隐函数关系的性质

AP 微积分 BC· AP Calculus BC CED — Analytical Applications of Differentiation· 14 分钟阅读

1. 一阶和二阶导数的隐函数求导法★★☆☆☆⏱ 4 min

隐函数关系是联系 $x$ 和 $y$ 的方程，无法整理为 $y$ 关于 $x$ 的显函数。即使隐函数通常是多值的（一个 $x$ 对应多个 $y$ 值），我们仍然可以通过隐函数求导技术利用导数分析其几何性质。

📘 定义

隐函数求导法

用于求隐函数关系 $\frac{d y}{d x}$ 的技术，完全依赖链式法则：任何含 $y$ 的项先对 $y$ 求导，再乘以 $\frac{d y}{d x}$ ，以考虑 $y$ 是 $x$ 的函数这一性质。

对于任意隐方程 $F (x, y) = C$ （常数），两边对 $x$ 逐项求导。对于同时含 $x$ 和 $y$ 的项，先应用乘积/商法则，再对 $y$ 的导数应用链式法则。将所有含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到一边，提取公因子 $\frac{d y}{d x}$ ，求解后得到同时含 $x$ 和 $y$ 的 $\frac{d y}{d x}$ 表达式。求二阶导数时，对 $\frac{d y}{d x}$ 再次求导，再将 $\frac{d y}{d x}$ 的已知表达式代回结果。

📐 例题

求关系 $x^{2} + 3 x y + y^{2} = 11$ 在点 $(2, 1)$ 处的 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

1
两边对 $x$ 求导，对 $3 x y$ 应用乘积法则，对含y项应用链式法则：
2
$2x + 3\left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
3
整理含 $\frac{d y}{d x}$ 的项并求解：
4
$\frac{dy}{dx}(3x + 2y) = -2x - 3y \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 3y}{3x + 2y}$
5
在 $(2, 1)$ 处求值：
6
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4 - 3}{6 + 2} = -\frac{7}{8}$
7
对 $\frac{d y}{d x}$ 用商法则求导得到二阶导数：
8
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(3x + 2y)(-2 - 3\frac{dy}{dx}) - (-2x - 3y)(3 + 2\frac{dy}{dx})}{(3x + 2y)^2}$
9
代入 $x = 2, y = 1, \frac{d y}{d x} = - \frac{7}{8}$ ：分子化简为 $\frac{55}{4}$ ，分母是 $64$ ，最终结果：
10
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{55}{256} \approx 0.215$

Exam tip:

求二阶导数前，务必先在给定点计算出 $\frac{d y}{d x}$ ，而不是最后再代入点。这能大幅简化计算，减少AP考试中的代数错误。

2. 切线与法线，水平切线与垂直切线★★☆☆☆⏱ 4 min

得到隐曲线上某点的 $\frac{d y}{d x}$ 后， $\frac{d y}{d x}$ 就是该点处切线的斜率，和显函数的情况完全一样。法线与切线垂直，因此法线斜率是切线斜率的负倒数（切线斜率非零且有定义时）。我们用点斜式 $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ 写出切线或法线的方程。

AP考试非常频繁地考察隐曲线上所有水平或垂直切线的点。水平切线斜率为零，因此当 $\frac{d y}{d x} = 0$ 时出现（即 $\frac{d y}{d x}$ 的分子为零，分母非零）。垂直切线斜率无定义，因此当 $\frac{d y}{d x}$ 的分母为零、分子非零时出现。

📐 例题

求椭圆 $2 x^{2} + y^{2} = 18$ 在点 $(2, 10)$ 处的切线和法线方程。

1
对x隐式求导：
2
$4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$
3
计算 $(2, 10)$ 处的切线斜率：
4
$m_{\text{tan}} = -\frac{2(2)}{\sqrt{10}} = -\frac{2\sqrt{10}}{5}$
5
用点斜式写出切线方程并化简：
6
$y - \sqrt{10} = -\frac{2\sqrt{10}}{5}(x - 2) \implies 2\sqrt{10}x + 5y = 9\sqrt{10}$
7
计算法线斜率，为切线斜率的负倒数：
8
$m_{\text{norm}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$
9
写出并化简法线方程：
10
$y - \sqrt{10} = \frac{\sqrt{10}}{4}(x - 2) \implies \sqrt{10}x - 4y + 2\sqrt{10} = 0$

Exam tip:

如果题目要求找出所有水平/垂直切线的点，务必检查候选点是否确实在原隐曲线上。仅满足斜率条件不足以得到正确答案。

3. 分析临界点、极值和凹凸性★★★☆☆⏱ 4 min

我们用于分析显函数极值和凹凸性的规则同样适用于隐函数关系。隐曲线上的临界点是满足 $\frac{d y}{d x} = 0$ （水平切线，y关于x的局部极大值/极小值候选点）或 $\frac{d y}{d x}$ 无定义（垂直切线，x关于y的极值候选点）的点。

对临界点分类时，我们和显函数一样使用二阶导数测试：如果临界点处 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，则 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0$ 说明该点是局部极小值， $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0$ 说明该点是局部极大值。对于凹凸性， $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0$ 是凹向上， $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0$ 是凹向下，凹凸性改变的点就是拐点。

📐 例题

求关系 $x^{2} - x y + y^{2} = 3$ 的所有局部极大值和极小值。

1
隐式求导并解出 $\frac{d y}{d x}$ ：
2
$2x - \left(x \frac{dy}{dx} + y\right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}$
3
y极值的临界点出现在 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，因此分子 $y - 2 x = 0 ⟹ y = 2 x$ 。我们确认这些点的分母 $2 y - x \neq = 0$ 。
4
将 $y = 2 x$ 代入原方程，找到曲线上的有效点：
5
$x^2 - x(2x) + (2x)^2 = 3 \implies 3x^2 = 3 \implies x = \pm 1$
6
得到临界点 $(1, 2)$ 和 $(- 1, - 2)$ 。我们使用二阶导数测试，代入 $\frac{d y}{d x} = 0$ 简化计算：
7
在 $(1, 2)$ 处：
8
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{3} < 0$
9
因此 $(1, 2)$ 是局部极大值点。在 $(- 1, - 2)$ 处：
10
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{3} > 0$
11
因此 $(- 1, - 2)$ 是局部极小值点。

Exam tip:

在临界点计算二阶导数时，记住 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，因此该项会从大多数表达式中消去，大幅简化计算。做其他计算前，一定要先代入 $\frac{d y}{d x} = 0$ 。

4. AP风格概念检查★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

由 $x^{3} + 2 x y + y^{2} = 5$ 定义的曲线经过点 $(1, 1)$ ，该点处切线的斜率是多少？
- $- \frac{5}{4}$
- $- \frac{5}{2}$
- $\frac{5}{4}$
- $- 1$

5. 常见陷阱

错误做法:

对 $2 x y$ 这类乘积项求导后，只写出 $2 x \frac{d y}{d x}$ ，漏掉了乘积法则项 $2 y$ 。

原因:

学生记得对y应用链式法则，但忘记同时含x和y的项在应用链式法则前需要先应用乘积法则。

正确做法:

对于同时以x和y为因子的项，一定先使用乘积/商法则，再对y的导数应用链式法则。

错误做法:

求 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 时，对 $\frac{d y}{d x}$ 求导后，对含y的项求导时漏掉了链式因子 $\frac{d y}{d x}$ 。

原因:

学生忘记在求二阶导数时y仍然是x的函数，因此所有y项仍然需要乘以 $\frac{d y}{d x}$ 因子。

正确做法:

无论对哪一阶导数，只要对含y的项求导，都要根据链式法则乘以y对应阶数的导数。

错误做法:

题目要求找水平切点时，把 $\frac{d y}{d x}$ 的分母而不是分子设为零。

原因:

混淆了水平切线和垂直切线的条件，这在不结合上下文死记条件时很常见。

正确做法:

记住 $\frac{d y}{d x} =$ 斜率：水平斜率 $= 0$ ，因此分子 $= 0$ （分母 $\neq = 0$ ）；垂直斜率无定义，因此分母 $= 0$ （分子 $\neq = 0$ ）。

错误做法:

求极值时，在临界点计算 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 仍把 $\frac{d y}{d x}$ 保留为变量，导致得到复杂的未化简表达式。

原因:

学生套用通用公式，没有利用一阶导数条件得出的所有临界点处 $\frac{d y}{d x} = 0$ 这一结论。

正确做法:

计算前立即将 $\frac{d y}{d x} = 0$ 代入二阶导数表达式，这样可以消去大多数项，简化计算。

错误做法:

得出所有水平切线都在 $y = 2 x$ 这类直线上后，直接报告该直线上的所有点，而没有找出原曲线上的具体点。

原因:

学生认为满足导数条件就足够了，没有意识到只有直线上的特定点在原隐曲线上。

正确做法:

一定要将导数条件代回原曲线方程，求解出有效点的具体x和y坐标。

6. 速查表

类别	规则/条件	备注
f(y)的隐函数求导	$\frac{d}{d x} [f (y)] = f^{'} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$	对所有含y的项应用链式法则；同时含x和y的项先应用乘积/商法则
隐函数关系的一阶导数	对所有项求导后解出 $\frac{d y}{d x}$	结果是同时含x和y的表达式，而不只是x的表达式
隐函数关系的二阶导数	对 $\frac{d y}{d x}$ 再次求导，代回 $\frac{d y}{d x}$	先在点处计算 $\frac{d y}{d x}$ 以简化计算
$(x_{0}, y_{0})$ 处的切线斜率	$m = \frac{d y}{d x}_{(x_{0}, y_{0})}$	仅当 $(x_{0}, y_{0})$ 在原曲线上时有效
$(x_{0}, y_{0})$ 处的法线斜率	$m_{normal} = - \frac{1}{m _{tangent}}$	切线水平时无定义；切线垂直时斜率为零
水平切线条件	$\frac{d y}{d x} = 0 ⟹ num (\frac{d y}{d x}) = 0, den (\frac{d y}{d x}) \neq = 0$	y关于x的局部极大值/极小值候选点
垂直切线条件	$\frac{d y}{d x}$ undefined $⟹ den (\frac{d y}{d x}) = 0, num (\frac{d y}{d x}) \neq = 0$	x关于y的局部极大值/极小值候选点
极值二阶导数测试	如果 $\frac{d y}{d x} = 0$ ： $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0 \to$ 局部极小； $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0 \to$ 局部极大	和显函数的规则相同
隐曲线的凹凸性	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0 \to$ 凹向上； $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} < 0 \to$ 凹向下	拐点出现在凹凸性改变处

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
求给定点处的切线斜率
2022 · FRQ
求所有水平切点

下一步

掌握隐函数关系的分析是AP微积分BC后续众多主题的基础技能。你在这里学到的隐函数求导核心技术可直接应用于相关变化率问题，在这类问题中，我们需要联系隐式关联的多个量的变化率。它也是AP微积分BC独有的参数曲线和极坐标曲线研究的基础，这些非笛卡尔曲线的导数都是通过隐式计算的。本主题还能巩固你对曲线绘图中导数应用的理解，这是选择题和自由问答题中反复出现的考点。扎实掌握隐函数的性质会让你在备考过程中更容易掌握更高级的微分主题。