极值定理、全局极值与局部极值、临界点

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 微分的分析应用· 14 分钟阅读

1. 临界点★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

临界点

区间 $I$ 的内点 $c$

满足 $f^{'} (c) = 0$ 或 $f^{'} (c)$ 不存在，且 $c$ 属于原函数 $f$ 定义域的点。

例:

对于 $f (x) = x^{3}$ ， $x = 0$ 是临界点，因为 $f^{'} (0) = 0$ 。

这个定义源自费马定理：若函数 $f$ 在内点 $c$ 处取得局部极值，则 $c$ 必为临界点。一个常见误区是认为所有临界点都是极值，这并不正确： $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处是临界点，但它不是极值。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2/3} (4 - x)$ 在区间 $[- 1, 4]$ 上的所有临界点。

1
使用乘积法则计算一阶导数：
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3}(4 - x) + x^{2/3}(-1)$
2
提取公因子 $\frac{1}{3} x^{- 1/3}$ 化简导数：
$f'(x) = \frac{2(4 - x) - 3x}{3x^{1/3}} = \frac{8 - 5x}{3x^{1/3}}$
3
$f^{'} (x) = 0$ 当且仅当分子等于0: $8 - 5 x = 0 ⟹ x = \frac{8}{5} = 1.6$ ，该点是 $[- 1, 4]$ 的内点且在 $f$ 的定义域内。当分母等于0时 $f^{'} (x)$ 无定义：即 $x = 0$ ，该点同样是内点且在 $f$ 的定义域内。
4
$[- 1, 4]$ 上的临界点为 $x = 0$ 和 $x = \frac{8}{5}$ 。

2. 极值定理★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

极值定理 (EVT)

若满足以下两个条件，该存在性定理保证函数在区间上至少存在一个全局最大值和一个全局最小值：(1) 函数在区间上每一点都连续，(2) 区间是闭有界区间（长度有限且包含两个端点）。极值定理仅确认极值存在，并不说明如何找到它们。

若任意一个条件不满足，极值定理就不能保证全局极值存在。极值可能偶然存在，但你不能依靠该定理确认它们的存在。例如， $f (x) = 1/ x$ 在开区间 $(0, 1)$ 上连续，但没有全局最大值。

📐 例题

对于 $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 1}$ ，极值定理是否能保证它在(a) $[0, 2]$ (b) $[2, 4]$ 上存在全局最大值和全局最小值？证明你的结论。

1
找出 $f (x)$ 的所有间断点：作为有理函数，它在分母为0处间断：
$x^2 - 1 = 0 \implies x = 1, x = -1$
2
对于区间(a) $[0, 2]$ : $x = 1$ 是 $[0, 2]$ 的内点，因此 $f (x)$ 在整个区间上不连续。极值定理的一个条件被违反，因此极值定理不能保证 $[0, 2]$ 上存在全局最大值或最小值。
3
对于区间(b) $[2, 4]$ : $f (x)$ 的所有间断点都不在这个区间内，且 $[2, 4]$ 是闭有界区间。极值定理的两个条件都满足，因此极值定理保证 $[2, 4]$ 上存在全局最大值和全局最小值。

3. 局部极值与全局（绝对）极值★★★☆☆⏱ 4 min

极值根据它是哪个区间上的最值来分类。AP考试经常考查这两种分类的关键区别：

全局（绝对）最大值: 满足 $f (c) \geq f (x)$ 对区间 $I$ 中所有 $x$ 成立的函数值 $f (c)$ 。
全局（绝对）最小值: 满足 $f (c) \leq f (x)$ 对区间 $I$ 中所有 $x$ 成立的函数值 $f (c)$ 。
局部（相对）最大值: 满足 $f (c) \geq f (x)$ 对 $c$ 附近某个小开区间内所有 $x$ 成立的函数值 $f (c)$ （仅考虑附近点，而非整个区间）。
局部（相对）最小值: 满足 $f (c) \leq f (x)$ 对 $c$ 附近某个小开区间内所有 $x$ 成立的函数值 $f (c)$ 。

AP常考的关键区别：

全局极值可以出现在临界点或端点，但局部极值仅出现在内临界点（端点不能是局部极值，因为定义域内无法包含端点周围的开区间）。
一个函数可以有多个局部极值，但只有一个全局最大值和一个全局最小值（尽管这些值可以出现在多个点上）。
任何内点处的全局极值自动是局部极值，但端点处的全局极值永远不是局部极值。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 定义在 $[- 1, 4]$ 上，临界点在 $x = 0$ 和 $x = 2$ ，将所有极值分类为局部或全局。

1
根据闭区间法，在所有临界点和端点处计算 $f (x)$ 的值：
$f(-1) = -3, \quad f(0) = 1, \quad f(2) = -3, \quad f(4) = 17$
2
识别全局极值：所有点中的最大值是 $x = 4$ （端点）处的17，因此这是全局最大值。最小值是 $x = - 1$ （端点）和 $x = 2$ （内临界点）处的 $- 3$ ，因此它们都是全局最小值。
3
分类局部极值：只有内点可以是局部极值。 $f (0) = 1$ 大于所有附近点的值，因此它是局部最大值。 $f (2) = - 3$ 小于所有附近点的值，因此它是局部最小值（同时也是全局极值）。端点 $x = - 1$ 和 $x = 4$ 不归类为局部极值。
4
最终分类：全局最大值 = $x = 4$ 处的17；全局最小值 = $x = - 1$ 、 $x = 2$ 处的 $- 3$ ；局部最大值 = $x = 0$ 处的1；局部最小值 = $x = 2$ 处的 $- 3$ 。

4. AP风格练习例题★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你对核心概念的理解：

以下哪个函数在 $[- 2, 2]$ 上满足极值定理的两个条件，且在该区间上恰好有两个临界点？
- $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 1}$
- $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$
- $f (x) = e^{- x^{2}}$
- $f (x) = x + 2$
显示答案
1 —
正确。 $f (x)$ 是多项式（处处连续，因此极值定理适用），临界点在 $x = 1$ 和 $x = - 1$ ，恰好有两个临界点。选项A在 $x = \pm 1$ 处间断，因此极值定理不适用；选项C仅在 $x = 0$ 处有一个临界点；选项D没有内临界点。

📐 例题

设 $f (x) = x ln x$ 定义在 $x > 0$ ，考虑区间 $[\frac{1}{2}, 4]$ 。(a) 找出所有临界点，(b) 证明极值定理是否适用，(c) 将所有极值分类。

1
找临界点：使用乘积法则计算导数：
$f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
2
令 $f^{'} (x) = 0$ : $ln x = - 1 ⟹ x = 1/ e \approx 0.368$ ，该点在区间 $[\frac{1}{2}, 4]$ 外。 $f^{'} (x)$ 对所有 $x > 0$ 都有定义，因此区间内没有内临界点。
3
检查极值定理条件： $f (x) = x ln x$ 对所有 $x > 0$ 连续，因此它在整个闭有界区间 $[\frac{1}{2}, 4]$ 上连续。两个条件都满足，因此极值定理保证全局极值存在。
4
最终结果：全局最大值 = $x = 4$ 处的 $8 ln 2$ ，全局最小值 = $x = 1/2$ 处的 $- \frac{l n 2}{2}$ ，没有局部极值。

5. 常见陷阱

错误做法:

将区间端点称为临界点。

原因:

学生把检查端点找全局极值的要求，和临界点要求点是区间内点的定义混淆了。

正确做法:

找全局极值时，始终分开维护两个列表：一个是内临界点列表，一个是端点列表；永远不要把端点加入临界点列表。

错误做法:

断言极值定理适用于开区间上的连续函数，或闭区间上的不连续函数。

原因:

学生只记住了'极值定理给出极值'，却忘记应用该定理需要两个条件都满足。

正确做法:

对于任何极值定理应用题，在得出结论前，依次明确检查'整个区间上连续'和'闭有界区间'这两个条件。

错误做法:

找临界点时，只找 $f^{'} (x) = 0$ 的点，忽略 $f^{'} (x)$ 无定义的点。

原因:

大多数入门例题使用处处可导的多项式，因此学生忘记了临界点定义的第二部分。

正确做法:

解出 $f^{'} (x) = 0$ 后，一定要检查哪里 $f^{'} (x)$ 无定义，然后确认这些点是内点且在 $f$ 的定义域内，再将它们加入临界点列表。

错误做法:

将端点处的全局极值分类为局部极值。

原因:

学生假设所有全局极值自动是局部极值，但局部极值的定义要求定义域内存在该点周围的开区间。

正确做法:

如果极值在给定区间的端点处，若符合条件仅标记为全局极值，永远不要称为局部极值。

错误做法:

假设每个临界点自动是局部极值。

原因:

学生错误地认为费马定理双向成立，但费马定理只说所有局部极值都在临界点，反过来不成立。

正确做法:

一定要用一阶或二阶导数测试检验临界点，确认它是极值，不要跳过这一步。

6. 速查表

类别	法则/定义	注释
临界点定义	函数 $f$ 定义域内的内点 $c$ : $f^{'} (c) = 0$ OR $f^{'} (c)$ 不存在	只有内点算数，端点永远不是临界点
费马定理	若 $f$ 在内点 $c$ 处取得局部极值，则 $c$ 是临界点	逆命题不成立：不是所有临界点都是极值
极值定理	若 $f$ 在闭有界 $[a, b]$ 上连续， $f$ 在 $[a, b]$ 上至少有一个全局最大值和一个全局最小值	若 $f$ 在区间上任意点间断，或区间是开区间/无界，则定理不成立
全局最大值	$f (c) \geq f (x)$ for all $x \in I$	可以出现在临界点或端点；只有一个全局最大值（可出现在多个点）
全局最小值	$f (c) \leq f (x)$ for all $x \in I$	和全局最大值一样，可以出现在端点或临界点
局部最大值	$f (c) \geq f (x)$ for all $x$ in an open interval around $c$	仅出现在内临界点，永远不出现在端点
局部最小值	$f (c) \leq f (x)$ for all $x$ in an open interval around $c$	和局部最大值一样，永远不出现在端点
闭区间法	找出 $(a, b)$ 内所有临界点 2. Evaluate $f$ at critical points and endpoints 3. Largest = global max, smallest = global min	AP考试中求闭区间上全局极值问题的标准方法

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
验证极值定理条件
2022 · FRQ
求区间上的全局极值

下一步

本主题是AP微积分BC所有微分分析应用进一步学习的基础第一步。掌握这些概念后，你接下来会学习中值定理和罗尔定理，和极值定理一样，它们也依赖于正确检验函数在区间上的连续性条件。接下来你会学习一阶导数测试和二阶导数测试，将临界点分类为局部极值，而你首先需要正确识别临界点、理解局部和全局极值的区别才能进行这些操作。整个单元的最终目标是约束优化问题，你会用到本主题的方法来求区间上实际问题函数的最大值或最小值。