直线运动：位置、速度、加速度

AP 微积分 BC· AP 微积分 BC CED — 微分的情境应用· 14 分钟阅读

1. 位置与瞬时速度★★☆☆☆⏱ 3 min

直线运动对被约束在单条轴上运动的质点建模，所有运动物理量都表示为时间 $t \geq 0$ 的单值函数。这是导数在实际变化率问题中的基础应用，在AP微积分BC考试的选择题和自由问答题部分都会出现。

📘 定义

位置

$s (t)$

质点在时刻 $t$ 相对于固定原点的位移。正值表示质点位于原点的右侧/前方，负值表示位于原点的左侧/后方。

📘 定义

瞬时速度

$v (t)$

位置对时间的瞬时变化率，等于位置的一阶导数。速度的符号表示运动方向。

v(t) = s'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}

$v (t) > 0$ 表示质点向右/前方运动， $v (t) < 0$ 表示质点向左/后方运动， $v (t) = 0$ 表示质点瞬时静止。

📐 例题

一质点沿 $x$ 轴运动，位置函数为 $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 2$ （ $t \geq 0$ ），其中 $s$ 的单位是厘米， $t$ 的单位是秒。求 $t = 2$ 秒时质点的速度，并说明此时的运动方向。

1
速度定义为位置的一阶导数，因此用幂函数求导法则求导：
$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$
2
将 $t = 2$ 代入 $v (t)$ 求值：
$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$
3
结果解读： $t = 2$ 时速度为 $- 3$ cm/s。负号表示质点正在向左运动。

2. 加速度与速率变化★★★☆☆⏱ 4 min

加速度是速度对时间的瞬时变化率，因此它通过微分与位置和速度直接关联。

📘 定义

瞬时加速度

$a (t)$

速度对时间的变化率，等于速度的一阶导数，也是位置的二阶导数。

a(t) = v'(t) = s''(t)

常见误区：认为正加速度就代表加速，负加速度就代表减速。这是错误的。质点加速还是减速取决于 $v (t)$ 和 $a (t)$ 的相对符号：

若 $v (t)$ 和 $a (t)$ 有相同符号：质点正在加速
若 $v (t)$ 和 $a (t)$ 有相反符号：质点正在减速

📐 例题

沿用前一个例子中的质点，位置函数为 $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 2$ （ $t \geq 0$ ），求 $t = 0.5$ 和 $t = 4$ 时的加速度，并判断质点在两个时刻分别是加速还是减速。

1
我们已经得到 $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ ，对其求导得到加速度：
$a(t) = 6t - 12 \text{ cm/s}^2$
2
$a (0.5) = - 9$ cm/s²， $v (0.5) = 3.75$ cm/s
3
$a (4) = 12$ cm/s²， $v (4) = 9$ cm/s
4
比较符号：在 $t = 0.5$ ， $v$ 为正， $a$ 为负（符号相反），因此质点正在减速。在 $t = 4$ ， $v$ 和 $a$ 均为正（符号相同），因此质点正在加速。

3. 速率与方向改变★★★☆☆⏱ 4 min

📘 定义

速率

$speed (t)$

速度的非负大小，不包含方向信息。

\text{speed}(t) = |v(t)|

AP考试中常见的问题是找出质点改变方向的所有时刻。对于连续速度（AP题目中都是这种情况），质点只有在速度符号改变时才会改变方向，而符号改变只能发生在 $v (t) = 0$ 的点。按照以下步骤验证方向改变：

找出所有满足 $v (t) = 0$ 的 $t > 0$ （候选时刻）
对每个候选时刻，检验其两侧区间上 $v (t)$ 的符号
确认发生了符号改变：只有此时质点才改变方向

📐 例题

已知位置函数 $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 2$ （ $t \geq 0$ ），求 $t = 2$ 时的速率，并找出质点改变方向的所有时刻。

1
速率是速度的绝对值：我们已经算出 $v (2) = - 3$ cm/s，因此速率为：
$\text{speed}(2) = |v(2)| = 3 \text{ cm/s}$
2
令 $v (t) = 0$ 找出候选时刻：
$3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t=1, t=3$
3
检验各区间上 $v (t)$ 的符号： $0 < t < 1$ 时， $v > 0$ ； $1 < t < 3$ 时， $v < 0$ ； $t > 3$ 时， $v > 0$ 。
4
速度在 $t = 1$ 和 $t = 3$ 处都发生符号改变，因此质点在这两个时刻都改变运动方向。

4. 概念检测★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格的题目检验你的理解：

一质点沿 $x$ 轴运动，位置函数为 $s (t) = e^{- t} sin t$ （ $t \geq 0$ ）。 $t = π$ 时质点的速度是多少？
- $- e^{- π}$
- $- e^{- π} + 1$
- $- e^{- π} - 1$
- $e^{- π}$
一质点沿 $x$ 轴运动， $t \geq 0$ 时位置函数为 $s (t) = 2 t^{3} - 15 t^{2} + 24 t + 10$ ，其中 $s$ 单位为米， $t$ 单位为分钟。(a) 求速度函数和加速度函数。(b) 找出所有满足 $t \geq 0$ 的质点静止时刻。(c) $t = 2$ 时质点是加速还是减速？证明你的结论。
显示答案
(a) $v(t) = 6t^2 - 30t + 24$ 米/分钟，$a(t) = 12t - 30$ 米/分钟²。(b) $t=1$分钟和$t=4$分钟。(c) $v(2)$和$a(2)$均为负，符号相同，因此质点正在加速。 —
质点当且仅当 $v (t) = 0$ 时静止，与位置和加速度无关。判断速率变化一定要比较 $v$ 和 $a$ 的符号。

5. 常见陷阱

错误做法:

仅因为加速度为正就判定质点加速，加速度为负就判定质点减速。

原因:

学生将加速度符号与速率变化混淆，依赖了错误的直觉规则，该规则仅在速度已经为正时才成立。

正确做法:

永远比较 $v (t)$ 和 $a (t)$ 的符号：符号相同则加速，符号相反则减速，任何情况都适用。

错误做法:

认为质点在 $a (t) = 0$ 的时刻改变方向。

原因:

学生混淆了方向改变的条件，把速度的零点和加速度的零点搞混。

正确做法:

方向改变要求速度发生符号改变，对于连续速度，这只能发生在 $v (t) = 0$ 的时刻。永远要检验速度的零点，不是加速度的。

错误做法:

题目问速率时，直接给出速度，或保留负号。

原因:

学生忘记速率是大小，因此直接写 $v (t)$ 而不是 $∣ v (t) ∣$ 。

正确做法:

当题目问速率时，作答前一定要先对算出的速度取绝对值。

错误做法:

不检验符号改变，直接把所有 $v (t) = 0$ 的时刻都算作方向改变。

原因:

很多题目中，速度在某点接触零但不穿过零，即 $v (t) = 0$ 但不发生符号改变，因此没有方向改变。

正确做法:

找出所有满足 $v (t) = 0$ 的 $t$ 后，一定要检验临界时刻两侧区间上 $v (t)$ 的符号，确认符号改变。

错误做法:

把 $s (t) < 0$ 解读为质点静止。

原因:

学生混淆了位置和速度，认为负位置代表没有运动。

正确做法:

质点当且仅当 $v (t) = 0$ 时静止，和位置 $s (t)$ 的值无关。确认质点是否静止一定要检验速度，不是位置。

6. 速查表

类别	公式/法则	说明
位置	$s (t)$	相对于原点的位移；正=右侧/前方，负=左侧/后方
瞬时速度	$v (t) = s^{'} (t)$	符号表示方向；零表示质点静止
瞬时加速度	$a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$	速度的变化率；符号表示速度在增加还是减少
速率	$speed (t) = ∣ v (t) ∣$	速度的非负大小；不带方向
速率变化法则	$v (t), a (t)$ 同号=加速；异号=减速	永远不要仅用加速度符号判断
方向改变条件	当且仅当 $v (t) = 0$ 且 $v (t)$ 符号改变时方向改变	$a (t) = 0$ 不代表方向改变
质点静止	$v (t) = 0$	与位置和加速度的值无关

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · MCQ
求运动质点的方向改变时刻
2023 · FRQ
判断加速/减速状态

深入阅读

official syllabusAP 微积分 BC 课程与考试说明官方主题参考资料

下一步

本主题是AP微积分BC课程后续所有运动相关内容的基础先修知识。掌握本内容后，你接下来会学习如何用积分解决运动问题，通过微积分基本定理建立位置、速度和加速度的关联。如果没有扎实掌握这里介绍的导数关系，你会很难理解和求解积分运动问题，而这类问题在BC考试的FRQ部分频繁出现。本主题也为二维参数运动和向量值运动打下基础，后者是仅BC要求的核心考点，对你的总分影响很大。你在这里学到的关系可以直接推广到高维运动，因此掌握一维情况会让高级运动主题好学很多。