# 直线运动：位置、速度、加速度

> AP 微积分 BC · 第4单元：微分的情境应用
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u4-straight-line-motion-position-velocity/

本子主题介绍一维直线运动中位置、速度和加速度之间的导数关系。你将学习如何解读运动方向、速率、加速度，以及如何判断运动质点的方向改变时刻。

**先修:** 常见函数的一阶和二阶导数计算; 区间上函数的符号检验; 因式分解多项式求根

## 学习目标

- 通过微分建立位置、速度和加速度的关系
- 通过速度的符号判断运动方向
- 判断质点何时加速、何时减速
- 找出直线运动中质点改变方向的所有时刻
- 区分速度和速率

## 位置与瞬时速度

直线运动对被约束在单条轴上运动的质点建模，所有运动物理量都表示为时间$t \geq 0$的单值函数。这是导数在实际变化率问题中的基础应用，在AP微积分BC考试的选择题和自由问答题部分都会出现。

**位置** — 质点在时刻$t$相对于固定原点的位移。正值表示质点位于原点的右侧/前方，负值表示位于原点的左侧/后方。

*记法:* $s(t)$

**瞬时速度** — 位置对时间的瞬时变化率，等于位置的一阶导数。速度的符号表示运动方向。

*记法:* $v(t)$

$$v(t) = s'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}$$

$v(t) > 0$表示质点向右/前方运动，$v(t) < 0$表示质点向左/后方运动，$v(t) = 0$表示质点瞬时静止。

**例题:** 一质点沿$x$轴运动，位置函数为$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$（$t \geq 0$），其中$s$的单位是厘米，$t$的单位是秒。求$t = 2$秒时质点的速度，并说明此时的运动方向。

1. 速度定义为位置的一阶导数，因此用幂函数求导法则求导：

   $$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$$
2. 将$t=2$代入$v(t)$求值：

   $$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$$
3. 结果解读：$t=2$时速度为$-3$ cm/s。负号表示质点正在向左运动。

> **tip**
>
> FRQ题的答案中一定要带单位，并且明确将速度符号和运动方向关联——AP阅卷官要求这种解读，不接受仅给出数值。

## 加速度与速率变化

加速度是速度对时间的瞬时变化率，因此它通过微分与位置和速度直接关联。

**瞬时加速度** — 速度对时间的变化率，等于速度的一阶导数，也是位置的二阶导数。

*记法:* $a(t)$

$$a(t) = v'(t) = s''(t)$$

常见误区：认为正加速度就代表加速，负加速度就代表减速。这是错误的。质点加速还是减速取决于$v(t)$和$a(t)$的相对符号：

- 若$v(t)$和$a(t)$有**相同符号**：质点正在加速
- 若$v(t)$和$a(t)$有**相反符号**：质点正在减速

**例题:** 沿用前一个例子中的质点，位置函数为$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$（$t \geq 0$），求$t=0.5$和$t=4$时的加速度，并判断质点在两个时刻分别是加速还是减速。

1. 我们已经得到$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$，对其求导得到加速度：

   $$a(t) = 6t - 12 \text{ cm/s}^2$$
2. $a(0.5) = -9$ cm/s²，$v(0.5) = 3.75$ cm/s
3. $a(4) = 12$ cm/s²，$v(4) = 9$ cm/s
4. 比较符号：在$t=0.5$，$v$为正，$a$为负（符号相反），因此质点正在减速。在$t=4$，$v$和$a$均为正（符号相同），因此质点正在加速。

> **tip**
>
> 永远不要默认正加速度就是加速。一定要直接比较$v(t)$和$a(t)$的符号。

## 速率与方向改变

**速率** — 速度的非负大小，不包含方向信息。

*记法:* $\text{speed}(t)$

$$\text{speed}(t) = |v(t)|$$

AP考试中常见的问题是找出质点改变方向的所有时刻。对于连续速度（AP题目中都是这种情况），质点只有在速度符号改变时才会改变方向，而符号改变只能发生在$v(t) = 0$的点。按照以下步骤验证方向改变：

1. 找出所有满足$v(t) = 0$的$t>0$（候选时刻）
2. 对每个候选时刻，检验其两侧区间上$v(t)$的符号
3. 确认发生了符号改变：只有此时质点才改变方向

**例题:** 已知位置函数$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$（$t \geq 0$），求$t=2$时的速率，并找出质点改变方向的所有时刻。

1. 速率是速度的绝对值：我们已经算出$v(2) = -3$ cm/s，因此速率为：

   $$\text{speed}(2) = |v(2)| = 3 \text{ cm/s}$$
2. 令$v(t) = 0$找出候选时刻：

   $$3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t=1, t=3$$
3. 检验各区间上$v(t)$的符号：$0 < t < 1$时，$v>0$；$1 < t < 3$时，$v<0$；$t>3$时，$v>0$。
4. 速度在$t=1$和$t=3$处都发生符号改变，因此质点在这两个时刻都改变运动方向。

> **tip**
>
> 永远不要仅因为$v(t) = 0$就直接判定方向改变。一定要检验是否发生符号改变。

## 概念检测

**概念自测**

用这些AP风格的题目检验你的理解：

1. 一质点沿$x$轴运动，位置函数为$s(t) = e^{-t}\sin t$（$t \geq 0$）。$t = \pi$时质点的速度是多少？

   - $-e^{-\pi}$
   - $-e^{-\pi} + 1$
   - $-e^{-\pi} - 1$
   - $e^{-\pi}$

   *答案:* $-e^{-\pi}$

   *解析:* 正确。使用乘积法则求导：$v(t) = e^{-t}(-\sin t + \cos t)$，代入$t=\pi$得$v(\pi) = -e^{-\pi}$。

2. 一质点沿$x$轴运动，$t \geq 0$时位置函数为$s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$，其中$s$单位为米，$t$单位为分钟。(a) 求速度函数和加速度函数。(b) 找出所有满足$t \geq 0$的质点静止时刻。(c) $t=2$时质点是加速还是减速？证明你的结论。

   *解析:* 质点当且仅当$v(t) = 0$时静止，与位置和加速度无关。判断速率变化一定要比较$v$和$a$的符号。

## 常见错误

- **错误做法:** 仅因为加速度为正就判定质点加速，加速度为负就判定质点减速。
  - 原因: 学生将加速度符号与速率变化混淆，依赖了错误的直觉规则，该规则仅在速度已经为正时才成立。
  - 正确做法: 永远比较$v(t)$和$a(t)$的符号：符号相同则加速，符号相反则减速，任何情况都适用。
- **错误做法:** 认为质点在$a(t) = 0$的时刻改变方向。
  - 原因: 学生混淆了方向改变的条件，把速度的零点和加速度的零点搞混。
  - 正确做法: 方向改变要求速度发生符号改变，对于连续速度，这只能发生在$v(t) = 0$的时刻。永远要检验速度的零点，不是加速度的。
- **错误做法:** 题目问速率时，直接给出速度，或保留负号。
  - 原因: 学生忘记速率是大小，因此直接写$v(t)$而不是$|v(t)|$。
  - 正确做法: 当题目问速率时，作答前一定要先对算出的速度取绝对值。
- **错误做法:** 不检验符号改变，直接把所有$v(t) = 0$的时刻都算作方向改变。
  - 原因: 很多题目中，速度在某点接触零但不穿过零，即$v(t)=0$但不发生符号改变，因此没有方向改变。
  - 正确做法: 找出所有满足$v(t)=0$的$t$后，一定要检验临界时刻两侧区间上$v(t)$的符号，确认符号改变。
- **错误做法:** 把$s(t) < 0$解读为质点静止。
  - 原因: 学生混淆了位置和速度，认为负位置代表没有运动。
  - 正确做法: 质点当且仅当$v(t) = 0$时静止，和位置$s(t)$的值无关。确认质点是否静止一定要检验速度，不是位置。

## 速查表

| 类别 | 公式/法则 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 位置 | $s(t)$ | 相对于原点的位移；正=右侧/前方，负=左侧/后方 |
| 瞬时速度 | $v(t) = s'(t)$ | 符号表示方向；零表示质点静止 |
| 瞬时加速度 | $a(t) = v'(t) = s''(t)$ | 速度的变化率；符号表示速度在增加还是减少 |
| 速率 | $\text{speed}(t) = \|v(t)\|$ | 速度的非负大小；不带方向 |
| 速率变化法则 | $v(t), a(t)$同号=加速；异号=减速 | 永远不要仅用加速度符号判断 |
| 方向改变条件 | 当且仅当$v(t)=0$且$v(t)$符号改变时方向改变 | $a(t)=0$不代表方向改变 |
| 质点静止 | $v(t) = 0$ | 与位置和加速度的值无关 |

## 下一步

本主题是AP微积分BC课程后续所有运动相关内容的基础先修知识。掌握本内容后，你接下来会学习如何用积分解决运动问题，通过微积分基本定理建立位置、速度和加速度的关联。如果没有扎实掌握这里介绍的导数关系，你会很难理解和求解积分运动问题，而这类问题在BC考试的FRQ部分频繁出现。本主题也为二维参数运动和向量值运动打下基础，后者是仅BC要求的核心考点，对你的总分影响很大。你在这里学到的关系可以直接推广到高维运动，因此掌握一维情况会让高级运动主题好学很多。

- [非运动类应用场景中的变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u4-rates-of-change-in-applied/)
- [相关变化率介绍](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u4-introduction-to-related-rates/)
- [求解相关变化率问题](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u4-solving-related-rates-problems/)

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