# 确定函数单调递增/递减的区间

> AP 微积分 BC · CED 第5单元：微分的分析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-determining-intervals-where-a-function/

本子主题讲解利用一阶导数求函数单调递增/递减区间的核心分析方法，包含该方法在显函数、有理函数和参数函数中的应用，以及获得满分所需符合的AP特定论证规范。

**先修:** [计算一阶导数（乘积法则、商法则、链式法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-differentiation-rules/); 求解多项式不等式和有理不等式; 求函数的定义域

## 学习目标

- 陈述递增/递减函数和单调性定理的定义
- 构造符号表求显函数的单调递增/递减区间
- 将该方法应用于AP微积分BC要求掌握的参数函数
- 为AP自由问答题正确论证结果，避免常见错误

## 核心定义与单调性定理

若对区间$I$内任意两点$x_1 < x_2$都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上递增。若$x_1 < x_2$能推出$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数在$I$上递减。在一个区间上整体递增或整体递减的函数称为*单调*函数，这个术语可能会出现在AP考试中。

**单调性定理** — 若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，则：1. 若对所有$x \in (a,b)$都有$f'(x) > 0$，则$f(x)$在$[a,b]$上递增；2. 若对所有$x \in (a,b)$都有$f'(x) < 0$，则$f(x)$在$[a,b]$上递减。

*例:* 导数为正意味着切线斜率为正，因此函数从左到右上升。

**例题:** 求$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$所有单调递增和递减的开区间。

1. 利用幂法则求一阶导数：

   $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$
2. 求$f'(x) = 0$的点（$f'$是多项式，处处可导）：

   $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$
3. 这些临界点将$f$的定义域（全体实数）分割为三个开区间。
4. 在每个区间内测试$f'$的符号：$f'(0) = 2 > 0$，$f'(1) = -1 < 0$，$f'(2) = 2 > 0$。
5. 最终结果：递增区间为$\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$；递减区间为$\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。

> **考试提示:** 在AP自由问答题（FRQ）中，你必须明确说明$f'(x) > 0$（或$<0$）来论证你的区间——如果只给出区间不提及导数符号，会被扣分。

## 临界点与符号表的构造

$f'(x)$的符号只能在*临界点*和*定义域间断点*处改变。$f$的临界点是原函数$f$定义域内满足$f'(c) = 0$或$f'(c)$不存在的点$x=c$。定义域间断点（不在$f$定义域内、$f'$不存在的点）不算临界点，但它们仍然会将定义域分割为独立区间，必须包含在符号表中。

1. 求原函数$f$的定义域。
2. 计算$f'(x)$并完全因式分解。
3. 从左到右按顺序列出所有临界点和定义域间断点。
4. 将定义域分割为相邻有序点之间的开区间。
5. 在每个区间内测试$f'(x)$的符号，再根据符号判断区间是递增还是递减。

**例题:** 求$f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$所有单调递增和递减的开区间。

1. $f$的定义域：$x \neq 2$，即$(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$。
2. 用商法则计算$f'(x)$，再因式分解：

   $$f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$$
3. 确定分割点：$f'(x) = 0$在$x=0$和$x=4$处成立，这两个点都在$f$的定义域内，因此是临界点。$f'(x)$在$x=2$处不存在，$x=2$不在$f$的定义域内，因此是定义域间断点，不是临界点。排序后的分割点：$0, 2, 4$。
4. 分割为区间：$(-\infty, 0), (0, 2), (2, 4), (4, \infty)$。
5. 在每个区间测试$f'$的符号：$f'(-1) = 5/9 > 0$，$f'(1) = -3 < 0$，$f'(3) = -3 < 0$，$f'(5) = 5/9 > 0$。
6. 最终结果：递增区间为$(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$；递减区间为$(0, 2) \cup (2, 4)$。

> **考试提示:** 构造符号表前一定要将$f'(x)$完全因式分解。因式分解后你可以单独判断每个项的符号，让符号测试变得非常简单，不需要为每个测试点重新计算整个导数。

## 参数函数的单调区间

AP微积分BC要求将该方法应用于参数曲线。对于由$x(t)$和$y(t)$定义的参数曲线，$y$对$x$的斜率为$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$。同样的单调性判定法则适用：$\frac{dy}{dx} > 0$意味着曲线作为$x$的函数是递增的，$\frac{dy}{dx} < 0$意味着是递减的。

若$x(t)$严格单调（始终递增或始终递减），则每个$t$的区间与$x$的区间一一对应，因此你可以将$t$区间的端点代入$x(t)$，把区间从$t$转换为$x$。如果题目要求的是$t$的区间，你可以保留$t$的形式作答。

**例题:** 已知参数曲线$x(t) = e^t$，$y(t) = t^3 - 3t$对全体实数$t$有定义，求$y(x)$所有递增的$x$区间。

1. 计算导数：对所有$t$都有$\frac{dx}{dt} = e^t > 0$，因此$x(t)$严格递增，$t$和$x$之间是一一映射。
2. 计算$\frac{dy}{dx}$：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2 - 3}{e^t} = \frac{3(t^2 - 1)}{e^t}$$
3. 求$\frac{dy}{dx} = 0$的点：分子在$t=-1$和$t=1$处为零。分母$e^t$始终为正，因此$\frac{dy}{dx}$的符号与$t^2 - 1$的符号一致。
4. 分割为$t$的区间：$(-\infty, -1)$，$(-1, 1)$，$(1, \infty)$。$\frac{dy}{dx} > 0$在$(-\infty, -1)$和$(1, \infty)$上成立。
5. 利用$x=e^t$转换为$x$的区间：当$t < -1$时，$x < e^{-1} = 1/e$；当$t > 1$时，$x > e$。
6. 最终结果：$y(x)$在$\left(-\infty, \frac{1}{e}\right) \cup (e, \infty)$上递增。

> **考试提示:** 一定要仔细读题，确认题目要求的是$t$的区间还是$x$的区间。需要转换时忘记从$t$转换为$x$是常见的失分错误。

## AP风格的练习例题

**例题:** 下列哪个选项给出了$f(x) = x e^{-2x}$所有递增的开区间？<br>A) $\left(0, \frac{1}{2}\right)$<br>B) $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$<br>C) $\left(\frac{1}{2}, \infty\right)$<br>D) $f(x)$从不递增

1. 用乘积法则计算$f'(x)$：

   $$f'(x) = e^{-2x} + x(-2e^{-2x}) = e^{-2x}(1 - 2x)$$
2. $e^{-2x}$对所有实数$x$始终为正，因此$f'(x)$的符号只由$(1 - 2x)$决定。令$f'(x) = 0$得$x = 1/2$。
3. 对所有$x < 1/2$，$1 - 2x > 0$，因此$f'(x) > 0$，说明$f(x)$递增。对$x > 1/2$，$f'(x) < 0$，因此$f(x)$递减。正确答案是B。

**例题:** 设$x > 0$时$f(x) = \frac{\ln x}{x}$。<br>(a) 求$f'(x)$。<br>(b) 求$f(x)$所有单调递增和递减的开区间。<br>(c) 用单调性定理论证你的答案。

1. (a) 用商法则求导：

   $$f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)(x) - (\ln x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
2. (b) $f(x)$对所有$x > 0$有定义且连续，$f'(x)$对所有$x > 0$有定义。令$f'(x) = 0$，得$1 - \ln x = 0 \implies x = e$。将定义域分割为$(0, e)$和$(e, \infty)$。符号测试得：在$(0,e)$上$f'(1) = 1 > 0$，在$(e, \infty)$上$f'(e^2) = -1/e^4 < 0$。最终答案：递增区间为$(0, e)$，递减区间为$(e, \infty)$。
3. (c) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$在$(0, \infty)$上连续，在$(0, \infty)$内所有开区间上可导，因此适用单调性定理。对所有$x \in (0,e)$都有$f'(x) > 0$，因此$f$在$(0,e)$上递增。对所有$x \in (e, \infty)$都有$f'(x) < 0$，因此$f$在$(e, \infty)$上递减。

## 常见错误

- **错误做法:** 因为$f'(2)$不存在，就将$x=2$称为$f(x) = \frac{x^2}{x-2}$的临界点。
  - 原因: 临界点的定义要求该点在原函数的定义域内。
  - 正确做法: 在将$f'$不存在的点标记为临界点前，一定要检查该点是否在$f$的定义域内；即使定义域间断点不是临界点，也要将它们包含在符号表中。
- **错误做法:** 在分割点本身而不是区间内部测试$f'(x)$的符号。
  - 原因: 分割点处$f'(x)$为零或不存在，因此在这里测试无法得到区间上$f'$符号的任何信息。
  - 正确做法: 检查$f'$的符号时，一定要在每个开区间内部严格选取测试点。
- **错误做法:** 将不相邻的递增区间合并为一个连通区间，例如将递增区间写成$(-\infty, 4)$而非$(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$。
  - 原因: 临界点和定义域间断点分割了定义域，导数符号在不相邻区间之间可能发生改变。
  - 正确做法: 只合并$f'$符号相同的相邻区间。
- **错误做法:** 在自由问答题中，通过描述图像'上升'来论证递增区间，而不提及导数符号。
  - 原因: AP考试要求分析性论证而非图像直观才能给满分。
  - 正确做法: 对于递增区间，一定要用'区间内所有$x$都满足$f'(x) > 0$'来论证；对于递减区间，一定要用'区间内所有$x$都满足$f'(x) < 0$'来论证。
- **错误做法:** 不对$(x-2)^2$因式分解，错误地给分母中的它赋予负号。
  - 原因: 任何实数的平方都是非负的，因此它不会改变导数的符号。
  - 正确做法: 一定要将$f'(x)$完全分解为一次项，注意平方项（除根外）始终为正，因此不会改变$f'$的符号。

## 速查表

| 类别 | 法则/公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 递增函数定义 | $x_1 < x_2 \in I \implies f(x_1) < f(x_2)$ | 适用于任意区间、任意函数 |
| 递减函数定义 | $x_1 < x_2 \in I \implies f(x_1) > f(x_2)$ | 适用于任意区间、任意函数 |
| 单调性定理 | $f'(x) > 0 \implies f$递增；$f'(x) < 0 \implies f$递减 | 要求$f$在$I$上连续，在内部可导 |
| 临界点定义 | $x=c$是临界点当且仅当$c \in \text{dom}(f)$且$f'(c)=0$或$f'(c)$不存在 | 非定义域点不是临界点，但仍分割定义域 |
| 参数曲线斜率 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ | $\frac{dy}{dx}$为正当$dy/dt$与$dx/dt$同号 |
| 符号测试法则 | 每个开区间测试一个点的$f'$符号 | $f'$只能在分割点处改变符号 |
| FRQ论证（递增） | 说明区间内所有$x$都满足$f'(x) > 0$ | 图像描述不能获得满分 |
| FRQ论证（递减） | 说明区间内所有$x$都满足$f'(x) < 0$ | 图像描述不能获得满分 |

## 下一步

本主题是第5单元中所有进一步分析函数性质的基础先修内容，掌握它是正确求解几乎所有后续微分分析问题的前提。接下来，你会把求单调区间的能力应用于局部极值分类的一阶导数检验；如果不能正确识别临界点两侧的导数符号，你就无法正确分类极值，这会在选择题和自由问答题中都造成失分。本主题还介绍了符号表法，你会直接复用这个方法求凹区间和拐点，它也是所有约束优化问题的第一步。从更宏观的角度看，这个技能是所有情境问题的核心，从物理运动问题到经济利润模型，只要你需要分析函数在定义域上的变化，就会用到它。

- [一阶导数判别法判断相对极值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-first-derivative-test-for-relative/)
- [绝对极值候选点测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-candidates-test-for-absolute-extrema/)
- [凹凸性的判定](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-determining-concavity/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-determining-intervals-where-a-function/