# 求导：复合函数、隐函数与反函数

> AP 微积分 BC · AP 微积分 BC 课程大纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-overview/
> 占比: 占AP微积分BC考试总分的9-13%

本单元在基础求导法则的基础上，讲解复合函数、隐函数关系和反函数的求导技巧。这些方法是AP微积分BC中几乎所有后续主题的基础。

**先修:** [掌握代数函数、三角函数、指数函数和对数函数的基础求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u2-overview/)

## 学习目标

- 运用链式法则正确对复合函数求导
- 使用隐函数求导法求隐函数关系的导数
- 计算反函数和反三角函数的导数
- 计算任意可导函数的高阶导数
- 为复杂的多法则求导问题选择合适的求解步骤

## 单元概览

本单元遵循合理的学习进度，从拓展基础求导法则开始，逐步处理越来越复杂的函数类型。我们从链式法则开始，它是对复合函数求导的核心工具，接下来讲解隐函数求导法，用于处理无法显式解出因变量的函数关系。然后我们将这些技巧应用到反函数（包括反三角函数）上，学习计算高阶导数，最后通过练习掌握如何为任意求导问题选择正确的求解方法。

以下是本单元按学习顺序排列的子主题：
- [AP 微积分 BC 链式法则](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u3-chain-rule/) — 掌握一元复合函数求导的核心链式法则。
- [AP 微积分 BC 隐函数求导](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u3-implicit-differentiation/) — 对未显式写成$y=f(x)$的隐函数关系求导。
- [AP 微积分 BC 反函数求导](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u3-differentiating-inverse-functions/) — 推导并应用反函数导数的通用公式。
- [AP 微积分 BC 反三角函数求导](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u3-differentiating-inverse-trigonometric-functions/) — 计算反正弦、反正切等常用反三角函数的导数。
- [AP 微积分 BC 高阶导数计算](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u3-calculating-higher-order-derivatives/) — 学习求解并解释函数的一阶、二阶和高阶导数。
- [AP 微积分 BC 选择导数计算方法](https://www.owlsprep.com/study/ap-calculus-bc-u3-selecting-procedures-for-calculating-derivatives/) — 练习为复杂函数选择正确的求导法则组合。

## 常见错误

- **错误做法:** 对复合项求导时，忘记对内函数应用链式法则。
  - 原因: 这是求导问题中最常见的错误，会导致缺项和系数错误。
  - 正确做法: 始终先识别所有内函数和外函数，对完外函数求导后，乘上每个内函数的导数。
- **错误做法:** 混淆函数本身的导数和其反函数的导数。
  - 原因: 混淆反函数的输入和输出会导致最终结果错误。
  - 正确做法: 记住$\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$，始终回代到原函数 $f$。
- **错误做法:** 计算高阶导数时省略链式法则。
  - 原因: 高阶导数需要多次求导，因此每一步都要应用链式法则。
  - 正确做法: 每一阶求导都要重新应用所有适用的法则（包括链式法则）。

## 速查表

| 核心概念 | 公式/法则 |
| --- | --- |
| 链式法则 | $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |
| 隐函数求导 | 对两边关于$x$求导，然后解出$\frac{dy}{dx}$ |
| 反函数的导数 | $\frac{d}{dx}f^{-1}(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$ |
| $\arcsin x$的导数 | $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$的导数 | $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$ |
| 二阶导数 | $y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ |

## 下一步

本单元从学习链式法则开始，它是本单元所有进阶求导技巧的基础。掌握这个法则是学习本单元所有其他主题以及所有后续微积分主题的前提。完成本单元所有子主题后，你将进入下一单元，学习将求导应用到实际情境问题中。

- [AP 微积分 BC 链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-chain-rule/)
- [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-implicit-differentiation/)
- [反函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-calculus-bc-u3-differentiating-inverse-functions/)

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