定要选择严格在区间内部的测试点，不要等于任何一个临界点
- **错误做法:** 分类极值时使用$f(test\ point)$的符号而非$f'(test\ point)$的符号
  - 原因: 学生在考试日快速解题时会混淆函数值和导数值
  - 正确做法: 符号分析时，始终明确计算$f'(test\ point)$的符号，而非$f(test\ point)$的符号

## 速查表

| 分类 | 规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 内部临界点 | $c$ is critical if: $f'(c)=0$ **or** ($f'(c)$ undefined and $f(c)$ defined) | Only interior domain points count as critical points |
| 内部相对极大值 | $f'(x) > 0$ left of $c$, $f'(x) < 0$ right of $c$ | Works for all critical points, including where $f'(c)$ is undefined |
| 内部相对极小值 | $f'(x) < 0$ left of $c$, $f'(x) > 0$ right of $c$ | Same broad applicability as the maximum rule |
| No Relative Extremum | $f'(x)$ has the same sign on both sides of $c$ | Common for horizontal inflection points like $f(x)=x^3$ at $x=0$ |
| 左端点相对极大值 | $f'(x) < 0$ just right of $a$ | 函数远离端点递减 |
| 左端点相对极小值 | $f'(x) > 0$ just right of $a$ | 函数远离端点递增 |
| 右端点相对极大值 | $f'(x) > 0$ just left of $b$ | 函数向端点递增 |
| 右端点相对极小值 | $f'(x) < 0$ just left of $b$ | 函数向端点递减 |

## 下一步

一阶导数判别法是AP微积分BC中所有极值和曲线绘图后续学习的基础工具。掌握符号分析和极值分类的证明方法，是获得许多占总分很大比例的自由作答题满分的必要条件。掌握本主题后，你接下来将学习极值的二阶导数判别法，这是一种对二阶导数存在且非零的临界点进行分类的替代方法。你还会应用一阶导数判别法寻找闭区间上的绝对极值，这是一个常见的FRQ考点，并为曲线绘图和优化问题打下基础。本主题也是本课程后续参数和极坐标背景下运动分析的基础。

- [绝对极值候选点测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-candidates-test-for-absolute-extrema/)
- [凹凸性的判定](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-determining-concavity/)
- [二阶导数测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-second-derivative-test/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-first-derivative-test-for-relative/