# 绝对极值候选点测试

> AP 微积分 BC · 第5单元：微分的解析应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-candidates-test-for-absolute-extrema/

本子主题介绍符合AP微积分BC考试要求的系统候选点测试步骤，用于定位函数在任意区间（包括连续函数、分段函数、开区间、闭区间和无界定义域）上的绝对（全局）最大值和最小值。

**先修:** 求可导函数的临界点; 连续函数的极值定理; 基本求导法则（链式法则和商法则）

## 学习目标

- 识别任意区间内所有绝对极值的候选点
- 将候选点测试应用于闭有界区间
- 将候选点测试应用于开区间和无界区间
- 将候选点测试应用于分段定义函数
- 按照AP微积分BC的要求证明绝对极值结论

## 候选点测试的核心概念

候选点测试（也称为候选点法，对于有界闭区间也称为闭区间法）是一种在指定区间上寻找函数绝对极值的系统步骤。根据极值定理，闭有界区间上的连续函数一定同时存在绝对最大值和绝对最小值。核心思路是：任何绝对极值都只能出现在两类候选点中的一类上。

**候选点测试** — 由定理支撑的步骤：先找出所有绝对极值的潜在位置，在每个候选点计算函数值，再通过比较得到全局最大值和最小值

*例:* 适用于闭区间、开区间、无界区间和分段函数

**考试命令词**

在AP微积分BC的自由作答题（FRQ）中，你必须明确证明你关于绝对极值的结论。常见指令术语及其要求如下：

- **Justify** — 你必须明确说明你检查了所有候选点并比较了函数值 *(仅说明"在$x=2$处存在绝对最大值，因为$f'(2)=0$"是不充分的)*

- **Determine** — 你必须同时找到极值并给出有效的证明

## 在闭有界区间上应用候选点测试

对于闭有界区间$[a,b]$上的连续函数，步骤十分清晰，在计算完候选点的函数值后不需要额外做局部极值的导数测试。这能在考试中节省时间，减少错误。

1. 找出所有严格位于$(a,b)$内部的$f(x)$临界点。临界点是$f(x)$有定义，且$f'(x)=0$或$f'(x)$无定义的点。
2. 将端点$x=a$和$x=b$加入候选点列表。
3. 计算列表中每个候选点的$f(x)$值。
4. 最大的值就是绝对最大值，最小的值就是绝对最小值。

**例题:** 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$在区间$[0, 4]$上的绝对最大值和绝对最小值。

1. 计算一阶导数：
2. $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$$
3. $f'(x)$在$(0,4)$内所有点都有定义，因此临界点出现在$f'(x)=0$处，得到$x=1$和$x=3$，都在区间内部。
4. 列出所有候选点：端点$x=0, x=4$，加上临界点$x=1, x=3$。
5. 计算每个候选点的$f$值：
6. $$f(0) = 2,\quad f(1) = 6,\quad f(3) = 2,\quad f(4) = 6$$
7. 结论：$f$在$[0,4]$上的绝对最大值为$6$（在$x=1$和$x=4$处取得），绝对最小值为$2$（在$x=0$和$x=3$处取得）。

> **考试提示:** 在AP FRQ中，你不需要先将临界点分类为局部极值，只需计算所有候选点的$f$值再比较即可；这样可以节省时间，避免不必要的错误。

## 在开区间或无界区间上应用候选点测试

候选点测试可以推广到开区间$(a,b)$或无界区间（如$(a, \infty)$或$(-\infty, \infty)$），只需要做一个关键调整：没有需要计算的端点，因此我们改为计算$x$趋近每个开边界时$f(x)$的极限（对于无界区间包括$\pm\infty$）。和闭区间不同，极值定理不保证绝对极值一定存在，因此测试可以确认极值不存在的情况。一个实用的捷径：如果连续函数在区间上只有一个临界点，且该临界点是局部最大值，那么它一定是该区间上的绝对最大值（局部最小值等于绝对最小值也遵循同样逻辑）。

**例题:** 求$f(x) = x e^{-x}$在区间$(0, \infty)$上的绝对最大值和绝对最小值。

1. $f(x)$在$(0, \infty)$上连续，因此可以应用测试。
2. 计算导数：
3. $$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$$
4. $f'(x)$对所有$x>0$都有定义，且仅在$x=1$处等于零，$x=1$在区间内部。
5. 候选点：临界点$x=1$，加上开边界的极限：$\lim_{x \to 0^+} x e^{-x} = 0$，$\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0$。
6. 计算$x=1$处的$f$值：
7. $$f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368$$
8. 结论：$\frac{1}{e}$大于极限值$0$，因此绝对最大值为在$x=1$处的$\frac{1}{e}$。$f(x)$在$(0, \infty)$上永远达不到$0$，因此不存在绝对最小值。

> **考试提示:** 必须明确说明函数是否在区间上实际取得极值：如果函数只是趋近最小值但永远达不到，你必须说明不存在绝对最小值，这是AP考试中常见的干扰项。

## 对分段函数应用候选点测试

分段定义函数是AP考试中常见的题型，在候选点测试中需要额外一步：内部断点（函数定义改变的点）必须始终加入候选点列表，即使函数在断点处连续。这是因为分段函数的导数在内部断点几乎总是无定义的（即使是连续分段函数，左导数和右导数也很少相等），因此所有内部断点自动成为必须检查的临界点。

**例题:** 求$f(x)$在闭区间$[0,5]$上的绝对最大值和最小值，$f(x)$定义如下：

1. $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & 0 \leq x \leq 2 \\ -x + 7 & 2 < x \leq 5 \end{cases}$$
2. 确认$f$在$[0,5]$上连续：$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1 = 5$，$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -2 + 7 = 5$，因此$f$在$x=2$处连续，且在$[0,5]$上其他所有点都连续。
3. 在每一段找临界点：对于$0 \leq x < 2$，$f'(x) = 2x$，仅在$x=0$（端点）处等于零。对于$2 < x < 5$，$f'(x) = -1$，永远不等于零。
4. 将内部断点$x=2$加入候选点列表，因为$f'(2)$无定义。
5. 列出所有候选点：端点$x=0, x=5$，断点$x=2$。
6. 计算函数值：$f(0) = 1$，$f(2) = 5$，$f(5) = 2$。
7. 结论：绝对最大值为在$x=2$处的$5$，绝对最小值为在$x=0$处的$1$。如果我们忘记将$x=2$加入候选点，就会错误地将$2$选为最大值。

> **考试提示:** 永远不要忘记将分段函数的所有内部断点加入候选点列表：AP出题人经常设计绝对极值出现在断点的题目，来考察这个技能。

## 常见错误

- **错误做法:** 只包含$f'(x)=0$的点，忘记包含$f'(x)$无定义的临界点。
  - 原因: 学生从基础多项式例子中习惯了临界点导数为零，因此会遗漏角点、尖点或垂直切线的点。
  - 正确做法: 始终明确检查$f'(x)$无定义的点，在加入候选点列表前确认$f(x)$在该点有定义。
- **错误做法:** 在开区间上，当$f(x)$趋近一个值但永远达不到时，仍声称存在绝对最小值。
  - 原因: 学生将$f(x)$的极限和$f(x)$的可取得值混淆。
  - 正确做法: 计算完开区间的端点极限后，在声称存在极值前，始终要检查该值是否在区间内某点实际取得。
- **错误做法:** 对于分段函数，忘记将内部断点加入候选点列表。
  - 原因: 学生只在每一段单独检查临界点，忽略段之间的连接点。
  - 正确做法: 找到每一段的临界点后，在计算函数值前，将所有严格位于区间内部的断点加入候选点列表。
- **错误做法:** 只说明它是局部极值，不与所有候选点比较就证明绝对极值。
  - 原因: 学生混淆了局部（相对）极值和绝对极值，认为一阶/二阶导数测试就足够了。
  - 正确做法: 始终说明你计算了所有临界点和端点（开区间则是极限）的$f$值，并通过比较值来证明绝对极值。
- **错误做法:** 将位于给定区间外的临界点加入候选点列表，然后在比较中使用它们的$f$值。
  - 原因: 学生找出了函数整个定义域上的所有临界点，忘记筛选出位于给定区间内的点。
  - 正确做法: 找到函数所有临界点后，在加入候选点前，划去所有不严格位于给定区间内的点。
- **错误做法:** 在闭区间上应用测试前，不检查$f$是否连续。
  - 原因: 学生假设所有函数都是连续的，但闭区间上的不连续函数的极值可能不遵循该规则。
  - 正确做法: 在题目开始时明确确认函数在区间上的连续性，并将区间内部的不连续点加入候选点列表。

## 速查表

| 类别 | 规则/步骤 | 注意事项 |
| --- | --- | --- |
| 候选点测试核心规则 | 绝对极值仅出现在区间内部的临界点或区间端点处 | 临界点 = $f$有定义，且$f'=0$或$f'$无定义的点；适用于任意连续函数 |
| 闭有界区间 $[a,b]$ | 1. 找出内部临界点 2. 加入$x=a, x=b$ 3. 计算所有候选点的$f$值 4. 比较值 | 极值定理保证连续$f$一定存在绝对最大值和最小值 |
| 开区间/无界区间 | 1. 找出内部临界点 2. 计算开边界处的$\lim f(x)$ 3. 计算临界点的$f$值 4. 比较值 | 不保证极值存在；必须确认极值可取得 |
| 单临界点捷径 | 如果$f$连续，区间上一个是局部极大值的临界点就是绝对极大值；极小值同理 | 仅适用于区间上恰好有一个临界点的情况 |
| 分段函数 | 将所有内部断点加入候选点列表 | 导数在断点几乎总是无定义，因此断点都是临界点 |
| 临界点筛选 | 仅包含给定区间内的临界点 | 区间外的临界点不影响区间内的极值 |
| AP FRQ 证明 | "我计算了所有临界点和端点的$f$值；最大/最小的值就是绝对极值" | 不需要额外的局部分类；明确证明才能得满分 |
| 不连续函数 | 将所有内部不连续点加入候选点列表 | 极值可以出现在$f$有定义的跳跃间断点或可去间断点处 |

## 下一步

掌握绝对极值的候选点测试是第5单元下一个核心主题：最优化问题的关键先决条件。在最优化问题中，你需要建立并求解实际问题，这些问题需要找到函数在指定区间上的最大值或最小值。如果你没有掌握这里学到的系统候选点检查流程，你经常会遗漏端点或导数无定义的临界点处的极值，导致错误解。这个主题也为课程中后面的主题打基础，包括在时间区间内找最大速度或位移的质点运动问题，以及第8单元积分应用中的面积/体积最优化问题。现在练好这个技能能帮助你在AP考试的选择题和自由作答题中都得满分。

- [中值定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-mean-value-theorem/)
- [凹凸性的判定](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-determining-concavity/)
- [二阶导数测试](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u5-second-derivative-test/)

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