绝对极值候选点测试

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Analytical Applications of Differentiation· 14 分钟阅读

1. 候选点测试的核心概念★☆☆☆☆⏱ 3 min

候选点测试（也称为候选点法，对于有界闭区间也称为闭区间法）是一种在指定区间上寻找函数绝对极值的系统步骤。根据极值定理，闭有界区间上的连续函数一定同时存在绝对最大值和绝对最小值。核心思路是：任何绝对极值都只能出现在两类候选点中的一类上。

📘 定义

候选点测试

由定理支撑的步骤：先找出所有绝对极值的潜在位置，在每个候选点计算函数值，再通过比较得到全局最大值和最小值

例:

适用于闭区间、开区间、无界区间和分段函数

2. 在闭有界区间上应用候选点测试★★☆☆☆⏱ 5 min

对于闭有界区间 $[a, b]$ 上的连续函数，步骤十分清晰，在计算完候选点的函数值后不需要额外做局部极值的导数测试。这能在考试中节省时间，减少错误。

找出所有严格位于 $(a, b)$ 内部的 $f (x)$ 临界点。临界点是 $f (x)$ 有定义，且 $f^{'} (x) = 0$ 或 $f^{'} (x)$ 无定义的点。
将端点 $x = a$ 和 $x = b$ 加入候选点列表。
计算列表中每个候选点的 $f (x)$ 值。
最大的值就是绝对最大值，最小的值就是绝对最小值。

📐 例题

求函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ 在区间 $[0, 4]$ 上的绝对最大值和绝对最小值。

1
计算一阶导数：
2
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$
3
$f^{'} (x)$ 在 $(0, 4)$ 内所有点都有定义，因此临界点出现在 $f^{'} (x) = 0$ 处，得到 $x = 1$ 和 $x = 3$ ，都在区间内部。
4
列出所有候选点：端点 $x = 0, x = 4$ ，加上临界点 $x = 1, x = 3$ 。
5
计算每个候选点的 $f$ 值：
6
$f(0) = 2,\quad f(1) = 6,\quad f(3) = 2,\quad f(4) = 6$
7
结论： $f$ 在 $[0, 4]$ 上的绝对最大值为 $6$ （在 $x = 1$ 和 $x = 4$ 处取得），绝对最小值为 $2$ （在 $x = 0$ 和 $x = 3$ 处取得）。

Exam tip:

在AP FRQ中，你不需要先将临界点分类为局部极值，只需计算所有候选点的 $f$ 值再比较即可；这样可以节省时间，避免不必要的错误。

3. 在开区间或无界区间上应用候选点测试★★★☆☆⏱ 5 min

候选点测试可以推广到开区间 $(a, b)$ 或无界区间（如 $(a, \infty)$ 或 $(- \infty, \infty)$ ），只需要做一个关键调整：没有需要计算的端点，因此我们改为计算 $x$ 趋近每个开边界时 $f (x)$ 的极限（对于无界区间包括 $\pm \infty$ ）。和闭区间不同，极值定理不保证绝对极值一定存在，因此测试可以确认极值不存在的情况。一个实用的捷径：如果连续函数在区间上只有一个临界点，且该临界点是局部最大值，那么它一定是该区间上的绝对最大值（局部最小值等于绝对最小值也遵循同样逻辑）。

📐 例题

求 $f (x) = x e^{- x}$ 在区间 $(0, \infty)$ 上的绝对最大值和绝对最小值。

1
$f (x)$ 在 $(0, \infty)$ 上连续，因此可以应用测试。
2
计算导数：
3
$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$
4
$f^{'} (x)$ 对所有 $x > 0$ 都有定义，且仅在 $x = 1$ 处等于零， $x = 1$ 在区间内部。
5
候选点：临界点 $x = 1$ ，加上开边界的极限： $lim_{x \to 0^{+}} x e^{- x} = 0$ ， $lim_{x \to \infty} x e^{- x} = 0$ 。
6
计算 $x = 1$ 处的 $f$ 值：
7
$f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368$
8
结论： $\frac{1}{e}$ 大于极限值 $0$ ，因此绝对最大值为在 $x = 1$ 处的 $\frac{1}{e}$ 。 $f (x)$ 在 $(0, \infty)$ 上永远达不到 $0$ ，因此不存在绝对最小值。

Exam tip:

必须明确说明函数是否在区间上实际取得极值：如果函数只是趋近最小值但永远达不到，你必须说明不存在绝对最小值，这是AP考试中常见的干扰项。

4. 对分段函数应用候选点测试★★★★☆⏱ 6 min

分段定义函数是AP考试中常见的题型，在候选点测试中需要额外一步：内部断点（函数定义改变的点）必须始终加入候选点列表，即使函数在断点处连续。这是因为分段函数的导数在内部断点几乎总是无定义的（即使是连续分段函数，左导数和右导数也很少相等），因此所有内部断点自动成为必须检查的临界点。

📐 例题

求 $f (x)$ 在闭区间 $[0, 5]$ 上的绝对最大值和最小值， $f (x)$ 定义如下：

1
$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & 0 \leq x \leq 2 \\ -x + 7 & 2 < x \leq 5 \end{cases}$
2
确认 $f$ 在 $[0, 5]$ 上连续： $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2^{2} + 1 = 5$ ， $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = - 2 + 7 = 5$ ，因此 $f$ 在 $x = 2$ 处连续，且在 $[0, 5]$ 上其他所有点都连续。
3
在每一段找临界点：对于 $0 \leq x < 2$ ， $f^{'} (x) = 2 x$ ，仅在 $x = 0$ （端点）处等于零。对于 $2 < x < 5$ ， $f^{'} (x) = - 1$ ，永远不等于零。
4
将内部断点 $x = 2$ 加入候选点列表，因为 $f^{'} (2)$ 无定义。
5
列出所有候选点：端点 $x = 0, x = 5$ ，断点 $x = 2$ 。
6
计算函数值： $f (0) = 1$ ， $f (2) = 5$ ， $f (5) = 2$ 。
7
结论：绝对最大值为在 $x = 2$ 处的 $5$ ，绝对最小值为在 $x = 0$ 处的 $1$ 。如果我们忘记将 $x = 2$ 加入候选点，就会错误地将 $2$ 选为最大值。

Exam tip:

永远不要忘记将分段函数的所有内部断点加入候选点列表：AP出题人经常设计绝对极值出现在断点的题目，来考察这个技能。

5. 常见陷阱

错误做法:

只包含 $f^{'} (x) = 0$ 的点，忘记包含 $f^{'} (x)$ 无定义的临界点。

原因:

学生从基础多项式例子中习惯了临界点导数为零，因此会遗漏角点、尖点或垂直切线的点。

正确做法:

始终明确检查 $f^{'} (x)$ 无定义的点，在加入候选点列表前确认 $f (x)$ 在该点有定义。

错误做法:

在开区间上，当 $f (x)$ 趋近一个值但永远达不到时，仍声称存在绝对最小值。

原因:

学生将 $f (x)$ 的极限和 $f (x)$ 的可取得值混淆。

正确做法:

计算完开区间的端点极限后，在声称存在极值前，始终要检查该值是否在区间内某点实际取得。

错误做法:

对于分段函数，忘记将内部断点加入候选点列表。

原因:

学生只在每一段单独检查临界点，忽略段之间的连接点。

正确做法:

找到每一段的临界点后，在计算函数值前，将所有严格位于区间内部的断点加入候选点列表。

错误做法:

只说明它是局部极值，不与所有候选点比较就证明绝对极值。

原因:

学生混淆了局部（相对）极值和绝对极值，认为一阶/二阶导数测试就足够了。

正确做法:

始终说明你计算了所有临界点和端点（开区间则是极限）的 $f$ 值，并通过比较值来证明绝对极值。

错误做法:

将位于给定区间外的临界点加入候选点列表，然后在比较中使用它们的 $f$ 值。

原因:

学生找出了函数整个定义域上的所有临界点，忘记筛选出位于给定区间内的点。

正确做法:

找到函数所有临界点后，在加入候选点前，划去所有不严格位于给定区间内的点。

错误做法:

在闭区间上应用测试前，不检查 $f$ 是否连续。

原因:

学生假设所有函数都是连续的，但闭区间上的不连续函数的极值可能不遵循该规则。

正确做法:

在题目开始时明确确认函数在区间上的连续性，并将区间内部的不连续点加入候选点列表。

6. 速查表

类别	规则/步骤	注意事项
候选点测试核心规则	绝对极值仅出现在区间内部的临界点或区间端点处	临界点 = $f$ 有定义，且 $f^{'} = 0$ 或 $f^{'}$ 无定义的点；适用于任意连续函数
闭有界区间 $[a, b]$	找出内部临界点 2. 加入 $x = a, x = b$ 3. 计算所有候选点的 $f$ 值 4. 比较值	极值定理保证连续 $f$ 一定存在绝对最大值和最小值
开区间/无界区间	找出内部临界点 2. 计算开边界处的 $lim f (x)$ 3. 计算临界点的 $f$ 值 4. 比较值	不保证极值存在；必须确认极值可取得
单临界点捷径	如果 $f$ 连续，区间上一个是局部极大值的临界点就是绝对极大值；极小值同理	仅适用于区间上恰好有一个临界点的情况
分段函数	将所有内部断点加入候选点列表	导数在断点几乎总是无定义，因此断点都是临界点
临界点筛选	仅包含给定区间内的临界点	区间外的临界点不影响区间内的极值
AP FRQ 证明	"我计算了所有临界点和端点的 $f$ 值；最大/最小的值就是绝对极值"	不需要额外的局部分类；明确证明才能得满分
不连续函数	将所有内部不连续点加入候选点列表	极值可以出现在 $f$ 有定义的跳跃间断点或可去间断点处

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求闭区间上的绝对最小值
2022 · FRQ
证明开区间上的绝对最大值

下一步

掌握绝对极值的候选点测试是第5单元下一个核心主题：最优化问题的关键先决条件。在最优化问题中，你需要建立并求解实际问题，这些问题需要找到函数在指定区间上的最大值或最小值。如果你没有掌握这里学到的系统候选点检查流程，你经常会遗漏端点或导数无定义的临界点处的极值，导致错误解。这个主题也为课程中后面的主题打基础，包括在时间区间内找最大速度或位移的质点运动问题，以及第8单元积分应用中的面积/体积最优化问题。现在练好这个技能能帮助你在AP考试的选择题和自由作答题中都得满分。