# 凹凸性的判定

> AP 微积分 BC · 微分的解析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-determining-concavity/

本讲解涵盖凹向上/凹向下的正式定义、凹凸性的二阶导数法则、凹凸区间求解、拐点验证识别，包含符合AP考试要求的例题，面向AP微积分BC备考。

**先修:** 计算显函数和隐函数的一阶、二阶导数; 求解多项式和有理不等式以判断符号变化; 求函数定义域并计算函数值

## 学习目标

- 利用一阶导数变化趋势和二阶导数符号定义凹凸性
- 系统求解可微函数的凹凸区间
- 正确识别并验证拐点
- 写出符合AP自由问答题要求的凹凸性证明

## 凹凸性的核心定义与二阶导数法则

凹凸性描述函数图像在区间内相对于切线的弯曲方向。该知识点占AP微积分BC考试分值的4-6%，会同时出现在选择题和自由问答题中，几乎总是与曲线绘图和极值分类结合考察。

**凹凸性** — 凹凸性根据一阶导数的变化趋势描述函数的弯曲方向：若$f'$在区间内单调递增，则函数凹向上；若$f'$在区间内单调递减，则函数凹向下。AP考试仅使用「凹向上」和「凹向下」的表述。

*例:* 开口向上的抛物线$f(x)=x^2$在全体定义域上都是凹向上，而开口向下的抛物线$f(x)=-x^2$在全体定义域上都是凹向下。

$$\begin{align*} f \text{ is concave up on } I &\iff f''(x) > 0 \text{ for all } x \in I \\ f \text{ is concave down on } I &\iff f''(x) < 0 \text{ for all } x \in I \end{align*}$$

**例题:** 利用二阶导数法则证明$f(x) = 2e^{2x} - 12x$在整个定义域上都是凹向上。

1. 计算一阶导数：

   $$f'(x) = 4e^{2x} - 12$$
2. 计算二阶导数：

   $$f''(x) = 8e^{2x}$$
3. 检查$f''(x)$的符号：对任意实数$x$，都有$e^{2x} > 0$，因此对$f$定义域内的所有$x$，都满足$8e^{2x} > 0$。
4. 根据二阶导数法则，由于$f''(x)$在全体定义域上都为正，因此$f(x)$在整个定义域上凹向上。

> **tip**
>
> 在AP自由问答题（FRQ）中，你必须明确指明二阶导数的符号来证明凹凸性。如果只给出「凹向上」的结论却不给出该依据，会被扣分。

## 求解凹凸区间

求解凹凸区间的系统流程和求增减区间类似，只不过使用二阶导数进行判定。凹凸性只可能在候选点发生改变：候选点是指位于$f$定义域内，满足$f''(x) = 0$或$f''(x)$无定义的点。

1. 完整计算出$f''(x)$
2. 找出所有候选点：即$f$定义域内所有满足$f''(x) = 0$或$f''(x)$无定义的$x$
3. 候选点将$f$的定义域分割为多个待检验的开区间
4. 检验每个区间内$f''(x)$的符号：正号对应凹向上，负号对应凹向下

**例题:** 求$f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 2$的所有凹凸区间。

1. 计算导数：

   $$f'(x) = x^2 - 2x - 3 \implies f''(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)$$
2. 找候选点：$f''(x)$对所有实数$x$都有定义，令$f''(x)=0$得$x=1$，该点将定义域分为两个待检验区间：$(-\infty, 1)$和$(1, \infty)$。
3. 检验$f''$的符号：在区间$(-\infty, 1)$中取检验点$x=0$，得$f''(0) = -2 < 0$；在区间$(1, \infty)$中取检验点$x=2$，得$f''(2) = 2 > 0$。
4. 判定凹凸性：$f(x)$在$(-\infty, 1)$上凹向下，在$(1, \infty)$上凹向上。

> **tip**
>
> 不要忘记检查那些位于$f$定义域内，但$f''(x)$无定义的点。大多数考生只会检查$f''(x)=0$的点，从而漏掉角点、尖点或垂直切线处的凹凸性变化。

## 识别并验证拐点

拐点是函数$f$图像上凹凸性发生改变的点。一个常见误区是认为所有满足$f''(c) = 0$的点都是拐点，这并不正确：只要$c$在$f$的定义域内，只有$f''$在$c$两侧变号的点才是拐点，哪怕$f''(c)$本身无定义也不例外。

**拐点** — $f$图像上的点$(c, f(c))$，满足$f$的凹凸性在$x=c$两侧发生改变（凹向上变凹向下，或反之）。要求$c$在$f$的定义域内，且$f''$在$x=c$两侧变号。

**例题:** 求$f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2$的所有拐点。

1. 计算二阶导数：

   $$f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x \implies f''(x) = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x-1)(x-3)$$
2. 找候选点：$f''$在全体实数上有定义，令$f''=0$得$x=1$和$x=3$，两个点都在$f$的定义域内。
3. 检验符号是否改变：在区间$(-\infty, 1)$，得$f''(-1) = 96 > 0$（凹向上）；在区间$(1,3)$，得$f''(2) = -12 < 0$（凹向下）；在区间$(3, \infty)$，得$f''(4) = 36 > 0$（凹向上）。$f''$在$x=1$和$x=3$两侧都变号，因此两个点都是拐点。
4. 计算纵坐标：$f(1) = 11$，$f(3) = 27$，因此拐点为$(1, 11)$和$(3, 27)$。

> **tip**
>
> AP自由问答题要求将拐点写为有序数对$(x, y)$，不能只写横坐标。一定要计算出$y$值才能拿到满分。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这些AP风格的题目检测你的理解程度：

1. 在全体实数范围内，$f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 1$有多少个不同的凹向上区间？

   - 1
   - 2
   - 3
   - 4

   *解析:* 正确：$f''(x) = 12(x-1)(x+1)$，在两个区间内为正：$(-\infty, -1)$和$(1, \infty)$。

2. 对于$(c, f(c))$是拐点，下列哪一项是必要条件？

   - $f''(c) = 0$
   - $f''$在$x=c$两侧变号
   - $f'(c) = 0$
   - $f''(c)$ is undefined

   *解析:* 正确：$f''(c) = 0$仅让$x=c$成为候选点，凹凸性改变需要$f''$变号。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为只要$f''(c) = 0$，$(c, f(c))$就一定是拐点
  - 原因: 考生将拐点的常见性质误认为必要条件，忘记了变号是必须满足的要求
  - 正确做法: 在判定$x=c$是拐点之前，一定要检验$f''$在该点两侧是否变号
- **错误做法:** 寻找拐点时，忽略了位于$f$定义域内但$f''(x)$无定义的点
  - 原因: 考生只寻找$f''(x) = 0$的根，忘记了凹凸性改变点也可能是$f''$无定义的点，只要该点在$f$的定义域上
  - 正确做法: 分割待检验区间前，一定要列出$f$定义域内所有满足$f''$为零或无定义的$x$
- **错误做法:** 用一阶导数的符号而非二阶导数的符号证明凹凸性
  - 原因: 考生混淆了增减性的判定（一阶导数）和凹凸性的判定（二阶导数）
  - 正确做法: 在所有自由问答题的凹凸性证明中，明确指明二阶导数的符号
- **错误做法:** 将不在原函数定义域内的$x$值报告为拐点
  - 原因: 考生找到了$f''$的根，但忘记检验原函数在该点是否有定义
  - 正确做法: 检验拐点前，一定要确认$x=c$在$f$的定义域内
- **错误做法:** 将拐点$x$值包含进去，用闭区间表示凹凸区间
  - 原因: 凹凸性是针对开区间定义的，而非单个点
  - 正确做法: 按照AP考试的要求，报告凹凸区间时总是使用开区间

## 速查表

| 类别 | 法则 / 核心结论 | AP考试注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 区间$I$上凹向上 | $f'$递增 $\iff f''(x) > 0$ for all $x \in I$ | 图像在切线上方；通过$f''$符号判定 |
| 区间$I$上凹向下 | $f'$递减 $\iff f''(x) < 0$ for all $x \in I$ | 图像在切线下方；总是使用开区间 |
| 凹凸性改变候选点 | All $x$ in domain of $f$ where $f''(x)=0$ or $f''$ undefined | 候选点不自动是拐点；需要变号才能确认 |
| 拐点的必要条件 | $(c, f(c))$ where concavity changes across $x=c$ | 要求$c$在$f$定义域内 + $f''$变号 |
| 求凹凸区间的流程 | 1. Compute $f''$ 2. Find candidates 3. Test sign 4. Assign concavity | 永远不要忘记检查$f$定义域内$f''(x)$无定义的点 |
| 与一阶导数的联系 | Concave up $\iff f'$ increasing; concave down $\iff f'$ decreasing | 用于判断变化率是否递增/递减 |
| AP FRQ 证明方式 | "$f$ is concave up on $I$ because $f''(x) > 0$ for all $x \in I$" | 没有指明$f''$符号不得分 |
| 报告拐点 | Write as ordered pair $(c, f(c))$ | Only reporting $x$-coordinate loses points |

## 下一步

凹凸性判定是局部极值二阶导数判定法的直接前置知识，你接下来会学习用该方法将临界点分类为局部极小值或极大值。如果没有扎实掌握如何计算二阶导数并检验其符号，你就无法正确应用这个常见方法，该方法会同时出现在AP考试的选择题和自由问答题部分。除了极值分类，凹凸性还是完整解析绘图的核心工具，而解析绘图是自由问答题中常见的多问题型。凹凸性还会出现在从运动学到经济学的各类应用题中，因此掌握该知识点对考试中所有导数应用题都至关重要。

- [二阶导数测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-second-derivative-test/)
- [绘制f、f'、f''的图像](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-sketching-graphs-of-f-f/)
- [定性关联f、f'、f''](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-connecting-f-f-f-qualitatively/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-determining-concavity/