凹凸性的判定

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Analytical Applications of Differentiation· 14 分钟阅读

1. 凹凸性的核心定义与二阶导数法则★★☆☆☆⏱ 4 min

凹凸性描述函数图像在区间内相对于切线的弯曲方向。该知识点占AP微积分BC考试分值的4-6%，会同时出现在选择题和自由问答题中，几乎总是与曲线绘图和极值分类结合考察。

📘 定义

凹凸性

凹凸性根据一阶导数的变化趋势描述函数的弯曲方向：若 $f^{'}$ 在区间内单调递增，则函数凹向上；若 $f^{'}$ 在区间内单调递减，则函数凹向下。AP考试仅使用「凹向上」和「凹向下」的表述。

例:

开口向上的抛物线 $f (x) = x^{2}$ 在全体定义域上都是凹向上，而开口向下的抛物线 $f (x) = - x^{2}$ 在全体定义域上都是凹向下。

\begin{align*} f \text{ is concave up on } I &\iff f''(x) > 0 \text{ for all } x \in I \\ f \text{ is concave down on } I &\iff f''(x) < 0 \text{ for all } x \in I \end{align*}

📐 例题

利用二阶导数法则证明 $f (x) = 2 e^{2 x} - 12 x$ 在整个定义域上都是凹向上。

1
计算一阶导数：
$f'(x) = 4e^{2x} - 12$
2
计算二阶导数：
$f''(x) = 8e^{2x}$
3
检查 $f^{''} (x)$ 的符号：对任意实数 $x$ ，都有 $e^{2 x} > 0$ ，因此对 $f$ 定义域内的所有 $x$ ，都满足 $8 e^{2 x} > 0$ 。
4
根据二阶导数法则，由于 $f^{''} (x)$ 在全体定义域上都为正，因此 $f (x)$ 在整个定义域上凹向上。

2. 求解凹凸区间★★★☆☆⏱ 4 min

求解凹凸区间的系统流程和求增减区间类似，只不过使用二阶导数进行判定。凹凸性只可能在候选点发生改变：候选点是指位于 $f$ 定义域内，满足 $f^{''} (x) = 0$ 或 $f^{''} (x)$ 无定义的点。

完整计算出 $f^{''} (x)$
找出所有候选点：即 $f$ 定义域内所有满足 $f^{''} (x) = 0$ 或 $f^{''} (x)$ 无定义的 $x$
候选点将 $f$ 的定义域分割为多个待检验的开区间
检验每个区间内 $f^{''} (x)$ 的符号：正号对应凹向上，负号对应凹向下

📐 例题

求 $f (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 2$ 的所有凹凸区间。

1
计算导数：
$f'(x) = x^2 - 2x - 3 \implies f''(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)$
2
找候选点： $f^{''} (x)$ 对所有实数 $x$ 都有定义，令 $f^{''} (x) = 0$ 得 $x = 1$ ，该点将定义域分为两个待检验区间： $(- \infty, 1)$ 和 $(1, \infty)$ 。
3
检验 $f^{''}$ 的符号：在区间 $(- \infty, 1)$ 中取检验点 $x = 0$ ，得 $f^{''} (0) = - 2 < 0$ ；在区间 $(1, \infty)$ 中取检验点 $x = 2$ ，得 $f^{''} (2) = 2 > 0$ 。
4
判定凹凸性： $f (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ 上凹向下，在 $(1, \infty)$ 上凹向上。

3. 识别并验证拐点★★★☆☆⏱ 3 min

拐点是函数 $f$ 图像上凹凸性发生改变的点。一个常见误区是认为所有满足 $f^{''} (c) = 0$ 的点都是拐点，这并不正确：只要 $c$ 在 $f$ 的定义域内，只有 $f^{''}$ 在 $c$ 两侧变号的点才是拐点，哪怕 $f^{''} (c)$ 本身无定义也不例外。

📘 定义

拐点

$f$ 图像上的点 $(c, f (c))$ ，满足 $f$ 的凹凸性在 $x = c$ 两侧发生改变（凹向上变凹向下，或反之）。要求 $c$ 在 $f$ 的定义域内，且 $f^{''}$ 在 $x = c$ 两侧变号。

📐 例题

求 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ 的所有拐点。

1
计算二阶导数：
$f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x \implies f''(x) = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x-1)(x-3)$
2
找候选点： $f^{''}$ 在全体实数上有定义，令 $f^{''} = 0$ 得 $x = 1$ 和 $x = 3$ ，两个点都在 $f$ 的定义域内。
3
检验符号是否改变：在区间 $(- \infty, 1)$ ，得 $f^{''} (- 1) = 96 > 0$ （凹向上）；在区间 $(1, 3)$ ，得 $f^{''} (2) = - 12 < 0$ （凹向下）；在区间 $(3, \infty)$ ，得 $f^{''} (4) = 36 > 0$ （凹向上）。 $f^{''}$ 在 $x = 1$ 和 $x = 3$ 两侧都变号，因此两个点都是拐点。
4
计算纵坐标： $f (1) = 11$ ， $f (3) = 27$ ，因此拐点为 $(1, 11)$ 和 $(3, 27)$ 。

4. AP风格概念检测★★★★☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格的题目检测你的理解程度：

在全体实数范围内， $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 1$ 有多少个不同的凹向上区间？
- 1
- 2
- 3
- 4
显示答案
2 —
正确： $f^{''} (x) = 12 (x - 1) (x + 1)$ ，在两个区间内为正： $(- \infty, - 1)$ 和 $(1, \infty)$ 。
对于 $(c, f (c))$ 是拐点，下列哪一项是必要条件？
- $f^{''} (c) = 0$
- $f^{''}$ 在 $x = c$ 两侧变号
- $f^{'} (c) = 0$
- $f^{''} (c)$ is undefined
显示答案
The sign of $f''$ changes across $x=c$ —
正确： $f^{''} (c) = 0$ 仅让 $x = c$ 成为候选点，凹凸性改变需要 $f^{''}$ 变号。

5. 常见陷阱

错误做法:

认为只要 $f^{''} (c) = 0$ ， $(c, f (c))$ 就一定是拐点

原因:

考生将拐点的常见性质误认为必要条件，忘记了变号是必须满足的要求

正确做法:

在判定 $x = c$ 是拐点之前，一定要检验 $f^{''}$ 在该点两侧是否变号

错误做法:

寻找拐点时，忽略了位于 $f$ 定义域内但 $f^{''} (x)$ 无定义的点

原因:

考生只寻找 $f^{''} (x) = 0$ 的根，忘记了凹凸性改变点也可能是 $f^{''}$ 无定义的点，只要该点在 $f$ 的定义域上

正确做法:

分割待检验区间前，一定要列出 $f$ 定义域内所有满足 $f^{''}$ 为零或无定义的 $x$

错误做法:

用一阶导数的符号而非二阶导数的符号证明凹凸性

原因:

考生混淆了增减性的判定（一阶导数）和凹凸性的判定（二阶导数）

正确做法:

在所有自由问答题的凹凸性证明中，明确指明二阶导数的符号

错误做法:

将不在原函数定义域内的 $x$ 值报告为拐点

原因:

考生找到了 $f^{''}$ 的根，但忘记检验原函数在该点是否有定义

正确做法:

检验拐点前，一定要确认 $x = c$ 在 $f$ 的定义域内

错误做法:

将拐点 $x$ 值包含进去，用闭区间表示凹凸区间

原因:

凹凸性是针对开区间定义的，而非单个点

正确做法:

按照AP考试的要求，报告凹凸区间时总是使用开区间

6. 速查表

类别	法则 / 核心结论	AP考试注意事项
区间 $I$ 上凹向上	$f^{'}$ 递增 $⟺ f^{''} (x) > 0$ for all $x \in I$	图像在切线上方；通过 $f^{''}$ 符号判定
区间 $I$ 上凹向下	$f^{'}$ 递减 $⟺ f^{''} (x) < 0$ for all $x \in I$	图像在切线下方；总是使用开区间
凹凸性改变候选点	All $x$ in domain of $f$ where $f^{''} (x) = 0$ or $f^{''}$ undefined	候选点不自动是拐点；需要变号才能确认
拐点的必要条件	$(c, f (c))$ where concavity changes across $x = c$	要求 $c$ 在 $f$ 定义域内 + $f^{''}$ 变号
求凹凸区间的流程	Compute $f^{''}$ 2. Find candidates 3. Test sign 4. Assign concavity	永远不要忘记检查 $f$ 定义域内 $f^{''} (x)$ 无定义的点
与一阶导数的联系	Concave up $⟺ f^{'}$ increasing; concave down $⟺ f^{'}$ decreasing	用于判断变化率是否递增/递减
AP FRQ 证明方式	" $f$ is concave up on $I$ because $f^{''} (x) > 0$ for all $x \in I$ "	没有指明 $f^{''}$ 符号不得分
报告拐点	Write as ordered pair $(c, f (c))$	Only reporting $x$ -coordinate loses points

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · BC
求函数的拐点
2022 · BC FRQ
在应用场景中证明凹凸性
2021 · BC
求函数的凹凸区间

下一步

凹凸性判定是局部极值二阶导数判定法的直接前置知识，你接下来会学习用该方法将临界点分类为局部极小值或极大值。如果没有扎实掌握如何计算二阶导数并检验其符号，你就无法正确应用这个常见方法，该方法会同时出现在AP考试的选择题和自由问答题部分。除了极值分类，凹凸性还是完整解析绘图的核心工具，而解析绘图是自由问答题中常见的多问题型。凹凸性还会出现在从运动学到经济学的各类应用题中，因此掌握该知识点对考试中所有导数应用题都至关重要。