利用幂法则求一阶导数：

求$f^{\prime }(x)=0$的点（$f^{\prime }$是多项式，处处可导）：

这些临界点将$f$的定义域（全体实数）分割为三个开区间。

在每个区间内测试$f^{\prime }$的符号：$f^{\prime }(0)=2>0$，$f^{\prime }(1)=-1<0$，$f^{\prime }(2)=2>0$。

最终结果：递增区间为$\left(-\infty ,1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},\infty \right)$；递减区间为$\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。

$f$的定义域：$x\ne 2$，即$(-\infty ,2)\cup (2,\infty )$。

用商法则计算$f^{\prime }(x)$，再因式分解：

确定分割点：$f^{\prime }(x)=0$在$x=0$和$x=4$处成立，这两个点都在$f$的定义域内，因此是临界点。$f^{\prime }(x)$在$x=2$处不存在，$x=2$不在$f$的定义域内，因此是定义域间断点，不是临界点。排序后的分割点：$0,2,4$。

分割为区间：$(-\infty ,0),(0,2),(2,4),(4,\infty )$。

在每个区间测试$f^{\prime }$的符号：$f^{\prime }(-1)=5/9>0$，$f^{\prime }(1)=-3<0$，$f^{\prime }(3)=-3<0$，$f^{\prime }(5)=5/9>0$。

最终结果：递增区间为$(-\infty ,0)\cup (4,\infty )$；递减区间为$(0,2)\cup (2,4)$。

计算导数：对所有$t$都有$\frac{dx}{dt}=e^t>0$，因此$x(t)$严格递增，$t$和$x$之间是一一映射。

计算$\frac{dy}{dx}$：

求$\frac{dy}{dx}=0$的点：分子在$t=-1$和$t=1$处为零。分母$e^t$始终为正，因此$\frac{dy}{dx}$的符号与$t^2-1$的符号一致。

分割为$t$的区间：$(-\infty ,-1)$，$(-1,1)$，$(1,\infty )$。$\frac{dy}{dx}>0$在$(-\infty ,-1)$和$(1,\infty )$上成立。

利用$x=e^t$转换为$x$的区间：当$t<-1$时，$x<e^{-1}=1/e$；当$t>1$时，$x>e$。

最终结果：$y(x)$在$\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right)\cup (e,\infty )$上递增。

用乘积法则计算$f^{\prime }(x)$：

$e^{-2x}$对所有实数$x$始终为正，因此$f^{\prime }(x)$的符号只由$(1-2x)$决定。令$f^{\prime }(x)=0$得$x=1/2$。

对所有$x<1/2$，$1-2x>0$，因此$f^{\prime }(x)>0$，说明$f(x)$递增。对$x>1/2$，$f^{\prime }(x)<0$，因此$f(x)$递减。正确答案是B。

(a) 用商法则求导：

(b) $f(x)$对所有$x>0$有定义且连续，$f^{\prime }(x)$对所有$x>0$有定义。令$f^{\prime }(x)=0$，得$1-\ln x=0⟹x=e$。将定义域分割为$(0,e)$和$(e,\infty )$。符号测试得：在$(0,e)$上$f^{\prime }(1)=1>0$，在$(e,\infty )$上$f^{\prime }(e^2)=-1/e^4<0$。最终答案：递增区间为$(0,e)$，递减区间为$(e,\infty )$。

(c) $f(x)=\frac{\ln x}{x}$在$(0,\infty )$上连续，在$(0,\infty )$内所有开区间上可导，因此适用单调性定理。对所有$x\in (0,e)$都有$f^{\prime }(x)>0$，因此$f$在$(0,e)$上递增。对所有$x\in (e,\infty )$都有$f^{\prime }(x)<0$，因此$f$在$(e,\infty )$上递减。